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Triângulo Numérico 3 - números quadrados, retangulares e primos gêmeos - 395

Triângulo numérico é um dispositivo no qual números são dispostos sequencialmente linha a linha formando figura geométrica de triângulo, podendo ser em formato de um triângulo retângulo, triângulo isóceles ou um triângulo equilátero.

Interessante pontuar que triângulos possuem diversas propriedades matemáticas relacionadas às suas formas, lados e ângulos com as quais são possíveis de se realizarem variados cálculos para se saber por exemplo: altura de um edifício, comprimento da sombra de uma árvore, distância de um objeto, etc.

Dispondo números sequencialmente em formato de um triângulo, obtêm-se outras propriedades e outras sequências numéricas que se relacionam entre si como também com outras sequências numéricas, exemplo é o extraordinário Triângulo de Pascal, também conhecido como Triângulo de Tartaglia, Triângulo de Yang Hui ou simplesmente Triângulo Aritmético ou Triângulo Numérico que a partir do número 1 formando dois lados de um triângulo são possíveis de se obterem diversas relações matemáticas entre sequências numéricas famosas.

Triângulo Numérico 3 e sua construção

O Triângulo Numérico 3, assim é denominado, pois se assemelha a triângulos publicados no livro digital Números Triangulares e Sequências Numéricas, apresentando interessantes relações numéricas nas quais são possíveis se obterem números primos gêmeos.

O Triângulo Númerico 3 é construído a partir das seguintes etapas:

1) na 1^a linha, colocam-se 3 números começando com o número quadrado perfeito 1 até um número antecessor do próximo número quadrado perfeito 4: 1, 2, 3;

2) na 2^a linha, colocam-se 5 números começando com o número quadrado perfeito 4 até um número antecessor do próximo número quadrado perfeito 9: 4, 5, 6, 7, 8;

3) na 3^a linha, colocam-se 7 números começando com o número quadrado perfeito 9 até um número antecessor do próximo número quadrado perfeito 16: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15;

E assim para as demais linhas, sempre começando com um número quadrado perfeito e terminando com um número antecessor de um número quadrado perfeito.

Cada linha é constituída por quantidade de termos ímpares.

Triângulo Numérico 3 e propriedades

O Triângulo Numérico 3 possui interessantes propriedades numéricas, vejamos algumas delas:

Números quadrados perfeitos

O lado esquerdo do Triângulo Numérico 3 é constituído por números quadrados perfeitos (cor vermelha).

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Número quadrado perfeito somado com sua raiz quadrada tem como resultado um número retangular que se encontra na altura do Triângulo Numérico 3.

Exemplos:

1 + 1 = 2

4 + 2 = 6

9 + 3 = 12

Número quadrado perfeito somado com o dobro da sua raiz quadrada tem como resultado um número que se encontra no final da linha do Triângulo Numérico 3.

Exemplos:

1 + (2 x 1) = 3

4 + (2 x 2) = 8

9 + (2 x 3) = 15

Números quase quadrados perfeitos

Números quase quadrados perfeitos são números de 1 unidade menor que números quadrados perfeitos.

3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99,...

Os números quase quadrados perfeitos (cor verde) se encontram nos finais de cada uma das linhas do Triângulo Numérico 3.

Números retangulares / oblongos

A altura do Triângulo Numérico 3 é constituída por números retangulares, também denominados de números oblongos (cor azul).

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72,...

Números retângulares / oblongos são números figurados que representam figuras geométricas retângulos por meio de arranjos de pontos.

Um dos métodos de se obterem números retangulares é multiplicar dois números consecutivos.

Exemplos:

1 x 2 = 2

2 x 3 = 6

3 x 4 = 12

Termos equidistantes

A soma de dois termos equidistantes numa linha e posteriormente dividida por 2 tem como quociente um número retangular que se encontra na altura do Triângulo Numérico 3.

Exemplos:

primeira linha

a) (1 + 3) / 2 = 2

segunda linha

a) (4 + 8) / 2 = 6

b) (5 + 7) / 2 = 6

Números quadrados e números quase-quadrados perfeitos

O Triângulo Numérico 3 apresenta relações numéricas entre números quadrados perfeitos e números quase-quadrados perfeitos e números perfeitos.

A média aritmética entre um número quadrado perfeito e um número quase-quadrado perfeito tem como quociente um número retangular.

A metade de um número retangular é um triangular.

Entre os números triangulares estão os números perfeitos.

Os números quadrados perfeitos e os números quase quadrados perfeitos se encontram em cada lado do Triângulo Númerico 3.

primeira linha

( 1 + 3 ) / 2 = 2

segunda linha

(4 + 8) / 2 = 6

terceira linha

( 9 + 15 ) / 2 = 12 (número retangular)

12 : 2 = 6 (número perfeito)

3 é a ordem / posição do número triangular e perfeito 6

3 é a soma de potências de base 2

1 + 2 = 3

A soma consecutiva de potências de base 2 cujo resultado é um número primo múltiplicada pelo último termo da sequência é um número perfeito.

3 x 2 = 6 (número perfeito)

Fórmula de Euclides para números perfeitos

para n = 2:

2^2-1 x (2² − 1)

2 x 3 = 6 (número perfeito)

Números primos gêmeos

Números primos gêmeos são duplas de números primos cuja diferença entre eles são 2 unidades (cor laranja).

Determinados números retangulares / oblongos são as médias aritméticas de números primos gêmeos.

Exemplos:

segunda linha

5 e 7 são primos gêmeos

(5 + 7) / 2 = 6

terceira linha

11 e 13 são primos gêmeos

(11 + 13) / 2 = 12

quinta linha

29 e 31 são primos gêmeos

(29 + 31) / 2 = 30

Soma das linhas

Cada linha do Triângulo Numérico 3 forma uma progressão aritmética finita de quantidades ímpares de termos.

A soma dos termos de cada linha do Triângulo Numérico 3 tem como resultado um número divisivel pelo número retangular correspondente a essa linha.

Exemplos:

primeira linha

6 : 2 = 3 (quantidade de termos na primeira linha)

segunda linha

30 : 6 = 5 (quantidade de termos na segunda linha)

terceira linha

84 : 12 = 7 (quantidade de termos na terceira linha)

Média aritmética

A média aritmética de cada uma das linhas do Triângulo Numérico 3 tem como resultado o número retangular que se encontra na altura do triângulo e nessa mesma linha.

Exemplos:

primeira linha

(1 + 2 + 3) : 3 = 2

segunda linha

(4 + 5 + 6 + 7 + 8) : 5 = 6

Autor: Ricardo Silva - agosto/2022

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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