Triângulo Aritmético, também denominado de Triângulo de Pascal, Triângulo de Yang Hui, Triângulo de Tartaglia é um dispositivo numérico triangular que apresenta diversas propriedades matemáticas relacionadas a números naturais, números figurados, números binomiais, números combinatórios, bem como com geometria.
Neste estudo são demonstrados conexões matemáticas entre o Triângulo de Pascal e Números de Mersenne.
Números de Mersenne são números que são gerados por meio da expressão:
| 2n - 1 |
onde n é um número natural.
Na prática, é 1 unidade subtraída de um potência de base 2:
2 - 1 = 1
4 - 1 = 3
8 - 1 = 7
16 - 1 = 15
32 - 1 = 31
Entre os números gerados através da expressão acima se encontram os Números Primos de Mersenne: 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1.023, 2.047, 4.095, 8.191, 16.383, 32.767, 65.535, 131.071, 262.143, 524.287,...
Um Número Primo de Mersenne multiplicado por seu sucessor, isto é, uma potência de base 2 e dividido por 2 tem como resultado um número perfeito.
Número perfeito é um número cuja soma dos seus divisores próprios resultam no próprio número.
Exemplos:
(3 x 4) / 2 = 6
(7 x 8) / 2 = 28
(31 x 32) / 2 = 496
(127 x 128) / 2 = 8.128
(8.191 x 8.192) / 2 = 33.550.336
No Triângulo de Pascal, a soma dos números de cada linha tem como resultado uma potência de base 2.
Exemplos:
a) linha 0 (zero), a soma é 1;
20 = 1
b) linha 1, a soma dos número são 2;
21 = 2
c) linha 2, a soma dos número são 4;
22 = 4
e assim sucessivamente...
Montando o Triângulo de Pascal linha após linha ou decompondo-o em triângulos figurados menores e posteriormente somando todos os números de cada triângulo, o resultado é um Número de Mersenne e entre eles Números Primos de Mersenne.
Interessante observar que nos triângulos onde a soma dos números é um número primo, a base do triângulo também é um número primo.
Estas ocorrências são aleatórias, como pode ser observado na tabela abaixo, mas demonstram outra propriedade no Triângulo de Pascal relacionados a Números de Mersenne os quais podem gerar números perfeitos.
| Triângulo de Pascal | |||||
| e | |||||
| Números de Mersenne | |||||
| Soma | |||||
| dos | |||||
| base | base | potencia | números | ||
| do | 2 | de | nos | Número | |
| triângulo | base 2 | triângulos | primo de | ||
| (expoente) | |||||
| 1 | 2 | 1 | 1 | ||
| primo | 2 | 2 | 4 | 3 | Mersenne |
| primo | 3 | 2 | 8 | 7 | Mersenne |
| 4 | 2 | 16 | 15 | ||
| primo | 5 | 2 | 32 | 31 | Mersenne |
| 6 | 2 | 64 | 63 | ||
| primo | 7 | 2 | 128 | 127 | Mersenne |
| 8 | 2 | 256 | 255 | ||
| 9 | 2 | 512 | 511 | ||
| 10 | 2 | 1024 | 1023 | ||
| primo | 11 | 2 | 2048 | 2047 | |
| 12 | 2 | 4096 | 4095 | ||
| primo | 13 | 2 | 8192 | 8191 | Mersenne |
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Autor: Ricardo Silva - maio /2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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