2^2^n + 1 é uma fórmula desenvolvida por Pierre de Fermat (1601-1658), magistrado e entusiasta matemático francês, provavelmente em 1640. A fórmula consiste em 2 elevado a 2 elevado a n (ene) somado 1 unidade, isto é, 2 elevado à uma potência de base 2 somado 1 unidade.
Os números gerados pela fórmula 2^2^n + 1, são denominados de Números de Fermat. Pierre de Fermat acreditava que a sua fórmula geraria sequencialmente números primos, na verdade, os 5 primeiros números são números primos.
Cálculos efetuados por Leonhard Euler (1707-1783), matemático suiço, em 1732, provou que o Número de Fermat: 4.294.967.297 era composto. Posteriormente, outros matemáticos provavam que números subsequentes aos cálculos de Euler também eram números compostos.
Números de Fermat apresentam interessantes propriedades e relações numéricas com números binários, Números de Mersenne, múltiplos de 3, potências de base 2, etc...
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O presente estudo demonstra relações numéricas entre Números de Fermat e números retangulares, bem como, a Números de Mersenne e potências de base 2.
A tabela apresenta os 7 primeiros Números de Fermat, entre eles, os números primos e compostos.
Interessante observar que a partir do terceiro termo da sequência, os números terminam com o algarismo 7.
| Números de Fermat | ||
| n | 22^N + 1 | |
| 0 | 3 | primo |
| 1 | 5 | primo |
| 2 | 17 | primo |
| 3 | 257 | primo |
| 4 | 65.537 | primo |
| 5 | 4.294.967.297 | composto |
| 6 | 18.446.744.073.709.551.617 | composto |
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Números retangulares, também denominados de oblongos, são números que são produtos de 2 números consecutivos.
A metade de número retangular é um número triangular.
Exemplos:
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
3 x 4 = 12
4 x 5 = 20
2, 6, 12, 20 são exemplos de números retangulares.
A diferença entre dois números consecutivos de Fermat têm como resultado um número retangular.
Interessante observar que:
a) nos números consecutivos, o primeiro fator é um Número de Mersenne, o segundo fator é uma potência de base 2;
b) os 2 números consecutivos e os de Fermat formam triplas numéricas consecutivas.
A partir de um Número de Fermat, o produto de dois números antecessores aos Números de Fermat é a diferença entre dois Números de Fermat.
5 - 3 = 2
2 é um número retangular, pois ( 1 x 2 = 2 )
Tripla 1, 2 e 3 ( 3 é um Número de Fermat)
17 - 5 = 12
12 é um número retangular, pois ( 3 x 4 = 12 )
Tripla 3, 4 e 5 ( 5 é um Número de Fermat)
257 - 17 = 240
240 é um número retangular, pois ( 15 x 16 = 240 )
Tripla 15, 16 e 17 ( 17 é um Número de Fermat)
65.537 - 257 = 65.280
65.280 é um número retangular, pois ( 255 x 256 = 240 )
Tripla 255, 256 e 257 ( 257 é um Número de Fermat)
4.294.967.297 - 65.537 = 4.294.901.760
4.294.901.770 é um número retangular, pois ( 65.535 x 65.536 = 4.294.901.760 )
Tripla 65.535, 65.536 e 65.537 ( 65.537 é um Número de Fermat)
18.446.744.073.709.551.617 - 4.294.967.297 = 18.446.744.069.414.584.320
18.446.744.069.414.584.320 é um número retangular, pois ( 4.294.967.295 x 4.294.967.296 = 18.446.744.069.414.584.320 )
Tripla 4.294.967.295, 4.294.967.296 e 4.294.967.297 ( 4.294.967.297 é um Número de Fermat)
Autor: Ricardo Silva e Ari Costa - novembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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