Pierre de Fermat (1601-1658), magistrado e entusiasta matemático francês, em carta datada provavelmente em 1640, relatou a seu amigo Bernad Frénicle de Bessy (1602-1675) que desenvolvera uma fórmula para se gerar números primos.
A fórmula consiste em elevar ao 2 uma potência de base 2 somado 1, isto é, 2 elevado a 2 elevado a n (ene) somado 1, cuja fórmula algébrica é: 2^2^n + 1.
Realmente os 5 primeiros Números Fermat são números primos e em 1732, Leonhard Euler (1707-1783), matemático suiço provou que o Número de Fermat: 4.294.967.297 era composto. Outros matemáticos, depois de Euler, vieram comprovar que os demais Números de Fermat até o presente são todos números compostos.
O presente estudo demonstra regularidades numéricas entre potências de base 2 somada 1 unidade com Números de Fermat e outras sequências numéricas.
A tabela apresenta os 7 primeiros Números de Fermat e, entre eles, Números Primos de Fermat, como se observa, os números crescem exponencialmente.
Interessante observar que a partir do 30 termo dos Números de Fermat, o último algarismo termina em 7. Será uma regularidade para os demais Números de Fermat?
| Números de Fermat | ||
| n | 22^N + 1 | |
| 0 | 3 | primo |
| 1 | 5 | primo |
| 2 | 17 | primo |
| 3 | 257 | primo |
| 4 | 65.537 | primo |
| 5 | 4.294.967.297 | composto |
| 6 | 18.446.744.073.709.551.617 | composto |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br |
A tabela apresenta as 64 primeiras potências de base 2 somada 1 unidade.
Potências de Base 2 somada 1 unidade têm como resultados números ímpares a partir da ordem / posição 1 e, entres eles, Números de Fermat.
A tabela de Potências de Base 2 demonstram as seguintes regularidades numéricas:
a) ordem / posição que é uma potência de base 2, o resultado é um Número de Fermat;
b) expoente que é uma potência de base 2, o resultado é um Número de Fermat;
c) os intervalos entre os Números de Fermat é uma potência de base 2 menos 1 unidade.
d) os intervalos entre os Números de Fermat são Números de Mersenne: 1, 3, 7, 15, 31,..., também denominados de Números Quase-Potências de Base 2.
e) os intervalos entre os Números de Fermat corresponde as quantidades de 0 (zeros) nos próprios Números de Fermat quando convertidos a números binários (demonstrações a seguir);
f) os Números de Fermat, a partir do 30 termo, têm seu último algarismo terminado em 7.
Interessante obsevar que os Números de Fermat aparecem alinhados a números que são as próprias potência de base 2 (células laranja).
| Potências de Base 2 e | ||||
| Números de Fermat | ||||
| ordem / | base | potência | potência de 2 | Número |
| posição | 2 | de 2 | somado | de |
| 1 | ||||
| expoente | ||||
| 0 | 2 | 1 | 2 | |
| 1 | 2 | 2 | 3 | Fermat |
| 2 | 2 | 4 | 5 | Fermat |
| 3 | 2 | 8 | 9 | 1 intervalo |
| 4 | 2 | 16 | 17 | Fermat |
| 5 | 2 | 32 | 33 | |
| 6 | 2 | 64 | 65 | 3 intervalos |
| 7 | 2 | 128 | 129 | |
| 8 | 2 | 256 | 257 | Fermat |
| 9 | 2 | 512 | 513 | |
| 10 | 2 | 1024 | 1025 | |
| 11 | 2 | 2048 | 2049 | |
| 12 | 2 | 4096 | 4097 | 7 intervalos |
| 13 | 2 | 8192 | 8193 | |
| 14 | 2 | 16384 | 16385 | |
| 15 | 2 | 32768 | 32769 | |
| 16 | 2 | 65536 | 65537 | Fermat |
| 17 | 2 | 131072 | 131073 | |
| 18 | 2 | 262144 | 262145 | |
| 19 | 2 | 524288 | 524289 | |
| 20 | 2 | 1048576 | 1048577 | |
| 21 | 2 | 2097152 | 2097153 | |
| 22 | 2 | 4194304 | 4194305 | |
| 23 | 2 | 8388608 | 8388609 | 15 intervalos |
| 24 | 2 | 16777216 | 16777217 | |
| 25 | 2 | 33554432 | 33554433 | |
| 26 | 2 | 67108864 | 67108865 | |
| 27 | 2 | 134217728 | 134217729 | |
| 28 | 2 | 268435456 | 268435457 | |
| 29 | 2 | 536870912 | 536870913 | |
| 30 | 2 | 1073741824 | 1073741825 | |
| 31 | 2 | 2147483648 | 2147483649 | |
| 32 | 2 | 4294967296 | 4294967297 | Fermat |
| 33 | 2 | 8589934592 | 8589934593 | |
| 34 | 2 | 17179869184 | 17179869185 | |
| 35 | 2 | 34359738368 | 34359738369 | |
| 36 | 2 | 68719476736 | 68719476737 | |
| 37 | 2 | 1,37439E+11 | 1,37439E+11 | |
| 38 | 2 | 2,74878E+11 | 2,74878E+11 | |
| 39 | 2 | 5,49756E+11 | 5,49756E+11 | |
| 40 | 2 | 1,09951E+12 | 1,09951E+12 | |
| 41 | 2 | 2,19902E+12 | 2,19902E+12 | |
| 42 | 2 | 4,39805E+12 | 4,39805E+12 | |
| 43 | 2 | 8,79609E+12 | 8,79609E+12 | |
| 44 | 2 | 1,75922E+13 | 1,75922E+13 | |
| 45 | 2 | 3,51844E+13 | 3,51844E+13 | |
| 46 | 2 | 7,03687E+13 | 7,03687E+13 | |
| 47 | 2 | 1,40737E+14 | 1,40737E+14 | |
| 48 | 2 | 2,81475E+14 | 2,81475E+14 | 31 intervalos |
| 49 | 2 | 5,6295E+14 | 5,6295E+14 | |
| 50 | 2 | 1,1259E+15 | 1,1259E+15 | |
| 51 | 2 | 2,2518E+15 | 2,2518E+15 | |
| 52 | 2 | 4,5036E+15 | 4,5036E+15 | |
| 53 | 2 | 9,0072E+15 | 9,0072E+15 | |
| 54 | 2 | 1,80144E+16 | 1,80144E+16 | |
| 55 | 2 | 3,60288E+16 | 3,60288E+16 | |
| 56 | 2 | 7,20576E+16 | 7,20576E+16 | |
| 57 | 2 | 1,44115E+17 | 1,44115E+17 | |
| 58 | 2 | 2,8823E+17 | 2,8823E+17 | |
| 59 | 2 | 5,76461E+17 | 5,76461E+17 | |
| 60 | 2 | 1,15292E+18 | 1,15292E+18 | |
| 61 | 2 | 2,30584E+18 | 2,30584E+18 | |
| 62 | 2 | 4,61169E+18 | 4,61169E+18 | |
| 63 | 2 | 9,22337E+18 | 9,22337E+18 | |
| 64 | 2 | 1,84467E+19 | 184474407709551617 | Fermat |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
A correspondência de Números de Fermat com os números binários apresentam uma simetria em relação aos extremos, pois apresentam sempre o bit 1.
As quantidades de Bit 0 em cada número binário nestes exemplos, seguem a sequência 1, 3, 7, 15 e 31, uma potência de 2 menos 1 unidade.
| Números de Fermat | |||
| e números binários | |||
| N | Decimal | Binário | Mersenne/ Zeros |
| 22^N +1 | |||
| 0 | 3 | 11 | |
| 1 | 5 | 101 | 1 zero |
| 2 | 17 | 10001 | 3 zeros |
| 3 | 257 | 100000001 | 7 zeros |
| 4 | 65537 | 10000...00001 | 15 zeros |
| 5 | 4294967297 | 100000...000001 | 31 zeros |
| 6 | 184474407709551617 | 1000000..0.000001 | 63 zeros |
Fonte: Guimarães, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992
A correspondência de Números de Mersenne com os números binários apresentam uma simetria de forma que os números binários apresentam-se em forma de triângulo.
O expoente (n) é a mesma quantidade do bit 1 em de cada número binário.
| Números de Mersenne | ||
| e números binários | ||
| n | Decimal | Binário |
| 2n - 1 | ||
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 11 |
| 3 | 7 | 111 |
| 4 | 15 | 1111 |
| 5 | 31 | 11111 |
| 6 | 63 | 111111 |
| 7 | 127 | 1111111 |
| 8 | 255 | 11111111 |
| 9 | 511 | 111111111 |
| 10 | 1.023 | 1111111111 |
| 11 | 2.047 | 11111111111 |
| 12 | 4.095 | 111111111111 |
| 13 | 8.191 | 1111111111111 |
| 14 | 16.383 | 11111111111111 |
| 15 | 32.767 | 111111111111111 |
| 16 | 65.535 | 1111111111111111 |
| 17 | 131.071 | 11111111111111111 |
| 18 | 262.143 | 111111111111111111 |
| 19 | 524.287 | 1111111111111111111 |
Fonte: Guimarães, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992
A cada 2 números de potências de base 2 somada 1 unidade tem como resultado um múltiplo de 3 (número primo): 3, 9, 33, 129, 513.
Números de Fermat se encontram entre 2 múltiplos de 3 da seguinte forma: um terminado em 9 e o outro em 3.
Exemplo 1)
(3 x 2) + 3 = 9 (9 se encontra na tabela)
17 está entre 9 e 33
(3 x 8) + 9 = 33 (33 se encontra na tabela)
8 + 9 = 17
2 é uma potência de 2, mas não é quadrado perfeito e é antecessor de 3.
8 é uma potência de 2, mas não é quadrado perfeito e sucessor de 9.
Exemplo 2)
(3 x 32) + 33 = 129 (129 se encontra na tabela)
257 está entre 129 e 513
(3 x 128 ) + 129 = 513 (513 se encontra na tabela)
32 é uma potência de 2, mas não é quadrado perfeito e é antecessor de 33.
128 é uma potência de 2, mas não é quadrado perfeito e sucessor de 129.
| ordem / | base | potência | potência | Número |
| posição | 2 | somado | de | |
| 1 | ||||
| expoente | ||||
| 0 | 2 | 1 | 2 | |
| 1 | 2 | 2 | 3 | Fermat |
| 2 | 2 | 4 | 5 | Fermat |
| 3 | 2 | 8 | 9 | 1 intervalo |
| 4 | 2 | 16 | 17 | Fermat |
| 5 | 2 | 32 | 33 | |
| 6 | 2 | 64 | 65 | 3 intervalos |
| 7 | 2 | 128 | 129 | |
| 8 | 2 | 256 | 257 | Fermat |
| 9 | 2 | 512 | 513 |
De forma prática, a soma de uma potência de base 2 (cujo expoente é 1 unidade menor que uma potência de base 2) com seu consecutivo (múltiplo de 3) tem como resultado um Número de Fermat.
Observação importante: potências de base 2 menos 1 unidade são denominadas de Números de Mersenne, como também, números quase-potências de base 2
Exemplo 1)
o expoente 1 é um Número de Mersenne
21 = 2
2 + 3 = 5 (Número de Fermat)
Exemplo 2)
o expoente 3 é um Número de Mersenne
23 = 8
8 + 9 = 17 (Número de Fermat)
Exemplo 3)
o expoente 7 é um Número de Mersenne
27 = 128
128 + 129 = 257 (Número de Fermat)
Exemplo 3)
o expoente 15 é um Número de Mersenne
215 = 32768
32768 + 32769 = 65537 (Número de Fermat)
As regularidades aqui descritas demonstram um novíssimo metódo para se obter Números de Fermat por meio da soma de 2 números consecutivos.
Outra propriedade numérica relacionada a Números de Fermat é que a diferença entre seus termos têm como resultados números retangulares.
Números retangulares são números que são produtos de 2 números consecutivos.
A metade de número retangular é um número triangular.
Interessante observar que:
a) nos números consecutivos, o primeiro fator é um Número de Mersenne, o segundo fator é uma potência de base 2;
b) os números formam triplas consecutivas com Números de Fermat.
A partir de um Número de Fermat, o produto de dois números antecessores é a diferença entre dois Números de Fermat.
5 - 3 = 2
2 é um número retangular, pois ( 1 x 2 = 2 )
Tripla 1, 2 e 3 ( 3 é um Número de Fermat)
17 - 5 = 12
12 é um número retangular, pois ( 3 x 4 = 12 )
Tripla 3, 4 e 5 ( 5 é um Número de Fermat)
257 - 17 = 240
240 é um número retangular, pois ( 15 x 16 = 240 )
Tripla 15, 16 e 17 ( 17 é um Número de Fermat)
65.537 - 257 = 65.280
65.280 é um número retangular, pois ( 255 x 256 = 240 )
Tripla 255, 256 e 257 ( 257 é um Número de Fermat)
4.294.967.297 - 65.537 = 4.294.901.760
4.294.901.770 é um número retangular, pois ( 65.535 x 65.536 = 4.294.901.760 )
Tripla 65.535, 65.536 e 65.537 ( 65.537 é um Número de Fermat)
18.446.744.073.709.551.617 - 4.294.967.297 = 18.446.744.069.414.584.320
18.446.744.069.414.584.320 é um número retangular, pois ( 4.294.967.295 x 4.294.967.296 = 18.446.744.069.414.584.320 )
Tripla 4.294.967.295, 4.294.967.296 e 4.294.967.297 ( 4.294.967.297 é um Número de Fermat)
Autor: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - novembro/2024
GUIMARÃES, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992.
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Números de Fermat em: https://rpm.org.br/cdrpm/7/5.htm
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
