O Triângulo Numérico 13 - Números Quadrados Perfeitos é um dispositivo numérico infinito formado por números quadrados perfeitos.
O presente estudo demonstra as características construtivas, propriedades e relações numéricas do Triângulo Numérico 13 com os próprios números quadrados perfeitos, com também, com outras sequências numéricas, tais como: números triangulares, números primos, números de Mersenne.
a) o triângulo é formado por quantidades de linhas pares;
b) seu formato assemelha-se a um triângulo retângulo;
c) a primeira coluna é formada por números quadrados perfeitos cujos algarismos finais terminam em 1 e 9.
A primeira coluna do Triângulo Numérico 13 é formada por números quadrados perfeitos gerados de produtos de dois números quadrados perfeitos consecutivos e as somas destes.
Exemplos:
a) ( 0 x 1 ) + 0 + 1 = 1
b) ( 1 x 4 ) + 1 + 4 = 9
c) ( 4 x 9 ) + 4 + 9 = 49
d) ( 9 x 16 ) = 9 + 16 = 169
e) ( 16 x 25 ) = 16 + 25 = 441
As raízes quadradas dos produtos de 2 números quadrados perfeitos consecutivos e a soma destes têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.
Exemplos:
a) √1 = 1
b) √9 = 3 (primo)
c) √49 = 7 (primo)
d) √169 = 13 (primo)
e) √441 = 21
Observações importantes:
1) 3, 7, 31 são primos de Mersenne;
2) A raiz quadrada do produto de 2 números quadrados perfeitos consecutivos e a soma destes também pode ser obtida por meio da soma de um quadrado, sua raiz e 1 unidade.
Exemplos:
a) 1 + 1 + 1 = 3
b) 4 + 2 + 1 = 7
c) 9 + 3 + 1 = 13
Para mais informações, acesse:
011-estudos-424-soma-numero-quadrado-perfeito-sua-raiz-unidade
3) A raiz quadrada do produto de 2 números quadrados perfeitos consecutivos e a soma destes também pode ser obtida por meio do dobro de um número triangular somada 1 unidade.
Exemplos:
a) (2 x 1) + 1 = 3
b) (2 x 3) + 1 = 7
c) (2 x 6) + 1 = 13
d) (2 x 10) + 1 = 21
e) (2 x 15) + 1 = 31
Para mais informações, acesse:
011-estudos-246-numeros-figurados-pentagonais
A tabela a seguir apresenta os 50 primeiros Produtos de 2 Quadrados Perfeitos Consecutivos e a Soma Destes sintetizando as relações numéricas acima demonstradas.
Coluna (a) - números naturais
Coluna (b) - quadrados dos números naturais
Coluna (c) - produto de dois quadrados consecutivos da Coluna (b)
Coluna (d) - soma de dois quadrados consecutivos da Coluna (b)
Coluna (e) - soma das Colunas (c) e (d)
Coluna (f) - raiz quadrada da Coluna (e)
Interessante observar que os intervalos entre os quadrados perfeitos da Coluna (b), destacados em laranja, formam a sequência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, ... e que são também as respectivas raízes quadradas (número natural).
| Produto de | |||||
| 2 Quadrados Consecutivos | |||||
| e | |||||
| a Soma Destes | |||||
| a | b | c | d | e | f |
| número | número | produto | soma | quadrado | raiz |
| natural | quadrado | 2 quadrados | 2 quadrados | quadrada | |
| consecutivos | consecutivos | ||||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 4 | 5 | 9 | 3 |
| 2 | 4 | 36 | 13 | 49 | 7 |
| 3 | 9 | 144 | 25 | 169 | 13 |
| 4 | 16 | 400 | 41 | 441 | 21 |
| 5 | 25 | 900 | 61 | 961 | 31 |
| 6 | 36 | 1764 | 85 | 1849 | 43 |
| 7 | 49 | 3136 | 113 | 3249 | 57 |
| 8 | 64 | 5184 | 145 | 5329 | 73 |
| 9 | 81 | 8100 | 181 | 8281 | 91 |
| 10 | 100 | 12100 | 221 | 12321 | 111 |
| 11 | 121 | 17424 | 265 | 17689 | 133 |
| 12 | 144 | 24336 | 313 | 24649 | 157 |
| 13 | 169 | 33124 | 365 | 33489 | 183 |
| 14 | 196 | 44100 | 421 | 44521 | 211 |
| 15 | 225 | 57600 | 481 | 58081 | 241 |
| 16 | 256 | 73984 | 545 | 74529 | 273 |
| 17 | 289 | 93636 | 613 | 94249 | 307 |
| 18 | 324 | 116964 | 685 | 117649 | 343 |
| 19 | 361 | 144400 | 761 | 145161 | 381 |
| 20 | 400 | 176400 | 841 | 177241 | 421 |
| 21 | 441 | 213444 | 925 | 214369 | 463 |
| 22 | 484 | 256036 | 1013 | 257049 | 507 |
| 23 | 529 | 304704 | 1105 | 305809 | 553 |
| 24 | 576 | 360000 | 1201 | 361201 | 601 |
| 25 | 625 | 422500 | 1301 | 423801 | 651 |
| 26 | 676 | 492804 | 1405 | 494209 | 703 |
| 27 | 729 | 571536 | 1513 | 573049 | 757 |
| 28 | 784 | 659344 | 1625 | 660969 | 813 |
| 29 | 841 | 756900 | 1741 | 758641 | 871 |
| 30 | 900 | 864900 | 1861 | 866761 | 931 |
| 31 | 961 | 984064 | 1985 | 986049 | 993 |
| 32 | 1024 | 1115136 | 2113 | 1117249 | 1057 |
| 33 | 1089 | 1258884 | 2245 | 1261129 | 1123 |
| 34 | 1156 | 1416100 | 2381 | 1418481 | 1191 |
| 35 | 1225 | 1587600 | 2521 | 1590121 | 1261 |
| 36 | 1296 | 1774224 | 2665 | 1776889 | 1333 |
| 37 | 1369 | 1976836 | 2813 | 1979649 | 1407 |
| 38 | 1444 | 2196324 | 2965 | 2199289 | 1483 |
| 39 | 1521 | 2433600 | 3121 | 2436721 | 1561 |
| 40 | 1600 | 2689600 | 3281 | 2692881 | 1641 |
| 41 | 1681 | 2965284 | 3445 | 2968729 | 1723 |
| 42 | 1764 | 3261636 | 3613 | 3265249 | 1807 |
| 43 | 1849 | 3579664 | 3785 | 3583449 | 1893 |
| 44 | 1936 | 3920400 | 3961 | 3924361 | 1981 |
| 45 | 2025 | 4284900 | 4141 | 4289041 | 2071 |
| 46 | 2116 | 4674244 | 4325 | 4678569 | 2163 |
| 47 | 2209 | 5089536 | 4513 | 5094049 | 2257 |
| 48 | 2304 | 5531904 | 4705 | 5536609 | 2353 |
| 49 | 2401 | 6002500 | 4901 | 6007401 | 2451 |
| 50 | 2500 | 6502500 | 5101 | 6507601 | 2551 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Prezado Sr. Visitante, recomendamos a leitura do estudo:
011-estudos-547-diagonal-bloco-retangular-sequencias-numericas
pois é uma complementação das regularidades numéricas aqui apresentadas!
Autor: Ricardo Silva - fevereiro/2025
MARQUES, David Dias. O produto entre dois quadrados perfeitos consecutivos mais a soma destes. Paracuru-CE, 2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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