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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequência de Fibonacci e números múltiplos- 222

A sequência numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... pode ser encontrada nas formações de diversos elementos da natureza como na fauna, flora, cosmos, como também nas ciências biológicas, físicas, matemáticas, etc.

Ela apareceu em um problema em que se desejava saber o crescimento de população de coelhos e foi publicada no livro Liber Abacci - Livro do Ábaco ou do Cálculo - (1202) de autoria de Leonardo de Pisa (1175-?), conhecido como Fibonacci.

Fibonacci foi quem levou para a Europa os conhecimentos de aritmética, álgebra e geometria desenvolvidos pelas civilizações indiana e árabe com a utilização do numerais indu-arábicos [2].

A sequência numérica é formada repetindo-se o número 1 duas vezes e após o terceiro elemento, somando-se dois números anteriores.

A razão entre um termo posterior e anterior a partir do termo 5 tem como resultado aproximado o número de ouro: 1,6.

5 : 3 = 1,66

8 : 5 = 1,6

13 : 8 = 1,625

21 : 13 = 1,615

François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático e estudioso das obras de Leonardo de Pisa foi quem popularizou os Números de Fibonacci e que através dela criou outra sequência semelhante chamada de Sequência de Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,...

Há várias propriedades matemáticas e numéricas embutidas na Sequência de Fibonacci, eis algumas delas [1]:

Divisores dos números de Fibonacci;

Número 89 e o 1/89;

Periodicidade da seqüência de Fibonacci;

Soma dos números da seqüência;

Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar;

Somas dos números de Fibonacci de ordem par;

Soma dos quadrados dos números de Fibonacci;

Fibonacci Pitagórico;

Seqüência de Lucas.

Números de Fibonacci e seus múltiplos

A tabela a seguir apresenta os 10 primeiros termos da Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e 55 na linha 1 e nas demais linhas e colunas números múltiplos correspondentes a estes termos.

Cada linha subsequente apresenta números da Sequência de Fibonacci de 1 a 55 multiplicado por número natural, isto é, na linha 2 temos números de Fibonacci multiplicado por 2, na linha 3 multiplicado por 3 e assim por diante.

Interessante observar que cada linha de múltiplos apresenta semelhança com a sequência original de Fibonacci, tem-se a repetição de dois primeiros termos e os demais são a soma a partir do terceiro termo.

Nota-se também que podem ser formadas sequências de Fibonacci derivadas escolhendo-se aleatoriamente um número natural.

Exemplo:

Escolhendo-se o número 2, forma-se sequência semelhante à Sequência de Fibonacci.

2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110,...

Números de Fibonacci e múltiplos
 
                     
Números de Fibonacci
Linha                    
1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
                     
Múltiplos do Números de Fibonacci
                     
2 2 2 4 6 10 16 26 42 68 110
                     
3 3 3 6 9 15 24 39 63 102 165
                     
4 4 4 8 12 20 32 52 84 136 220
                     
5 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275
                     
6 6 6 12 18 30 48 78 126 204 330
                     
7 7 7 14 21 35 56 91 147 238 385
                     
8 8 8 16 24 40 64 104 168 272 440
                     
9 9 9 18 27 45 72 117 189 306 495
                     
10 10 10 20 30 50 80 130 210 340 550

Números de Fibonacci multiplicados por 2

Números de Fibonacci multiplicados por 2 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.

Números de Fibonacci multiplicados 2 razão
   
1 2
1 2 1
2 4 2
3 6 1,5
5 10 1,666667
8 16 1,6
13 26 1,625
21 42 1,615385
34 68 1,619048
55 110 1,617647

Fibonacci Pitagórico - múltiplos de 2

A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 2 é válida para formar terno pitagórico derivado.

Esta propriedade foi descoberta pelo matemático Charles Raine. [1]

Sequência 2, 2, 4, 6

2 x 6 = 12

2 x 2 x 4 = 16

22 x 42 = 4 + 16 = 20

Terno pitagórico derivado 12, 16, 20.

 

Números de Fibonacci multiplicados por 3

Números de Fibonacci multiplicados por 3 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.

Números de Fibonacci multiplicados 3 razão
   
1 3
1 3 1
2 6 2
3 9 1,5
5 15 1,666667
8 24 1,6
13 39 1,625
21 63 1,615385
34 102 1,619048
55 165 1,617647

Fibonacci Pitagórico - múltiplos de 3

A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 3 é valida para formar terno pitagórico derivado

Sequência 3, 3, 6, 9

3 x 9 = 27

2 x 3 x 6 = 36

32 x 62 = 9 + 36 = 45

Terno pitagórico derivado 27, 36, 45.

Números de Fibonacci multiplicados por 4

Números de Fibonacci multiplicados por 4 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.

Números de Fibonacci multiplicados 4 razão
   
1 4
1 4 1
2 8 2
3 12 1,5
5 20 1,666667
8 32 1,6
13 52 1,625
21 84 1,615385
34 136 1,619048
55 220 1,617647

Fibonacci Pitagórico - múltiplos de 4

A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 4 é válida para formar terno pitagórico derivado

Sequência 4, 4, 8, 12

4 x 12 = 48

2 x 4 x 8 = 64

42 x 82 = 16 + 64 = 80

Terno pitagórico derivado 48, 64, 80.

Números de Fibonacci multiplicados por 5

Números de Fibonacci multiplicados por 5 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.

Números de Fibonacci multiplicados 5 razão
   
1 5
1 5 1
2 10 2
3 15 1,5
5 25 1,666667
8 40 1,6
13 65 1,625
21 105 1,615385
34 170 1,619048
55 275 1,617647

Fibonacci Pitagórico - múltiplos de 5

A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 5 é válida para formar terno pitagórico derivado

Sequência 5, 5, 10, 15

5 x 15 = 75

2 x 5 x 10 = 250

52 x 102 = 25 + 100 = 125

Terno pitagórico derivado 75, 250, 125

 

Autor: Ricardo Silva - julho/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] Ferreira, Rogério Augusto. Sequência de Fibonacci - Trabalho apresentado à disciplina de Pesquisa em Matemática II, do Curso de Matemática Bacharelado e Licenciatura do Centro UNIFIEO, 2007

[2] Astrolino e Silva, Bruno. Números de Fibonacci e números de Lucas. Dissertação (Mestrado de Pós Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) --Instituto de Ciências Matemáicas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2017.

Silva, Ricardo José. Ternos Pitagóricos e sequências numéricas - livro digital, São Paulo, 2017.

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