Nas seguintes vídeos-aulas publicadas no YouTube:
1) Soma dos Quadrados dos n Primeiros Números Naturais - Canal Matemática com Demóclis Rocha;
2) A Soma do Quadrado de Números Naturais – Aula 61 - Canal Portal da Matemática OBMEP - Professor Cristiano Marcell.
Os Professores discorrem de como se o obter a Fórmula da soma de números quadrados perfeitos consecutivos a partir do Produto Notável - Cubo de uma soma indicada:
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
A solução apresentada pelo Professor Demóclis Rocha é:
| n3 | n2 | n | ||||
| S | = | ___ | + | ___ | + | __ |
| 3 | 2 | 6 |
e apresenta um exemplo de aplicação da Fórmula para soma dos 4 primeiros números quadrados perfeitos:
12 + 22 + 32 + 42
Substituindo o n na Fórmula por 4 que é a última parcela da soma e efetuando-se os seguintes cálculos:
i)
| 43 | 42 | 4 | ||||
| S | = | ___ | + | ___ | + | __ |
| 3 | 2 | 6 |
ii)
| 64 | 16 | 4 | ||||
| S | = | ___ | + | ___ | + | __ |
| 3 | 2 | 6 |
iii)
| 128 + 48 + 4 | ||
| S | = | __________ |
| 6 |
vi)
| 180 | ||
| S | = | _____ |
| 6 |
v)
| S | = | 30 |
A soma dos 4 primeiros números quadrados perfeitos tem como resultado 30.
A solução apresentada pelo Professor Cristiano Marcell é:
| n x (n + 1) x (2 x n + 1) | ||
| SQ | = | ___________________ |
| 6 |
e apresenta um exemplo de aplicação da Fórmula para soma dos 3 primeiros números quadrados perfeitos:
12 + 22 + 32
Substituindo o n na Fórmula por 3 que é a última parcela da soma e efetuando-se os seguintes cálculos:
i)
| 3 x (3 + 1) x (2 x 3 + 1) | ||
| SQ | = | ____________________ |
| 6 |
ii)
| 3 x 4 x 7 | ||
| SQ | = | _______ |
| 6 |
Interessante observar que nesta variante, a Fórmula gera termos no numerador constituídos por dois números consecutivos e um outro que é a soma desses dois números consecutivos.
iii)
| 84 | ||
| SQ | = | ____ |
| 6 |
iv)
| SQ | = | 14 |
A soma dos 3 primeiros números quadrados perfeitos tem como resultado 14.
Utilizando de forma sintética a Fórmula da Soma de Números Quadrados Perfeitos Consecutivos elaborada pelo Professor Cristiano Marcell, foram efetuados cálculos para se saber a soma de outras sequências de números quadrados perfeitos sequencialmente e observa-se que determinadas somas de números quadrados perfeitos são divisíveis pelo terceiro termo no numerador da Fórmula enquanto outras não.
12
| 1 x 2 x 3 | ||
| SQ | = | _______ |
| 6 |
| 6 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 1 |
| 6 |
1 : 3 = 0,333...
A soma do quadrado 1 não é divisível por 3.
3 é o 30 fator da multiplicação 1 x 2 x 3.
12 + 22
| 2 x 3 x 5 | ||
| SQ | = | _______ |
| 6 |
| 30 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 5 |
| 6 |
5 : 5 : 1
A soma dos quadrados é divisível por 5.
5 é o 30 fator da multiplicação 2 x 3 x 5.
12 + 22 + 32
| 3 x 4 x 7 | ||
| SQ | = | _______ |
| 6 |
| 84 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 14 |
| 6 |
14 : 7 = 2
A soma dos quadrados é divisível por 7.
7 é o 30 fator da multiplicação 3 x 4 x 7.
12 + 22 + 32 + 42
| 4 x 5 x 9 | ||
| SQ | = | _______ |
| 6 |
| 180 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 30 |
| 6 |
30 : 9 = 3,333...
A soma dos quadrados não é divisível por 9.
9 é o 30 fator da multiplicação 4 x 5 x 9.
12 + 22 + 32 + 42 + 52
| 5 x 6 x 11 | ||
| SQ | = | ________ |
| 6 |
| 330 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 55 |
| 6 |
55 : 11 = 5
A soma dos quadrados é divisível por 11.
11 é o 30 fator da multiplicação 5 x 6 x 11.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
| 6 x 7 x 13 | ||
| SQ | = | ________ |
| 6 |
| 546 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 91 |
| 6 |
91 : 13 = 7
A soma dos quadrados é divisível por 13.
13 é o 30 fator da multiplicação 6 x 7 x 13.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72
| 7 x 8 x 15 | ||
| SQ | = | ________ |
| 6 |
| 840 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 140 |
| 6 |
140 : 15 = 9,333...
A soma dos quadrados não é divisível por 15.
15 é o 30 fator da multiplicação 7 x 8 x 15.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82
| 8 x 9 x 17 | ||
| SQ | = | ________ |
| 6 |
| 1.224 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 204 |
| 6 |
204 : 17 = 12
A soma dos quadrados é divisível por 17.
17 é o 30 fator da multiplicação 8 x 9 x 17.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92
| 9 x 10 x 19 | ||
| SQ | = | ________ |
| 6 |
| 1.710 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 285 |
| 6 |
285 : 19 = 15
A soma dos quadrados é divisível por 19.
19 é o 30 fator da multiplicação 9 x 10 x 19.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102
| 10 x 11 x 21 | ||
| SQ | = | ________ |
| 6 |
| 2.310 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 385 |
| 6 |
385 : 21 = 18,333...
A soma dos quadrados não é divisível por 21.
21 é o 30 fator da multiplicação 10 x 11 x 21.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112
| 11 x 12 x 23 | ||
| SQ | = | ________ |
| 6 |
| 3.036 | ||||
| SQ | = | _______ | = | 506 |
| 6 |
506 : 23 = 22
A soma dos quadrados é divisível por 23.
23 é o 30 fator da multiplicação 11 x 12 x 23.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122
| 12 x 13 x 25 | ||
| SQ | = | ________ |
| 6 |
| 3.900 | ||||
| SQ | = | ______ | = | 650 |
| 6 |
650 : 25 = 130
A soma dos quadrados é divisível por 25.
25 é um número quadrado perfeito ímpar.
25 é o 30 fator da multiplicação 12 x 13 x 25.
Tabulando-se dados a partir de cálculos efetuados com a Fórmula da Soma de Números Quadrados Consecutivos obtem-se outras interessantes regularidades numéricas explanadas a seguir:
| Soma de Quadrados | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Perfeitos Consecutivos | |||||||||
| dupla | fatores | produto | divisão | soma | divisões | ||||
| de | por | de | fator | fator | fator | ||||
| primos | 10 | 20 | 30 | 6 | quadrados | 10 | 20 | 30 | |
| quocientes | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 | 0,5 | 0,33 | |
| 2 | 3 | 5 | 30 | 6 | 5 | 2,5 | 1,6667 | 1 | |
| 3 | 4 | 7 | 84 | 6 | 14 | 4,6667 | 3,5 | 2 | |
| 4 | 5 | 9 | 180 | 6 | 30 | 7,5 | 6 | 3,33 | |
| dupla | 5 | 6 | 11 | 330 | 6 | 55 | 11 | 9,1667 | 5 |
| 6 | 7 | 13 | 546 | 6 | 91 | 15,167 | 13 | 7 | |
| 7 | 8 | 15 | 840 | 6 | 140 | 20 | 17,5 | 9,33 | |
| 8 | 9 | 17 | 1224 | 6 | 204 | 25,5 | 22,667 | 12 | |
| 9 | 10 | 19 | 1710 | 6 | 285 | 31,667 | 28,5 | 15 | |
| 10 | 11 | 21 | 2310 | 6 | 385 | 38,5 | 35 | 18,3 | |
| dupla | 11 | 12 | 23 | 3036 | 6 | 506 | 46 | 42,167 | 22 |
| 12 | 13 | 25 | 3900 | 6 | 650 | 54,167 | 50 | 26 | |
| 13 | 14 | 27 | 4914 | 6 | 819 | 63 | 58,5 | 30,3 | |
| 14 | 15 | 29 | 6090 | 6 | 1015 | 72,5 | 67,667 | 35 | |
| 15 | 16 | 31 | 7440 | 6 | 1240 | 82,667 | 77,5 | 40 | |
| 16 | 17 | 33 | 8976 | 6 | 1496 | 93,5 | 88 | 45,3 | |
| 17 | 18 | 35 | 10710 | 6 | 1785 | 105 | 99,167 | 51 | |
| 18 | 19 | 37 | 12654 | 6 | 2109 | 117,17 | 111 | 57 | |
| 19 | 20 | 39 | 14820 | 6 | 2470 | 130 | 123,5 | 63,3 | |
| 20 | 21 | 41 | 17220 | 6 | 2870 | 143,5 | 136,67 | 70 | |
| 21 | 22 | 43 | 19866 | 6 | 3311 | 157,67 | 150,5 | 77 | |
| 22 | 23 | 45 | 22770 | 6 | 3795 | 172,5 | 165 | 84,3 | |
| dupla | 23 | 24 | 47 | 25944 | 6 | 4324 | 188 | 180,17 | 92 |
| 24 | 25 | 49 | 29400 | 6 | 4900 | 204,17 | 196 | 100 | |
| 25 | 26 | 51 | 33150 | 6 | 5525 | 221 | 212,5 | 108,3 | |
| 26 | 27 | 53 | 37206 | 6 | 6201 | 238,5 | 229,67 | 117 | |
| 27 | 28 | 55 | 41580 | 6 | 6930 | 256,67 | 247,5 | 126 | |
| 28 | 29 | 57 | 46284 | 6 | 7714 | 275,5 | 266 | 135,3 | |
| dupla | 29 | 30 | 59 | 51330 | 6 | 8555 | 295 | 285,17 | 145 |
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As somas de números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultados números que não são divisíveis por múltiplos de 3.
Nas linhas onde um dos fatores é múltiplo de 3, o quociente é um decimal.
Exemplos:
linha 1
1 não divide 3
linha 2
5 não divide 3
linha 3
14 não divide 3
As somas de números quadrados perfeitos consecutivos cujos resultados são pares não são divisíveis por números pares.
Nas linhas onde um dos fatores é par o quociente é um decimal.
Exemplos:
linha 3
14 não divide 4
linha 4
30 não divide 4
linha 7
140 não divide 8
Determinados números primos somados com seus respectivos números consecutivos também geram números primos, formando entre os 3 fatores dupla de números primos cujas somas de quadrados são divisíveis por cada um dos números primos.
Exemplos:
Dupla de números primos 5 e 11
| dupla | fatores | produto | divisão | soma | divisões | ||||
| de | por | de | fator | fator | fator | ||||
| primos | 10 | 20 | 30 | 6 | quadrados | 10 | 20 | 30 | |
| quocientes | |||||||||
| dupla | 5 | 6 | 11 | 330 | 6 | 55 | 11 | 9,1667 | 5 |
Dupla de números primos 11 e 23
| dupla | fatores | produto | divisão | soma | divisões | ||||
| de | por | de | fator | fator | fator | ||||
| primos | 10 | 20 | 30 | 6 | quadrados | 10 | 20 | 30 | |
| quocientes | |||||||||
| dupla | 11 | 12 | 23 | 3036 | 6 | 506 | 46 | 42,167 | 22 |
Dupla de números primos 23 e 47
| dupla | fatores | produto | divisão | soma | divisões | ||||
| de | por | de | fator | fator | fator | ||||
| primos | 10 | 20 | 30 | 6 | quadrados | 10 | 20 | 30 | |
| quocientes | |||||||||
| dupla | 23 | 24 | 47 | 25944 | 6 | 4324 | 188 | 180,17 | 92 |
A expressão n x (n + 1) x (2 x n + 1) da Fórmula da Soma de Quadrados Consecutivos que corresponde ao numerador se relaciona com potências de base 2.
Exemplos:
Linha 1
O primeiro fator 1 é 1 unidade menor que a potência 2.
O segundo fator 2 corresponde a potência 2 = 21.
O terceiro fator 3 corresponde a soma das potências 1 + 2 = 3.
| dupla | fatores | produto | divisão | soma | divisões | ||||
| de | por | de | fator | fator | fator | ||||
| primos | 10 | 20 | 30 | 6 | quadrados | 10 | 20 | 30 | |
| quocientes | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 | 0,5 | 0,33 | |
Linha 3
O primeiro fator 3 é 1 unidade menor que a potência 4.
O segundo fator 4 corresponde a potência 4 = 22.
O terceiro fator 7 corresponde a soma das potências 1 + 2 + 4 = 7.
| dupla | fatores | produto | divisão | soma | divisões | ||||
| de | por | de | fator | fator | fator | ||||
| primos | 10 | 20 | 30 | 6 | quadrados | 10 | 20 | 30 | |
| quocientes | |||||||||
| 3 | 4 | 7 | 84 | 6 | 14 | 4,6667 | 3,5 | 2 | |
Linha 7
O primeiro fator 7 é 1 unidade menor que a potência 8.
O segundo fator 8 corresponde a potência 8 = 23.
O terceiro fator 15 corresponde a soma das potências 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
| dupla | fatores | produto | divisão | soma | divisões | ||||
| de | por | de | fator | fator | fator | ||||
| primos | 10 | 20 | 30 | 6 | quadrados | 10 | 20 | 30 | |
| quocientes | |||||||||
| 7 | 8 | 15 | 840 | 6 | 140 | 20 | 17,5 | 9,33 | |
A soma dos divisores próprios de potências de base 2 geram números quase-potências de base 2 como números quase-perfeitos.
Exemplos:
Potência 1
1 divisor
Potência 2
2 divisores: 1 e 2
soma dos divisores: 1 + 2 = 3
3 é 1 unidade menor que a potência 4
3 é quase-potência de base 2
2 é um número quase-perfeito
| dupla | fatores | produto | divisão | soma | divisões | ||||
| de | por | de | fator | fator | fator | ||||
| primos | 10 | 20 | 30 | 6 | quadrados | 10 | 20 | 30 | |
| quocientes | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 | 0,5 | 0,33 | |
A expressão n x (n + 1) x (2 x n + 1) da Fórmula da Soma de Quadrados Consecutivos que corresponde ao numerador se relaciona com potências de base 2 e consequentemente com números quase potência de base 2 e números quase-perfeitos a partir dos fatores 2 e 3.
Potência 4
3 divisores: 1, 2 e 4
soma dos divisores: 1 + 2 + 4 = 7
7 é 1 unidade menor que a potência 8
7 é quase uma potência de base 2
4 é um número quase perfeito
| dupla | fatores | produto | divisão | soma | divisões | ||||
| de | por | de | fator | fator | fator | ||||
| primos | 10 | 20 | 30 | 6 | quadrados | 10 | 20 | 30 | |
| quocientes | |||||||||
| 3 | 4 | 7 | 84 | 6 | 14 | 4,6667 | 3,5 | 2 | |
A expressão n x (n + 1) x (2 x n + 1) da Fórmula da Soma de Quadrados Consecutivos que corresponde ao numerador se relaciona com potências de base 2 e consequentemente com números quase-potência de base 2 e números quase-perfeitos a partir dos fatores 4 e 7.
Estas regularidades acontecem com potências de base 2.
Autor: Ricardo Silva - junho / 2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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