2^2^n + 1 é uma fórmula desenvolvida por Pierre de Fermat (1601-1658), magistrado e entusiasta matemático francês, que possivelmente em 1640, teria relatado a seu amigo Bernad Frénicle de Bessy (1602-1675) de que poderia gerar números primos.
A fórmula consiste em elevar ao 2 uma potência de base 2 somado 1, isto é, 2 elevado a 2 elevado a n (ene) somado 1.
Realmente os 5 primeiros Números de Fermat são números primos.
| Números de Fermat | ||
| n | 22^N +1 | |
| 0 | 3 | primo |
| 1 | 5 | primo |
| 2 | 17 | primo |
| 3 | 257 | primo |
| 4 | 65.537 | primo |
| 5 | 4.294.967.297 | composto |
| 6 | 18.446.744.073.709.551.617 | composto |
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Leonhard Euler (1707-1783), matemático suiço, em 1732, provou que o Número de Fermat (F5): 4.294.967.297 era número composto. Outros matemáticos vieram também comprovar, posteriormente, que os demais números subsequentes ao (F5): de F6 a F22 até o presente são todos números compostos, conforme link do WebSite Revista do Professos de Matemática - RPM:
https://rpm.org.br/cdrpm/7/5.htm
Há um fato curioso entre potências de base 2 e os Números de Fermat e o WebSite Os Fantásticos Números Primos faz a seguinte indagação:
O número 2 é ou não é um Primo de Fermat ?
Vejamos:
1) cálculos sintéticos
22^0 + 1 = 3
22^1 + 1 = 5
22^2 + 1 = 17
22^3 + 1 = 257
22^4 + 1 = 65.537
a) os "segundos" expoentes são números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,... (aparece expoente 0 (zero))
ou
2) cálculos analíticos
22^0 + 1 = 21 + 1 = 2 + 1 = 3
22^1 + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5
22^2 + 1 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17
22^3 + 1 = 28 + 1 = 256 + 1 = 257
22^4 + 1 = 216 + 1 = 65536 + 1 = 65.537
a) nas primeiras expressões, expoentes são são números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,...
b) nas segundas expressões, expoentes são potências de base 2: 1, 2, 4, 8, 16,...(não aparece expoente 0 (zero))
No WebSite Wikipédia, Potência de 2 :
"Uma potência de dois é qualquer número obtido ao elevar o número dois a uma potência inteira não negativa ou, equivalentemente, é o resultado de multiplicar 2 por si mesmo um número inteiro (e não negativo) de vezes. Note-se que o número 1 é uma potência de dois (a potência zero)."
"Um número primo que é uma potência de dois menos um (por exemplo, 31 = 25 − 1) recebe o nome de primo de Mersenne, enquanto que um número primo que é um mais uma potência de dois (como 257 = 28 + 1) recebe o nome de número primo de Fermat."
A presente tabela demonstra as 10 primeiras potências de base 2 somada 1 unidade.
A ordem / posição são também os respectivos expoentes da base 2.
Efetuando se o primeiro cálculo:
20 + 1 = 1 + 1 = 2,
isto é:
uma potência de base 2 mais 1 é igual a um Primo de Fermat.
ou
1 mais uma potência de base 2 é igual a um Primo de Fermat.
O número 2 é ou não é um Primo de Fermat ?
| Potências de Base 2 | ||||
| somada 1 unidade | ||||
| ordem / | base | potência | potência de 2 | Número |
| posição | 2 | de 2 | somado | de |
| 1 | ||||
| expoente | ||||
| 0 | 2 | 1 | 2 | |
| 1 | 2 | 2 | 3 | Fermat |
| 2 | 2 | 4 | 5 | Fermat |
| 3 | 2 | 8 | 9 | 1 intervalo |
| 4 | 2 | 16 | 17 | Fermat |
| 5 | 2 | 32 | 33 | |
| 6 | 2 | 64 | 65 | 3 intervalos |
| 7 | 2 | 128 | 129 | |
| 8 | 2 | 256 | 257 | Fermat |
| 9 | 2 | 512 | 513 | |
| 10 | 2 | 1024 | 1025 | |
Autor: Ricardo Silva - novembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
https://rpm.org.br/cdrpm/7/5.htm
Wikipédia, Potência de 2
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