Números triangulares são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.
Números triangulares, entre outros métodos, podem ser obtidos por meio:
a) da soma de números naturais consecutivos;
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
b) do produto de 2 números consecutivos dividido por 2;
(1 x 2) / 2 = 1
(2 x 3) / 2 = 3
(3 x 4) / 2 = 6
A tabela a seguir apresenta os primeiros 105 números naturais e entre eles, destacados, os 14 primeiros números triangulares.
O presente estudo demonstra regularidades numéricas relacionadas entre intervalos, quantidade de termos entre intervalos, soma dos termos nos intervalos, bem como, as ordens / posições de números triangulares.
| Número triangulares | |||
|---|---|---|---|
| e intervalos entre seus termos | |||
| ordem / | número | quantidade | soma |
| posição | triangular | de termos nos | dos |
| intervalos | intervalos | ||
| 1 | 1 | ||
| 2 | 1 | 2 | |
| 2 | 3 | ||
| 4 | 2 | 9 | |
| 5 | |||
| 3 | 6 | ||
| 7 | |||
| 8 | 3 | 24 | |
| 9 | |||
| 4 | 10 | ||
| 11 | |||
| 12 | 4 | 50 | |
| 13 | |||
| 14 | |||
| 5 | 15 | ||
| 16 | |||
| 17 | |||
| 18 | 5 | 90 | |
| 19 | |||
| 20 | |||
| 6 | 21 | ||
| 22 | |||
| 23 | |||
| 24 | 6 | 147 | |
| 25 | |||
| 26 | |||
| 27 | |||
| 7 | 28 | ||
| 29 | |||
| 30 | |||
| 31 | |||
| 32 | 7 | 224 | |
| 33 | |||
| 34 | |||
| 35 | |||
| 8 | 36 | ||
| 37 | |||
| 38 | |||
| 39 | |||
| 40 | 8 | 324 | |
| 41 | |||
| 42 | |||
| 43 | |||
| 44 | |||
| 9 | 45 | ||
| 46 | |||
| 47 | |||
| 48 | |||
| 49 | |||
| 50 | 9 | 450 | |
| 51 | |||
| 52 | |||
| 53 | |||
| 54 | |||
| 10 | 55 | ||
| 56 | |||
| 57 | |||
| 58 | |||
| 59 | |||
| 60 | 10 | 605 | |
| 61 | |||
| 62 | |||
| 63 | |||
| 64 | |||
| 65 | |||
| 11 | 66 | ||
| 67 | |||
| 68 | |||
| 69 | |||
| 70 | |||
| 71 | |||
| 72 | 11 | 792 | |
| 73 | |||
| 74 | |||
| 75 | |||
| 76 | |||
| 77 | |||
| 12 | 78 | ||
| 79 | |||
| 80 | |||
| 81 | |||
| 82 | |||
| 83 | |||
| 84 | 12 | 1014 | |
| 85 | |||
| 86 | |||
| 87 | |||
| 88 | |||
| 89 | |||
| 90 | |||
| 13 | 91 | ||
| 92 | |||
| 93 | |||
| 94 | |||
| 95 | |||
| 96 | |||
| 97 | |||
| 98 | 13 | 1274 | |
| 99 | |||
| 100 | |||
| 101 | |||
| 102 | |||
| 103 | |||
| 104 | |||
| 14 | 105 | ||
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A quantidade de termos dos intervalos forma a sequência de números naturais: 1, 2, 3, 4, 5,...
Exemplos:
a) entre os triangulares 1 e 3, há 1 número, o número 2;
b) entre os triangulares 3 e 6, há 2 números, os números 4 e 5.
A soma dos intervalos onde a quantidade de termos é ímpar, a soma é divisível por esse número ímpar.
Exemplos:
a) a soma 2 é divisível pelo intervalo 1;
b) a soma 24 é divisível pelo intervalo 3.
A ordem / posição de um número triangular se relaciona com a quantidade de termos dos intervalos.
Exemplos:
a) o número 1 é o primeiro número triangular e entre os triangulares 1 e 3 há 1 número entre o intervalo;
b) o número 3 é o segundo número triangular e entre os triangulares 3 e 6 há 2 números entre o intervalo.
Duplas de números triangulares se relacionam com a soma dos intervalos e quantidade de termos.
Exemplos:
a) a dupla de triangulares 1 e 3 (ímpar - ímpar) tem como soma entre seu intervalo 2 que é divisível pela quantidade 1;
b) a dupla de triangulares 6 e 10 (par - par) tem como soma entre seu intervalo 24 que é divisível pela quantidade 3;
c) a dupla de triangulares 15 e 21 (ímpar - ímpar) tem como soma entre seu intervalo 90 que é divisível pela quantidade 5.
O termo médio entre os intervalos cuja quantidade de termos são ímpares, esse termo médio é o dobro de um número quadrado perfeito.
Exemplos:
a) no primeiro intervalo o termo médio é 2.
2 é o dobro do quadrado 1;
b) no terceiro intervalo o termo médio é 8.
8 é o dobro do quadrado 4;
b) no quinto intervalo o termo médio é 18.
18 é o dobro do quadrado 9;
Autor: Ricardo Silva - setembro /2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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