Números triangulares quadrados perfeitos são números que ao mesmo tempo são triangulares e quadrados perfeitos.
Nos estudos:
011-estudos-443-numeros-triangulares-quadrados-perfeitos
011-estudos-444-numeros-triangulares-quadrados-produto-dois-numeros-consecutivos
são demonstradas diversas relaçôes numéricas entre os próprios números triangulares quadrados perfeitos, bem como, com números quadrados perfeitos ímpares, suas ordens / posições, diferenças e também apresenta um algoritmo para se gerar números triangulares quadrados perfeitos por meio de recorrência.
O presente estudo demonstra que determinados produtos do número 8 com um número triangular adicionado de uma unidade apresentam relações numéricas com números triangulares quadrados perfeitos.
O produto de dois números consecutivos tem como resultado um número retangular / oblongo.
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
3 x 4 = 12
4 x 5 = 20
5 x 6 = 30
Número retangular / oblongo dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
(1 x 2) / 2 = 1
(2 x 3) / 2 = 3
(3 x 4) / 2 = 6
(4 x 5) / 2 = 10
(5 x 6) / 2 = 15
A tabela a seguir apresenta os 15 primeiros números triangulares quadrados perfeitos e suas raízes quadradas.
| Tabela - 1 | ||
| Números Triangulares Quadrados | ||
| e suas | ||
| raízes quadradas | ||
| ordem / | triangular quadrado | raiz |
| posição | quadrada | |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 36 | 6 |
| 3 | 1.225 | 35 |
| 4 | 41.616 | 204 |
| 5 | 1.413.721 | 1.189 |
| 6 | 48.024.900 | 6.930 |
| 7 | 1.631.432.881 | 40.391 |
| 8 | 55.420.693.056 | 235.416 |
| 9 | 1.882.672.131.025 | 1.372.105 |
| 10 | 63.955.431.761.796 | 7.997.214 |
| 11 | 2.172.602.007.770.041 | 46.611.179 |
| 12 | 73.804.512.832.419.600 | 271.669.860 |
| 13 | 2.507.180.834.294.496.361 | 1.583.407.981 |
| 14 | 85.170.343.853.180.456.676 |
9.228.778.026 |
| 15 | 2.893.284.510.173.841.030.625 | 53.789.260.175 |
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O número 8 multiplicado por um número triangular e adicionado 1 unidade tem como resultado um número quadrado perfeito ímpar e que é um dos fatores para se gerar número oblongo e posteriormente número triangular quadrado perfeito.
Os quadrados perfeitos ímpares destacados abaixo: 9, 49, 289, 1681, etc., fazem parte de duplas da sequência que são um dos fatores que geram números oblongos e posteriormente números triangulares quadrados perfeitos.
Os quadrados perfeitos ímpares também são termos gerados pela Escada de Theon.
| Tabela - 2 | ||||||
| Número 8 | ||||||
| e números triangulares | ||||||
| ordem / | número | número | quadrado | raiz | ||
| posição | 8 | triangular | quadrada | |||
| 1 | 8 | 1 | + 1 | = | 9 | 3 |
| 2 | 8 | 3 | + 1 | = | 25 | 5 |
| 3 | 8 | 6 | + 1 | = | 49 | 7 |
| 4 | 8 | 10 | + 1 | = | 81 | 9 |
| 5 | 8 | 15 | + 1 | = | 121 | 11 |
| 6 | 8 | 21 | + 1 | = | 169 | 13 |
| 7 | 8 | 28 | + 1 | = | 225 | 15 |
| 8 | 8 | 36 | + 1 | = | 289 | 17 |
| 9 | 8 | 45 | + 1 | = | 361 | 19 |
| 10 | 8 | 55 | + 1 | = | 441 | 21 |
| 11 | 8 | 66 | + 1 | = | 529 | 23 |
| 12 | 8 | 78 | + 1 | = | 625 | 25 |
| 13 | 8 | 91 | + 1 | = | 729 | 27 |
| 14 | 8 | 105 | + 1 | = | 841 | 29 |
| 15 | 8 | 120 | + 1 | = | 961 | 31 |
| 16 | 8 | 136 | + 1 | = | 1089 | 33 |
| 17 | 8 | 153 | + 1 | = | 1225 | 35 |
| 18 | 8 | 171 | + 1 | = | 1369 | 37 |
| 19 | 8 | 190 | + 1 | = | 1521 | 39 |
| 20 | 8 | 210 | + 1 | = | 1681 | 41 |
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Determinados produtos do número 8 com um número triangular adicionado 1 unidade têm como resultados números que são um dos fatores das duplas de números que multiplicados geram números retangulares / oblongos e que divididos por 2, geram números triangulares quadrados perfeitos.
| n x (n +1) | ||||||||
| [ | 8 | x | ( | ________ | ) | ] | + | 1 |
| 2 |
Determinados primeiros ou segundos fatores ora tem que ser subtraídos 1 unidade ora readicionado 1 unidade, conforme exemplos abaixo.
Se raiz quadrada da metade do produto de dois de números consecutivos, sendo um dois fatores um quadrado perfeito ímpar, for exata, então o número gerado é um número triangular quadrado perfeito.
| números consecutivos | retangular | triangular | raiz | |||
| quadrado | quadrada | |||||
| 8 | x | 9 | = | 72 | 36 | 6 |
| 8 x 1 | 8 x 1 + 1 | |||||
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O fator quadrado perfeito 9 foi gerado de: 8 x 1 + 1 = 9
O fator 8 foi gerado de 8 x 1.
O fator 8 também pode ser gerado de 9 - 1
| números consecutivos | retangular | triangular | raiz | |||
| quadrado | quadrada | |||||
| 49 | x | 50 | = | 2450 | 1225 | 35 |
| 8 x 6 + 1 | 8 x 6 + 2 | |||||
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O fator quadrado perfeito 49 foi gerado de: 8 x 6 + 1.
O fator 50 foi gerado de 8 x 6 + 2.
O fator 50 também pode ser gerado de 49 + 1.
| números consecutivos | retangular | triangular | raiz | |||
| quadrado | quadrada | |||||
| 288 | x | 289 | = | 83232 | 41616 | 204 |
| 8 x 36 | 8 x 36 + 1 | |||||
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O fator quadrado perfeito 289 foi gerado de 8 x 36 + 1.
O fator 288 foi gerado de 8 x 36.
O fator 288 também pode ser gerado de 289 - 1.
| números consecutivos | retangular | triangular | raiz | |||
| quadrado | quadrada | |||||
| 1681 | x | 1682 | = | 2827442 | 1413721 | 1189 |
| 8 x 210 + 1 | 8 x 210 + 2 | |||||
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O fator quadrado perfeito 1681 foi gerado de 8 x 210 + 1.
O fator 1682 foi gerado de 8 x 210 + 2.
O fator 1682 também pode ser gerado de 1681 + 1.
| números consecutivos | retangular | triangular | raiz | |||
| quadrado | quadrada | |||||
| 9800 | x | 9801 | = | 96049800 | 48024900 | 6930 |
| 8 x 1225 | 8 x 1225 + 1 | |||||
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O fator quadrado perfeito 9801 foi gerado de 8 x 1225 + 1.
O fator 9800 foi gerado de 8 x 1225.
O fator 9800 também pode ser gerado de 9801 - 1.
| números consecutivos | retangular | triangular | raiz | |||
| quadrado | quadrada | |||||
| 57121 | x | 57122 | = | 3262865762 | 1631432881 | 40391 |
| 8 x 7140 + 1 | 8 x 7140 + 2 | |||||
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O fator quadrado perfeito 57121 foi gerado de 8 x 7140 + 1.
O fator 57122 foi gerado de 8 x 7140 + 2.
O fator 57122 também pode ser gerado de 57121 + 1.
| números consecutivos | retangular | triangular | raiz | |||
| quadrado | quadrada | |||||
| 332928 | x | 332929 | = | 110841386112 | 55420693056 | 235416 |
| 8 x 41616 | 8 x 41616 + 1 | |||||
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O fator quadrado perfeito 332929 foi gerado de 8 x 41616 + 1.
O fator 332928 foi gerado de 8 x 41616.
O fator 332928 também pode ser gerado de 332929 - 1.
A razão entre números consecutivos posteriores e anteriores cujos produtos são números retangulares, tende a 5,828427125... a partir do quinto termo.
Observação importante:
na coluna 1, os múltiplos de 8 aparecem nas ordens / posições pares.
na coluna 2, múltiplos de 8 adicionados de 1 unidade aparecem nas ordens / posições ímpares.
| Tabela 3 | ||||
| coluna 1 | coluna 2 | |||
| ordem / | consecutivos | razão | consecutivo | razão |
| posição | ||||
| 1 | 1 | 2 | ||
| 2 | 8 | 8 | 9 | 4,5 |
| 3 | 49 | 6,125 | 50 | 5,555555556 |
| 4 | 288 | 5,87755102 | 289 | 5,78 |
| 5 | 1681 | 5,836805556 | 1682 | 5,820069204 |
| 6 | 9800 | 5,829863177 | 9801 | 5,826991677 |
| 7 | 57121 | 5,828673469 | 57122 | 5,828180798 |
| 8 | 332928 | 5,82846939 | 332929 | 5,82838486 |
| 9 | 1940449 | 5,828434376 | 1940450 | 5,828419873 |
| 10 | 11309768 | 5,828428369 | 11309769 | 5,828425881 |
| 11 | 65918161 | 5,828427338 | 65918162 | 5,828426911 |
| 12 | 384199200 | 5,828427161 | 384199201 | 5,828427088 |
| 13 | 2239277041 | 5,828427131 | 2239277042 | 5,828427118 |
| 14 | 13051463048 | 5,828427126 | 13051463049 | 5,828427124 |
| 15 | 76069501249 | 5,828427125 | 76069501250 | 5,828427125 |
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A razão entre números posteriores e anteriores da coluna 1 que são múltiplos de 8, tende a 33,97056279.
| Tabela 4 | |
| coluna 1 | |
| consecutivo | razão |
| 8 | |
| 288 | 36 |
| 9800 | 34,02777778 |
| 332928 | 33,9722449 |
| 11309768 | 33,97061226 |
| 384199200 | 33,97056421 |
| 13051463048 | 33,97056279 |
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A razão entre números posteriores e anteriores da coluna 1 que não são múltiplos de 8, tende a 33,97056279...
| Tabela 5 | |
| coluna 1 | |
| consecutivos | razao |
| 1 | |
| 49 | 49 |
| 1681 | 34,3061224 |
| 57121 | 33,9803688 |
| 1940449 | 33,9708514 |
| 65918161 | 33,9705712 |
| 2239277041 | 33,970563 |
| 76069501249 | 33,9705628 |
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A razão entre números posteriores e anteriores da coluna 2 que não são múltiplos de 8, tende a 5,828427125...
| Tabela 6 | ||
| ordem / | coluna 2 | |
| posição | consecutivos | razão |
| 1 | 2 | |
| 2 | 9 | 4,5 |
| 3 | 50 | 5,555555556 |
| 4 | 289 | 5,78 |
| 5 | 1682 | 5,820069204 |
| 6 | 9801 | 5,826991677 |
| 7 | 57122 | 5,828180798 |
| 8 | 332929 | 5,82838486 |
| 9 | 1940450 | 5,828419873 |
| 10 | 11309769 | 5,828425881 |
| 11 | 65918162 | 5,828426911 |
| 12 | 384199201 | 5,828427088 |
| 13 | 2239277042 | 5,828427118 |
| 14 | 13051463049 | 5,828427124 |
| 15 | 76069501250 | 5,828427125 |
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A razão entre termos posteriores e anteriores de números triangulares quadrados, tende a 33,97056275.
A razão entre termos posteriores e anteriores de raízes quadradas de números triangulares quadrados, tende a 33,97056275.
| Tabela 7 | ||||
| Números Triangulares Quadrados | ||||
| e suas | ||||
| raízes quadradas | ||||
| e razões | ||||
| ordem / | triangular quadrado | razão | raiz | razão |
| posição | entre | quadrada | entre | |
| quadrados | raízes | |||
| 1 | 1 | 1 | ||
| 2 | 36 | 36 | 6 | 6 |
| 3 | 1.225 | 34,02777778 | 35 | 5,833333333 |
| 4 | 41.616 | 33,9722449 | 204 | 5,828571429 |
| 5 | 1.413.721 | 33,97061226 | 1.189 | 5,828431373 |
| 6 | 48.024.900 | 33,97056421 | 6.930 | 5,82842725 |
| 7 | 1.631.432.881 | 33,97056279 | 40.391 | 5,828427128 |
| 8 | 55.420.693.056 | 33,97056275 | 235.416 | 5,828427125 |
| 9 | 1.882.672.131.025 | 33,97056275 | 1.372.105 | 5,828427125 |
| 10 | 63.955.431.761.796 | 33,97056275 | 7.997.214 | 5,828427125 |
| 11 | 2.172.602.007.770.041 | 33,97056275 | 46.611.179 | 5,828427125 |
| 12 | 73.804.512.832.419.600 | 33,97056275 | 271.669.860 | 5,828427125 |
| 13 | 2.507.180.834.294.496.361 | 33,97056275 | 1.583.407.981 | 5,828427125 |
| 14 | 85.170.343.853.180.456.676 |
33,97056275 | 9.228.778.026 | 5,828427125 |
| 15 | 2.893.284.510.173.841.030.625 | 33,97056275 | 53.789.260.175 | 5,828427125 |
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Na Tabela 3 - coluna 1, há um múltiplo de 8 sim e um múltiplo de oito não.
Na Tabela 4 - há só múltiplos de 8.
Uma outra propriedade é que multiplicando um número triangular quadrado por 8, o produto é a ordem / posição e ao mesmo tempo um dos números das duplas de números consecutivos para se gerar números triangulares quadrados.
A Tabela 8 apresenta os 49 primeiros produtos de números consecutivos, bem como, os números retangulares, os números triangulares quadrados e os produtos destes por 8.
a) o triangular quadrado 1 multiplicado por 8, tem como produto 8.
8 também é a ordem / posição dos consecutivos 8 e 9 que geram o triangular quadrado 36 cuja raiz quadrada é 6 que é um triangular.
b) o triangular quadrado 36 multiplicado por 8, tem como produto 288.
288 também é a ordem / posição dos consecutivos 288 e 289 que geram o triangular quadrado 41616 cuja raiz quadrada é 204.
| Tabela 8 | |||||
| números | triangular | ||||
| consecutivos | retangular | quadrado | raiz | vezes 8 | |
| quadrada | |||||
| 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 8 |
| 2 | 3 | 6 | 3 | 1,732050808 | 24 |
| 3 | 4 | 12 | 6 | 2,449489743 | 48 |
| 4 | 5 | 20 | 10 | 3,16227766 | 80 |
| 5 | 6 | 30 | 15 | 3,872983346 | 120 |
| 6 | 7 | 42 | 21 | 4,582575695 | 168 |
| 7 | 8 | 56 | 28 | 5,291502622 | 224 |
| 8 | 9 | 72 | 36 | 6 | 288 |
| 9 | 10 | 90 | 45 | 6,708203932 | 360 |
| 10 | 11 | 110 | 55 | 7,416198487 | 440 |
| 11 | 12 | 132 | 66 | 8,124038405 | 528 |
| 12 | 13 | 156 | 78 | 8,831760866 | 624 |
| 13 | 14 | 182 | 91 | 9,539392014 | 728 |
| 14 | 15 | 210 | 105 | 10,24695077 | 840 |
| 15 | 16 | 240 | 120 | 10,95445115 | 960 |
| 16 | 17 | 272 | 136 | 11,66190379 | 1088 |
| 17 | 18 | 306 | 153 | 12,36931688 | 1224 |
| 18 | 19 | 342 | 171 | 13,07669683 | 1368 |
| 19 | 20 | 380 | 190 | 13,78404875 | 1520 |
| 20 | 21 | 420 | 210 | 14,49137675 | 1680 |
| 21 | 22 | 462 | 231 | 15,19868415 | 1848 |
| 22 | 23 | 506 | 253 | 15,90597372 | 2024 |
| 23 | 24 | 552 | 276 | 16,61324773 | 2208 |
| 24 | 25 | 600 | 300 | 17,32050808 | 2400 |
| 25 | 26 | 650 | 325 | 18,02775638 | 2600 |
| 26 | 27 | 702 | 351 | 18,734994 | 2808 |
| 27 | 28 | 756 | 378 | 19,4422221 | 3024 |
| 28 | 29 | 812 | 406 | 20,14944168 | 3248 |
| 29 | 30 | 870 | 435 | 20,85665361 | 3480 |
| 30 | 31 | 930 | 465 | 21,56385865 | 3720 |
| 31 | 32 | 992 | 496 | 22,27105745 | 3968 |
| 32 | 33 | 1056 | 528 | 22,97825059 | 4224 |
| 33 | 34 | 1122 | 561 | 23,68543856 | 4488 |
| 34 | 35 | 1190 | 595 | 24,39262184 | 4760 |
| 35 | 36 | 1260 | 630 | 25,0998008 | 5040 |
| 36 | 37 | 1332 | 666 | 25,8069758 | 5328 |
| 37 | 38 | 1406 | 703 | 26,51414717 | 5624 |
| 38 | 39 | 1482 | 741 | 27,22131518 | 5928 |
| 39 | 40 | 1560 | 780 | 27,92848009 | 6240 |
| 40 | 41 | 1640 | 820 | 28,63564213 | 6560 |
| 41 | 42 | 1722 | 861 | 29,3428015 | 6888 |
| 42 | 43 | 1806 | 903 | 30,0499584 | 7224 |
| 43 | 44 | 1892 | 946 | 30,757113 | 7568 |
| 44 | 45 | 1980 | 990 | 31,46426545 | 7920 |
| 45 | 46 | 2070 | 1035 | 32,17141588 | 8280 |
| 46 | 47 | 2162 | 1081 | 32,87856445 | 8648 |
| 47 | 48 | 2256 | 1128 | 33,58571125 | 9024 |
| 48 | 49 | 2352 | 1176 | 34,2928564 | 9408 |
| 49 | 50 | 2450 | 1225 | 35 | 9800 |
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c) o triangular quadrado 1225 multiplicado por 8, tem como produto 9800.
9800 também é a ordem / posição dos consecutivos 9800 e 9801 que geram o triangular quadrado 48024900 cuja raiz quadrada é 6930.
Observação: 49 = 8 x 6 + 1
d) o triangular quadrado 41616 multiplicado por 8, tem como produto 332928.
332928 também é a ordem / posição dos consecutivos 332928 e 332929 que geram o triangular quadrado 55.420.693.056 cuja raiz quadrada é 235416.
| 287 | 288 | 82656 | 41328 | 203,2928922 | 330624 |
| 288 | 289 | 83232 | 41616 | 204 | 332928 |
| 289 | 290 | 83810 | 41905 | 204,7071078 | 335240 |
e) o triangular quadrado 1413721 multiplicado por 8, tem como produto 11309768.
11309768 também é a ordem / posição dos consecutivos 11309768 e 11309769 que geram o triangular quadrado 639554764353796 cuja raiz quadrada é 7997214.
Observação: 1681 = 8 x 210 + 1
| 1680 | 1681 | 2824080 | 1412040 | 1188,292893 | 11296320 |
| 1681 | 1682 | 2827442 | 1413721 | 1189 | 11309768 |
| 1682 | 1683 | 2830806 | 1415403 | 1189,707107 | 11323224 |
f) o triangular quadrado 48024900 multiplicado por 8, tem como produto 384199200.
384199200 também é a ordem / posição dos consecutivos 384199200 e 384199201 que geram o triangular quadrado 73804512832419600 cuja raiz quadrada é 271669860.
| 9799 | 9800 | 96030200 | 48015100 | 6929,292893 | 384120800 |
| 9800 | 9801 | 96049800 | 48024900 | 6930 | 384199200 |
| 9801 | 9802 | 96069402 | 48034701 | 6930,707107 | 384277608 |
Autor: Ricardo Silva - junho/2023
REIS, Felipe Klinger Pereira Reis. Aritmética no Ensino Fundamental II: Um Estudo sobre os Quadrados Perfeitos. Dissertação apresentada ao Instituto de Ciência e Tecnologia da UNIFESP, campus São José dos Campos/SP, fevereiro 2021.
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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