O estudo demonstra relações e propriedades numéricas entre números quadrados perfeitos, suas raízes quadradas e sequências de 3 números consecutivos.
O produto de 2 números dos extremos de uma P.A. de 3 termos têm como resultado um número quase quadrado perfeito.
Os dois números dos extremos de uma P.A de 3 termos, são os divisores centrais desse número quase quadrado perfeito.
Números quase quadrados perfeitos também são as somas de diferenças de quadrados.
Progressão Aritmética (P.A) é uma sequência numérica cuja razão (diferença) entre os termos é uma constante.
Uma das propriedades de uma Progressão Aritmética Finita é que escolhendo-se 3 termos consecutivos, o termo do méio é a média aritmética dos outros dois.
Exemplo:
P.A. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
a) (1 + 3) / 2 = 2
b) (2 + 4) / 2 = 3
c) (3 + 5) / 2 = 4
No livro Realidade Matemática - Oitavo Ano - pag. 190 - Autores: Gelson Iezzi, Olvado Dolce e Antonio Machado é apresentado o seguinte problema:
"Qual é o produto do sucessor pelo antecessor de um número inteiro n?"
Vamos multiplicar ( n + 1 ) por ( n - 1)
i)
( n + 1 ) . ( n - 1)
ii)
= n2 - n + n - 1
iii)
= n2 - 1
O resultado, n2 - 1, é o antecessor de n2. Então, o produto dos "vizinhos" de n é o "vizinho" de trás de n2.
Exemplos:
Os "vizinhos" de 10 são 9 e 11. Temos:
9 x 11 = 102 - 1 = 99
Os "vizinhos" de 20 são 19 e 21. Temos:
19 x 21 = 202 - 1 = 399
Exemplos estes que estão relacionados ao Produto Notável: Produto da soma pela diferença de dois termos.
( a + b ) . ( a - b ) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2
O resultado 399, no exemplo acima, é um número especial, denominado de Número Quase Quadrado Perfeito, isto porque, ele é 1 unidade menor que um número quadrado perfeito.
399 é também a Soma de Diferenças de Quadrados Perfeitos formada pela P.A finita ( 3, 5, 7, 9, ..., 35, 37, 39 ), cujo primeiro termo é 3 e razão 2.
Soma da P.A. Finita
[ ( 3 + 39 ) . 19 ] / 2 = 399
| Decomposição em fatores primos | |
| número 399 | |
| Fatores Primos | |
| 399 | 3 |
| 133 | 7 |
| 19 | 19 |
| 1 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |
Decompondo-se o número 399 em fatores primos, encontramos os seus divisores:
D(399): { 1, 3, 7, 19, 21, 57, 133, 399 }...
... e, entre eles, os divisores centrais 19 e 21.
Os divisores centrais 19 e 21 são os números vizinhos de 20, isto é, o antecessor e o sucessor respectivamente.
Os números 19, 20 e 21 são números consecutivos.
Os números 19, 20 e 21 formam uma P.A. finita.
A partir de diferenças de quadrados perfeitos, bem como, da soma das diferenças de quadrados, também são possíveis de extrairem raízes quadradas.
Para mais informações, veja abaixo, Materias Relacionadas.
Autor: Ricardo Silva - julho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
