O presente estudo demonstra que tabulando multiplicações em que dois fatores consecutivos não são múltiplos de 3 e cujos produtos geram números retangulares e triangulares que também não são múltiplos de 3 apresentam, mesmo assim, regularidades numéricas com números mútiplos de 3.
Os fatores consecutivos formam duas sequências de progressões aritméticas cujas razões entre os termos é 3, conforme exemplos a seguir:
a) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, ...
progressão aritmética de razão 3;
b) 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,...
progressão aritmética de razão 3;
Números Triangulares, também denominados de números figurados, números geométricos, números poligonais, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.
Podemos obter números triangulares por meio:
a) da soma de números naturais consecutivos;
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
b) do produdo de dois números consecutivos e dividindo por 2;
(1 x 2) / 2 = 1
(2 x 3) / 2 = 3
(3 x 4) / 2 = 6
Números Retangulares são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de retângulos.
Podemos obter números retangulares por meio:
a) da soma de números pares consecutivos;
2
2 + 4 = 6
2 + 4 + 6 = 12
2 + 4 + 6 + 8 = 20
b) do produto de dois números consecutivos;
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
3 x 4 = 12
c) da soma de número quadrado perfeito com sua raiz;
1 + 1 = 2
4 + 2 = 6
9 + 3 = 12
d) da raiz quadrada subtraída de seu número quadrado perfeito, a partir do quarado 4;
4 - 2 = 2
9 - 3 = 6
16 - 4 = 12
Número Perfeito é um número cuja soma de seus divisores próprios, excluindo o próprio número, tem como resultado o próprio número.
D(6): 1, 2, 3, 6
A soma dos divisores próprios 1, 2, e 3 é o próprio 6:
1 + 2 + 3 = 6
D(28): 1, 2, 4, 7, 14, 28
A soma dos divisores próprios 1, 2, 4, 7 e 14 é o próprio número 28:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Números Perfeitos podem ser obtidos por meio:
a) da Fórmula de Euclides 2n-1(2n-1)
para n = 2:
2n-1 (2n-1)
22-1 (22-1)
21 (4 -1)
2 x 3 = 6 (número perfeito)
b) da Fórmula de Mersenne 2n - 1
para n = 2:
22 - 1 = 4 - 1 = 3 (Primo de Mersenne)
(3 x 4) / 2 = 6 (número perfeito)
No livro digital Números Perfeitos e Sequências Numéricas discorre, entre outros assuntos, de vários métodos que geram números triangulares, retangulares e consequentemente números perfeitos.
A tabela a seguir apresenta os 35 primeiros produtos de dois números consecutivos (com múltiplos de 3) e suas regularidades numéricas:
| Números Triangulares | ||||||
| e produto de dois | ||||||
| números consecutivos | ||||||
| (com múltiplos de 3) | ||||||
| divisão por 2 | ||||||
| ordem / | números | número | número | |||
| posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| fator | fator | |||||
| 1 | 1 | x | 2 | = | 2 | 1 |
| 2 | 2 | x | 3 | = | 6 | 3 |
| 3 | 3 | x | 4 | = | 12 | 6 (perfeito) |
| 4 | 4 | x | 5 | = | 20 | 10 |
| 5 | 5 | x | 6 | = | 30 | 15 |
| 6 | 6 | x | 7 | = | 42 | 21 |
| 7 | 7 | x | 8 | = | 56 | 28 (perfeito) |
| 8 | 8 | x | 9 | = | 72 | 36 |
| 9 | 9 | x | 10 | = | 90 | 45 |
| 10 | 10 | x | 11 | = | 110 | 55 |
| 11 | 11 | x | 12 | = | 132 | 66 |
| 12 | 12 | x | 13 | = | 156 | 78 |
| 13 | 13 | x | 14 | = | 182 | 91 |
| 14 | 14 | x | 15 | = | 210 | 105 |
| 15 | 15 | x | 16 | = | 240 | 120 |
| 16 | 16 | x | 17 | = | 272 | 136 |
| 17 | 17 | x | 18 | = | 306 | 153 |
| 18 | 18 | x | 19 | = | 342 | 171 |
| 19 | 19 | x | 20 | = | 380 | 190 |
| 20 | 20 | x | 21 | = | 420 | 210 |
| 21 | 21 | x | 22 | = | 462 | 231 |
| 22 | 22 | x | 23 | = | 506 | 253 |
| 23 | 23 | x | 24 | = | 552 | 276 |
| 24 | 24 | x | 25 | = | 600 | 300 |
| 25 | 25 | x | 26 | = | 650 | 325 |
| 26 | 26 | x | 27 | = | 702 | 351 |
| 27 | 27 | x | 28 | = | 756 | 378 |
| 28 | 28 | x | 29 | = | 812 | 406 |
| 29 | 29 | x | 30 | = | 870 | 435 |
| 30 | 30 | x | 31 | = | 930 | 465 |
| 31 | 31 | x | 32 | = | 992 | 496 (perfeito) |
| 32 | 32 | x | 33 | = | 1056 | 528 |
| 33 | 33 | x | 34 | = | 1122 | 561 |
| 34 | 34 | x | 35 | = | 1190 | 595 |
| 35 | 35 | x | 36 | = | 1260 | 630 |
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a) os produtos de dois números consecutivos têm como resultados números retangulares;
b) números retangulares divididos por 2 têm como quocientes números triangulares;
c) 3 é o único número triangular que é primo;
d) quando a soma dos fatores dos números consecutivos for divisível por 3, então o número retangular não é divisível por 3;
Exemplo)
a soma dos números consecutivos 1 + 2 = 3 é divisível por 3.
O número retangular 2 não é divisível por 3.
| divisão por 2 | ||||||
| ordem / | números | número | número | |||
| posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| 1 | 1 | x | 2 | = | 2 | 1 |
e) quando a soma dos fatores dos números consecutivos não for divisível por 3, então o número retangular é divisível por 3;
Exemplo)
a soma dos números consecutivos 2 + 3 = 5 não é divisível por 3.
o número retangular 6 é divisível por 3.
| divisão por 2 | ||||||
| ordem / | números | número | número | |||
| posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| 2 | 2 | x | 3 | = | 6 | 3 |
f) o número de ordem / posição 3 é o triangular 6;
6 é um número perfeito.
3 é um número primo de Mersenne.
a ordem / posição do número perfeito 6 é um número primo.
| divisão por 2 | ||||||
| ordem / | números | número | número | |||
| posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| 3 | 3 | x | 4 | = | 12 | 6 (perfeito) |
g) o número de ordem / posição 7 é o triangular 28;
28 é um número perfeito.
7 é um número primo de Mersenne.
a ordem / posição do número perfeito 28 é um número primo.
| divisão por 2 | ||||||
| ordem / | números | número | número | |||
| posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| 7 | 7 | x | 8 | = | 56 | 28 (perfeito) |
h) o número de ordem / posição 31 é o triangular 496;
496 é um número perfeito.
31 é um número primo de Mersenne.
a ordem / posição do número perfeito 496 é um número primo.
| divisão por 2 | ||||||
| ordem / | números | número | número | |||
| posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| 31 | 31 | x | 32 | = | 992 | 496 (perfeito) |
A tabela a seguir apresenta os 50 primeiros produtos de dois números consecutivos (sem múltiplos de 3).
A tabela é uma versão da tabela anterior em que os fatores dos números consecutivos não são múltiplos de 3, bem como, os números retangulares e triangulares.
As duplas de números consecutivos se encontram em novas ordens / posições, bem como as dos números retangulares e triangulares de forma que apresentam outras interessante regularidades numéricas, mesmo não tendo números múltiplos de 3.
| Números Triangulares | |||||||
| e produto de dois | |||||||
| números consecutivos | |||||||
| (sem múltiplos de 3) | |||||||
| divisão por 2 | |||||||
| ordem / | números | número | número | ||||
| detalhe | posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| fator | fator | ||||||
| 1 | 1 | x | 2 | = | 2 | 1 | |
| 2 | 4 | x | 5 | = | 20 | 10 | |
| 3 x 3 = 9 | 3 | 7 | x | 8 | = | 56 | 28 |
| 4 | 10 | x | 11 | = | 110 | 55 | |
| 5 | 13 | x | 14 | = | 182 | 91 | |
| 6 | 16 | x | 17 | = | 272 | 136 | |
| 7 | 19 | x | 20 | = | 380 | 190 | |
| 8 | 22 | x | 23 | = | 506 | 253 | |
| 9 | 25 | x | 26 | = | 650 | 325 | |
| 10 | 28 | x | 29 | = | 812 | 406 | |
| 3 x 11 = 33 | 11 | 31 | x | 32 | = | 992 | 496 |
| 12 | 34 | x | 35 | = | 1190 | 595 | |
| 13 | 37 | x | 38 | = | 1406 | 703 | |
| 14 | 40 | x | 41 | = | 1640 | 820 | |
| 15 | 43 | x | 44 | = | 1892 | 946 | |
| 16 | 46 | x | 47 | = | 2162 | 1081 | |
| 17 | 49 | x | 50 | = | 2450 | 1225 | |
| 18 | 52 | x | 53 | = | 2756 | 1378 | |
| 19 | 55 | x | 56 | = | 3080 | 1540 | |
| 20 | 58 | x | 59 | = | 3422 | 1711 | |
| 21 | 61 | x | 62 | = | 3782 | 1891 | |
| 22 | 64 | x | 65 | = | 4160 | 2080 | |
| 23 | 67 | x | 68 | = | 4556 | 2278 | |
| 24 | 70 | x | 71 | = | 4970 | 2485 | |
| 25 | 73 | x | 74 | = | 5402 | 2701 | |
| 26 | 76 | x | 77 | = | 5852 | 2926 | |
| 27 | 79 | x | 80 | = | 6320 | 3160 | |
| 28 | 82 | x | 83 | = | 6806 | 3403 | |
| 29 | 85 | x | 86 | = | 7310 | 3655 | |
| 30 | 88 | x | 89 | = | 7832 | 3916 | |
| 31 | 91 | x | 92 | = | 8372 | 4186 | |
| 32 | 94 | x | 95 | = | 8930 | 4465 | |
| 33 | 97 | x | 98 | = | 9506 | 4753 | |
| 34 | 100 | x | 101 | = | 10100 | 5050 | |
| 35 | 103 | x | 104 | = | 10712 | 5356 | |
| 36 | 106 | x | 107 | = | 11342 | 5671 | |
| 37 | 109 | x | 110 | = | 11990 | 5995 | |
| 38 | 112 | x | 113 | = | 12656 | 6328 | |
| 39 | 115 | x | 116 | = | 13340 | 6670 | |
| 40 | 118 | x | 119 | = | 14042 | 7021 | |
| 41 | 121 | x | 122 | = | 14762 | 7381 | |
| 42 | 124 | x | 125 | = | 15500 | 7750 | |
| 3 x 43 = 129 | 43 | 127 | x | 128 | = | 16256 | 8128 |
| 44 | 130 | x | 131 | = | 17030 | 8515 | |
| 45 | 133 | x | 134 | = | 17822 | 8911 | |
| 46 | 136 | x | 137 | = | 18632 | 9316 | |
| 47 | 139 | x | 140 | = | 19460 | 9730 | |
| 48 | 142 | x | 143 | = | 20306 | 10153 | |
| 49 | 145 | x | 146 | = | 21170 | 10585 | |
| 50 | 148 | x | 149 | = | 22052 | 11026 | |
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a) não há múltiplos de 3 nas colunas número retangular e número triangular;
b) não há múltiplos de 3 nas colunas números consecutivos;
c) as somas de duplas de fatores são múltiplos de 3;
1 + 2 = 3 (3 x 1)
4 + 5 = 9 (3 x 3)
7 + 8 = 15 (3 x 5)
10 + 11 = 21 (3 x 7)
13 + 14 = 27 (3 x 9)
16 + 17 = 33 (3 x 11)
d) os números perfeitos se encontram em novas ordens / posições de números primos e também de números múltiplos de 3;
e) a ordem / posição do número perfeito 28 é 3;
| ordem / | Números | número | número | ||||
| Detalhe | posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| fator | fator | ||||||
| 3 x 3 = 9 | 3 | 7 | x | 8 | = | 56 | 28 |
3 é múltiplo e divisor de 3.
3 x 3 = 9
9 é o sucessor de 8.
8 é uma potência de base 2 ( 23 = 8)
8 é um dos fatores da multiplicação 7 x 8.
7 é 1 unidade menor que 8.
a média aritmética de 7, 8, 9 é 8.
f) a ordem / posição do número perfeito 496 é 11;
| ordem / | Números | número | número | ||||
| Detalhe | posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| fator | fator | ||||||
| 3 x 11 = 33 | 11 | 31 | x | 32 | = | 992 | 496 |
11 não é múltiplo de 3.
3 x 11 = 33
33 é sucessor de 32.
32 é uma potência de base 2 ( 25 = 32)
32 é um dos fatores da multiplicação 31 x 32.
31 é 1 unidade menor que 32.
a média aritmética de 31, 32 e 33 é 32.
g) a ordem / posição do número perfeito 8128 é 43;
| ordem / | Números | número | número | ||||
| Detalhe | posição | consecutivos | retangular | triangular | |||
| fator | fator | ||||||
| 3 x 43 = 129 | 43 | 127 | x | 128 | = | 16256 | 8128 |
43 não é múltiplo de 3.
3 x 43 = 129
129 é sucessor de 128.
128 é uma potência de base 2 ( 27 = 128)
128 é um dos fatores da multiplicação 127 x 128.
127 é 1 unidade menor que 128.
a média aritmética de 127, 128 e 129 é 128.
h) os fatores: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, ... formam progressão aritmética de razão 3;
i) os fatores 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,... formam progressão aritmética de razão 3;
Autor: Ricardo Silva - junho/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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