Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A. é uma sequência numérica em que a razão (diferença entre dois termos) é uma constante.
Progressão Aritmética Finita possue propriedades muito importantes:
a) a soma de dois termos equistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual a soma dos termos dos extremos.
b) a média aritmética de dois termos equistantes dos extremos é igual ao termo do meio da P.A. finita.
c) a média aritmética, considerando 3 termos consecutivos de uma P.A, é o termo do meio entre esses 3 termos.
Neste estudo são apresentadas outras interessantes propriedades relacionadas às progressões aritméticas finitas com múltiplos de um número ímpar, entre elas, de que o termo do meio e o seu termo antecessor são números triangulares consecutivos cuja a soma é o último termo da sequência (número quadrado perfeito).
(5, 10, 15, 20, 25)
5 é raiz quadrada de 25
25 é o quadrado perfeito de 5
15 é o termo do meio
a) primeiro termo 5
b) último termo 25
c) razão 5
O termo do meio 15 é um número triangular.
O termo antecessor ao 15, o 10 é um numero triangular.
A soma dos triangulares consecutivos 10 e 15 têm como resultado o número quadrado perfeito 25.
A metade do quadrado perfeito 25 é 12,5.
O número 5 pode ser obtido pela soma dos números consecutivos: 2 + 3 = 5
A metade do quadrado perfeito 25 é 12,5, pegando-se a parte inteira e efetuando os seguintes cálculos...
i)
12 - 2 = 10
ii)
12 + 3 = 15
obtêm-se também os números triangulares consecutivos cuja soma é o quadrado perfeito 25.
10 + 15 = 25
A média aritmética de todos os termos da P.A. finita:
(5 + 10 + 15 + 20 + 25) / 5 = 15
tem como resultado 15 que é um número triangular.
(9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81)
9 é raiz quadrada de 81
81 é quadrado perfeito de 9
45 é o termo do meio
a) primeiro termo 9
b) último termo 81
c) razão 9
O termo do meio 45 é um número triangular.
O termo antecessor ao 45, o 36 é um numero triangular.
A soma dos triangulares consecutivos 36 e 45 têm como resultado o número quadrado perfeito 81.
A metade do quadrado perfeito 81 é 40,5.
O número 9 pode ser obtido pela soma dos números consecutivos: 4 + 5 = 9.
A metade do quadrado perfeito 81 é 40,5, pegando-se a parte inteira e efetuando os seguintes cálculos...
i)
40 - 4 = 36
ii)
40 + 5 = 45
obtêm-se também os números triangulares consecutivos cuja soma é o quadrado perfeito 81.
36 + 45 = 81
A média aritmética de todos os termos da P.A. finita:
(9 + 18 + 27 + 36 + 45 + 54 + 63 + 72 + 81) / 9 = 45
tem como resultado 45 que é um número triangular.
(11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121)
11 é raiz quadrada de 121
121 é quadrado perfeito de 11
66 é o termo do meio
a) primeiro termo 11
b) último termo 121
c) razão 11
O termo do meio 66 é um número triangular.
O termo antecessor ao 66, o 55 é um numero triangular.
A soma dos triangulares consecutivos 55 e 66 têm como resultado o número quadrado perfeito 121.
A metade do quadrado perfeito 121 é 60,5.
O número 11 pode ser obtido pela soma dos números consecutivos: 5 + 6 = 11
A metade do quadrado perfeito 121 é 60,5, pegando-se a parte inteira e efetuando os seguintes cálculos...
i)
60 - 5 = 55
ii)
60 + 6 = 66
obtêm-se também os números triangulares consecutivos cuja soma é o quadrado perfeito 121.
55 + 66 = 121
A média aritmética de todos os termos da P.A. finita:
(11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99 + 110 + 121) / 11 = 66
tem como resultado 66 que é um número triangular.
Progressão Aritmética Finita em que o primeiro termo é a raiz quadrada do último termo e o último termo é o quadrado perfeito do primeiro termo, a média aritmética de 2 termos equidistantes dos extremos é um número triangular relacionado a esta raiz quadrada, bem como, ao seu quadrado perfeito.
Tem se aqui um novíssimo método para se obter número triangular, a partir de termos equidistantes dos extremos de progressão aritmética finita de múltiplos de um número ímpar.
Dado um número e verificando-se for um quadrado perfeito, poderemos saber a sua raiz quadrada sem utilizar calculadoras ou Decomponsição em Fatores Primos?
Lembrando que todo número natural é raiz de outro número, mas nem todo número natural é um quadrado perfeito, um cubo perfeito, número de quarta potência, etc.
Lembrando também que multiplicando-se um número natural por ele mesmo, o produto é um número quadrado perfeito.
Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - junho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
