Números Quase Quadrados Perfeitos são números que são 1 unidade menor que um número quadrado perfeito.
O estudo demonstra métodos de como se gerar números quase quadrados perfeitos, suas relações com sequências numéricas famosas, bem como, extração de raiz quadrada.
Podemos gerar números quase quadrados perfeitos por meio dos seguintes métodos:
Os produtos de 2 números ímpares consecutivos geram números quase quadrados perfeitos ímpares.
Observação: entre os produtos de 2 números ímpares consecutivos há ocorrências de Números de Mersenne.
1 x 3 = 3
3 x 5 = 15
5 x 7 = 35
7 x 9 = 63
9 x 11 = 99
Os produtos de 2 números pares consecutivos geram números quase quadrados perfeitos pares.
2 x 4 = 8
4 x 6 = 24
6 x 8 = 48
8 x 10 = 80
10 x 12 = 120
O produto do número 8 com número triangular tem como resultado número quase quadrado perfeito par.
8 x 1 = 8
8 x 3 = 24
8 x 6 = 48
8 x 10 = 80
8 x 15 = 120
A soma consecutiva de potências de base 2 até uma potência que não é um quadrado perfeito geram números quase quadrados perfeitos.
Observações:
a) potências de base 2 é uma progressão geométrica de razão 2, onde cada termo é o dobro do anterior, a partir do segundo termo.
b) entre as somas consecutivas de potências de base 2, há ocorrências de Números de Mersenne.
a) 1 + 2 = 3
2 não é quadrado perfeito
b) 1 + 2 + 4 + 8 = 15
8 não é quadrado perfeito
c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
32 não é quadrado perfeito
d) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255
128 não é quadrado perfeito
e) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023
512 não é quadrado perfeito
A soma de divisores próprios de potências de base 2 cujos expoentes são pares, geram números quadrados quase perfeitos.
Interessante observar que:
a) os divisores próprios de potências de base 2 é uma progressão geométrica de razão 2, onde cada termo é o dobro do anterior, a partir do segundo termo;
b) a soma de divisores próprios de potências de base 2 é também 1 unidade menor que a própria potência de base 2;
c) entre as somas divisores próprios de potências de base 2, há ocorrências de Números de Mersenne;
d) a soma de divisores próprios de potências de base 2 também são números quase potências de base 2.
22 = 4
D(4): {1, 2, 4}
1 + 2 = 3
24 = 16
D(16): {1, 2, 4, 8, 16}
1 + 2 + 4 + 8 = 15
26 = 64
D(64): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
28 = 256
D(256): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 128 = 255
210 = 1024
D(1024): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024}
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 128 + 256 + 512 = 1023
Triângulo Numérico 3 gera sequencialmente números quase quadrados perfeitos pares e ímpares.
Para mais informações veja:
011-estudos-395-triangulo-numerico-3-numeros-quadrados-retangulares-primos-gemeos
| Triângulo Numérico 3 | ||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | ||||||||||||||
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||||||||
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||||||||||
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | ||||||||
| 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | ||||||
| 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | ||||
| 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | ||
| 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
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A diferença entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos tem como resultado um número ímpar a partir de 3.
4 - 1 = 3
9 - 4 = 5
16 - 9 = 7
25 - 16 = 9
36 - 25 = 11
A soma de um número quadrado perfeito mais o dobro da sua raiz quadrada tem como resultado as somas das diferenças de quadrados.
Exemplo 1)
4 + 2 + 2 = 8
ou
4 + ( 2 x 2 ) = 8
Exemplo 2)
9 + 3 + 3 = 15
ou
9 + ( 2 x 3 ) = 15
Exemplo 3)
16 + 4 + 4 = 24
ou
16 + ( 2 x 4 ) = 24
A soma consecutiva de diferenças de quadrados perfeitos têm como resultado número quase quadrado perfeito.
3 + 5 = 8
3 + 5 + 7 = 15
3 + 5 + 7 + 9 = 24
3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35
| Soma de diferenças | ||||
| de números quadrados perfeitos | ||||
| somas | ||||
| diferença | diferença | diferenças | ||
| raiz | raiz | quadrado | quadrado | quadrados |
| 1 | 1 | |||
| 1 | 3 | |||
| 2 | 4 | |||
| 1 | 5 | 8 | ||
| 3 | 9 | |||
| 1 | 7 | 15 | ||
| 4 | 16 | |||
| 1 | 9 | 24 | ||
| 5 | 25 | |||
| 1 | 11 | 35 | ||
| 6 | 36 | |||
| 1 | 13 | 48 | ||
| 7 | 49 | |||
| 1 | 15 | 63 | ||
| 8 | 64 | |||
| 1 | 17 | 80 | ||
| 9 | 81 | |||
| 1 | 19 | 99 | ||
| 10 | 100 | |||
| 1 | 21 | 120 | ||
| 11 | 121 | |||
| 1 | 23 | 143 | ||
| 12 | 144 | |||
| 1 | 25 | 168 | ||
| 13 | 169 | |||
| 1 | 27 | 195 | ||
| 14 | 196 | |||
| 1 | 29 | 224 | ||
| 15 | 225 | |||
| 1 | 31 | 255 | ||
| 16 | 256 | |||
| 1 | 33 | 288 | ||
| 17 | 289 | |||
| 1 | 35 | 323 | ||
| 18 | 324 | |||
| 1 | 37 | 360 | ||
| 19 | 361 | |||
| 1 | 39 | 399 | ||
| 20 | 400 | |||
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Somas de diferenças de números quadrados perfeitos que são também números quase quadrados perfeitos podem ser utilizadas para se saber raiz quadrada exata conforme a seguinte fórmula:
SDQ : Soma das Diferenças de Quadrados
DC² : Divisor Central ao Quadrado
2 x DC : Dobro Divisor Central
| SDQ + DC² |
| __________ |
| 2 x DC |
Para mais informações, veja:
011-estudos-477-raizes-quadradas-somas-das-diferencas-de-numeros-quadrados-perfeitos
Autor: Ricardo Silva - junho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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