Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A. é uma sequência numérica em que a razão (diferença entre dois termos) é uma constante.
Progressão Aritmética Finita possue propriedades muito importantes:
a) a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual a soma dos termos dos extremos.
b) a média aritmética de dois termos equistantes dos extremos é igual ao termo do meio da P.A. finita.
c) a média aritmética, considerando 3 termos consecutivos de uma P.A, é o termo do meio entre esses 3 termos.
Neste estudo são apresentadas outras interessantes propriedades relacionadas às progressões aritméticas finitas com múltiplos de um número par, entre elas, a relação com números triangulares.
Observação importante: diferentemente de progressões artitméticas finitas de múltiplos de números ímpares, as progressões aritméticas finitas de múltiplos de números pares não possuem o termo do meio.
(4, 8, 12, 16)
4 é raiz quadrada de 16
16 é o quadrado perfeito de 4
a) primeiro termo 4
b) último termo 16
c) razão 4
A soma do primeiro termo com o último termo dividido por 2 tem como resultado o número triangular 10.
( 4 + 16 ) / 2 = 10
A diferença entre o último termo e o primeiro termo dividido por 2 tem como resultado o número triangular 6.
( 16 - 4 ) / 2 = 6
A soma dos números triangulares consecutivos 6 com 10 tem como resultado o número quadrado 16.
A média aritmética do todos os termos da P.A. finita tem como resultado o número triangular 10
(4 + 8 + 12 + 16) / 4 = 10
(6, 12, 18, 24, 30, 36)
6 é raiz quadrada de 36
36 é o quadrado perfeito de 6
a) primeiro termo 6
b) último termo 36
c) razão 6
A soma do primeiro termo com o último termo dividido por 2 tem como resultado o número triangular 21.
( 6 + 36 ) / 2 = 21
A diferença entre o último termo e o primeiro termo dividido por 2 tem como resultado o número triangular 15.
( 36 - 6 ) / 2 = 15
A soma dos números triangulares consecutivos 15 com 21 tem como resultado o número quadrado 36.
A média aritmética do todos os termos da P.A. finita tem como resultado o número triangular 21
(6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36) / 6 = 21
Progressão Aritmética Finita em que o primeiro termo é a raiz quadrada do último termo e o último termo o quadrado perfeito do primeiro termo, a média aritmética de 2 termos equidistantes dos extremos é um número triangular relacionado a esta raiz quadrada, bem como, ao seu quadrado perfeito.
Tem se aqui um novíssimo método para se obter número triangular, a partir de termos equidistantes do extremo de progressão aritmética finita de múltiplos de um número par.
Dado um número e verificando-se for um quadrado perfeito, poderemos saber a sua raiz quadrada sem utilizar calculadoras ou Decomponsição em Fatores Primos?
Lembrando que todo número natural é raiz de outro número, mas nem todo número natural é um quadrado perfeito, um cubo perfeito, número de quarta potência, etc.
Lembrando também que multiplicando-se um número natural por ele mesmo, o produto é um número quadrado perfeito.
Autores: Ricardo Silva - Ari Costa - junho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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