Em sua vídeo-aula, Aritmética: Aula 6 Parte I: O Teorema e o Pequeno Teorema de Fermat, de 9 de setembro de 2021, no YouTube, o Professor Laerte Bemm discorre de teorias sobre divisibilidade, números primos e potências envolvendo o Teorema de Fermat.
O Professor Laerte, diz que desde, pelo menos, 500 antes de Cristo, os chineses sabiam que, se p é um número primo, então p | 2^p - 2.
| p | 2^p - 2. |
e que Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado, entusiasta matemático e cientista francês, no século XVII, generalizou o resultado dizendo que escolhendo-se base diferente de 2, a diferença também era um número dívisível por número primo.
| p | n^p - n. |
O presente estudo demonstra um fato matemárico interessante, utilizando-se tanto a fórmula chinesa ( p | 2^p - 2 ) quanto a de Pierre de Fermat ( p | n^p - n ), com bases e expoentes primos, as diferenças também são números divisíveis por 3, pois as somas dos algarismos são divisíveis por 3, excetuando-se as vezes, a primeira operação aritmética na primeira linha de cada tabela, conforme demonstradas a seguir.
A tabela apresenta as 12 primeiras operações efetuadas com a fórmula chinesa p | 2^p - 2.
A coluna diferença demonstra que cada resultado é divisível pelo seu número primo correspondente e mais ainda, cada diferença, partindo-se do número 6, as somas dos algarismos é múltiplo de 3.
| ordem/ | número | base | expoente | potência | menos | diferença |
| posição | primo | primo | base | |||
| 1 | 2 | 2 | 2 | 4 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 3 | 8 | 2 | 6 |
| 3 | 5 | 2 | 5 | 32 | 2 | 30 |
| 4 | 7 | 2 | 7 | 128 | 2 | 126 |
| 5 | 11 | 2 | 11 | 2048 | 2 | 2046 |
| 6 | 13 | 2 | 13 | 8192 | 2 | 8190 |
| 7 | 17 | 2 | 17 | 131072 | 2 | 131070 |
| 8 | 19 | 2 | 19 | 524288 | 2 | 524286 |
| 9 | 23 | 2 | 23 | 8388608 | 2 | 8388606 |
| 10 | 29 | 2 | 29 | 536870912 | 2 | 536870910 |
| 11 | 31 | 2 | 31 | 2147483648 | 2 | 2147483646 |
| 12 | 37 | 2 | 37 | 1,37439E+11 | 2 | 1,37439E+11 |
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A tabela apresenta as 6 primeiras operações efetuadas com a fórmula de Pierre de Fermat p | n^p - n.
A coluna diferença demonstra que cada resultado é divisível pelo seu número primo correspondente e mais ainda, cada diferença partindo-se do número 6, as somas dos algarismos é múltiplo de 3.
| ordem/ | número | base | expoente | potência | menos | diferença |
| posição | primo | primo | base | |||
| 2 | 3 | 2 | 9 | 3 | 6 | |
| 1 | 3 | 3 | 3 | 27 | 3 | 24 |
| 2 | 5 | 3 | 5 | 243 | 3 | 240 |
| 3 | 7 | 3 | 7 | 2187 | 3 | 2184 |
| 4 | 11 | 3 | 11 | 177147 | 3 | 177144 |
| 5 | 13 | 3 | 13 | 1594323 | 3 | 1594320 |
| 6 | 17 | 3 | 17 | 1,29E+08 | 3 | 1,29E+08 |
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A tabela apresenta as 6 primeiras operações efetuadas com a fórmula de Pierre de Fermat p | n^p - n.
A coluna diferença demonstra que cada resultado é divisível pelo seu número primo correspondente e mais ainda, cada diferença partindo-se do número 120, as somas dos algarismos é múltiplo de 3.
| ordem/ | número | base | expoente | potência | menos | diferença |
| posição | primo | primo | base | |||
| 1 | 2 | 5 | 2 | 25 | 5 | 20 |
| 2 | 3 | 5 | 3 | 125 | 5 | 120 |
| 3 | 5 | 5 | 5 | 3125 | 5 | 3120 |
| 4 | 7 | 5 | 7 | 78125 | 5 | 78120 |
| 5 | 11 | 5 | 11 | 48828125 | 5 | 48828120 |
| 6 | 13 | 5 | 13 | 1,22E+09 | 5 | 1,22E+09 |
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A tabela apresenta as 6 primeiras operações efetuadas com a fórmula de Pierre de Fermat p | n^p - n.
A coluna diferença demonstra que cada resultado é divisível pelo seu número primo correspondente e mais ainda, cada diferença, partindo-se do número 42, as somas dos algarismos é múltiplo de 3.
| ordem/ | número | base | expoente | potência | menos | diferença |
| posição | primo | primo | base | |||
| 1 | 2 | 7 | 2 | 49 | 7 | 42 |
| 2 | 3 | 7 | 3 | 343 | 7 | 336 |
| 3 | 5 | 7 | 5 | 16807 | 7 | 16800 |
| 4 | 7 | 7 | 7 | 823543 | 7 | 823536 |
| 5 | 11 | 7 | 11 | 1,98E+09 | 7 | 1977326736 |
| 6 | 13 | 7 | 13 | 9,69E+10 | 7 | 96889010400 |
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A tabela apresenta as 6 primeiras operações efetuadas com a fórmula de Pierre de Fermat p | n^p - n.
A coluna diferença demonstra que cada resultado é divisível pelo seu número primo correspondente e mais ainda, cada diferença, partindo-se do número 1320, as somas dos algarismos é múltiplo de 3.
| ordem/ | número | base | expoente | potência | menos | diferença |
| posição | primo | primo | base | |||
| 1 | 2 | 11 | 2 | 121 | 11 | 110 |
| 2 | 3 | 11 | 3 | 1331 | 11 | 1320 |
| 3 | 5 | 11 | 5 | 161051 | 11 | 161040 |
| 4 | 7 | 11 | 7 | 19487171 | 11 | 19487160 |
| 5 | 11 | 11 | 11 | 2,85E+11 | 11 | 2,85312E+11 |
| 6 | 13 | 11 | 13 | 3,45E+13 | 11 | 3,45227E+13 |
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A tabela apresenta as 6 primeiras operações efetuadas com a fórmula de Pierre de Fermat p | n^p - n.
A coluna diferença demonstra que cada resultado é divisível pelo seu número primo correspondente e mais ainda, cada diferença partindo-se do número 156, as somas dos algarismos é múltiplo de 3.
| ordem/ | número | base | expoente | potência | menos | diferença |
| posição | primo | primo | base | |||
| 1 | 2 | 13 | 2 | 169 | 13 | 156 |
| 2 | 3 | 13 | 3 | 2197 | 13 | 2184 |
| 3 | 5 | 13 | 5 | 371293 | 13 | 371280 |
| 4 | 7 | 13 | 7 | 62748517 | 13 | 62748504 |
| 5 | 11 | 13 | 11 | 1,79E+12 | 13 | 1,79216E+12 |
| 6 | 13 | 13 | 13 | 3,03E+14 | 13 | 3,02875E+14 |
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A tabela apresenta as 30 primeiras operações efetuadas com a fórmula de Pierre de Fermat p | n^p - n.
Diferentemente, base primo elevada a expoente composto, a diferença não divisível por este número composto (há exceções).
Diferenças geradas de expoentes de números compostos não são divisíveis por 3.
| número | base | expoente | potência | menos | diferença | divisão | divisão |
| natural | base | pelo | por | ||||
| expoente | 3 | ||||||
| 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 2 | 2 | 4 | 2 | 2 | 1 | 0,66 |
| 3 | 2 | 3 | 8 | 2 | 6 | 2 | 2 |
| 4 | 2 | 4 | 16 | 2 | 14 | 3,5 | 4,66 |
| 5 | 2 | 5 | 32 | 2 | 30 | 6 | 10 |
| 6 | 2 | 6 | 64 | 2 | 62 | 10,333 | 20,66 |
| 7 | 2 | 7 | 128 | 2 | 126 | 18 | 42 |
| 8 | 2 | 8 | 256 | 2 | 254 | 31,75 | 84,66 |
| 9 | 2 | 9 | 512 | 2 | 510 | 56,666 | 170 |
| 10 | 2 | 10 | 1024 | 2 | 1022 | 102,2 | 340,66 |
| 11 | 2 | 11 | 2048 | 2 | 2046 | 186 | 682 |
| 12 | 2 | 12 | 4096 | 2 | 4094 | 341,166 | 1364,66 |
| 13 | 2 | 13 | 8192 | 2 | 8190 | 630 | 2730 |
| 14 | 2 | 14 | 16384 | 2 | 16382 | 1170,142 | 5460,66 |
| 15 | 2 | 15 | 32768 | 2 | 32766 | 2184,4 | 10922 |
| 16 | 2 | 16 | 65536 | 2 | 65534 | 4095,875 | 21844,6 |
| 17 | 2 | 17 | 131072 | 2 | 131070 | 7710 | 43690 |
| 18 | 2 | 18 | 262144 | 2 | 262142 | 14563,444 | 87380,6 |
| 19 | 2 | 19 | 524288 | 2 | 524286 | 27594 | 174762 |
| 20 | 2 | 20 | 1048576 | 2 | 1048574 | 52428,7 | 349524,7 |
| 21 | 2 | 21 | 2097152 | 2 | 2097150 | 99864,286 | 699050 |
| 22 | 2 | 22 | 4194304 | 2 | 4194302 | 190650,09 | 1398101 |
| 23 | 2 | 23 | 8388608 | 2 | 8388606 | 364722 | 2796202 |
| 24 | 2 | 24 | 16777216 | 2 | 16777214 | 699050,58 | 5592405 |
| 25 | 2 | 25 | 33554432 | 2 | 33554430 | 1342177,2 | 11184810 |
| 26 | 2 | 26 | 67108864 | 2 | 67108862 | 2581110,1 | 22369621 |
| 27 | 2 | 27 | 1,34E+08 | 2 | 1,34E+08 | 4971026,9 | 44739242 |
| 28 | 2 | 28 | 2,68E+08 | 2 | 2,68E+08 | 9586980,5 | 89478485 |
| 29 | 2 | 29 | 5,37E+08 | 2 | 5,37E+08 | 18512790 | 178956970 |
| 30 | 2 | 30 | 1,07E+09 | 2 | 1,07E+09 | 35791394 | 357913940,7 |
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A tabela apresenta as 30 primeiras operações efetuadas com a fórmula de Pierre de Fermat p | n^p - n.
Diferentemente, base primo elevada a expoente composto, a diferença não é divisível por este número composto (há exceções).
Diferenças geradas de expoentes de números compostos são divisíveis por 3.
| número | base | expoente | potência | menos | diferença | divisão | divisão |
| natural | base | pelo | por | ||||
| expoente | 3 | ||||||
| 1 | 3 | 1 | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 3 | 2 | 9 | 3 | 6 | 3 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 27 | 3 | 24 | 8 | 8 |
| 4 | 3 | 4 | 81 | 3 | 78 | 19,5 | 26 |
| 5 | 3 | 5 | 243 | 3 | 240 | 48 | 80 |
| 6 | 3 | 6 | 729 | 3 | 726 | 121 | 242 |
| 7 | 3 | 7 | 2187 | 3 | 2184 | 312 | 728 |
| 8 | 3 | 8 | 6561 | 3 | 6558 | 819,75 | 2186 |
| 9 | 3 | 9 | 19683 | 3 | 19680 | 2186,666667 | 6560 |
| 10 | 3 | 10 | 59049 | 3 | 59046 | 5904,6 | 19682 |
| 11 | 3 | 11 | 177147 | 3 | 177144 | 16104 | 59048 |
| 12 | 3 | 12 | 531441 | 3 | 531438 | 44286,5 | 177146 |
| 13 | 3 | 13 | 1594323 | 3 | 1594320 | 122640 | 531440 |
| 14 | 3 | 14 | 4782969 | 3 | 4782966 | 341640,4286 | 1594322 |
| 15 | 3 | 15 | 14348907 | 3 | 14348904 | 956593,6 | 4782968 |
| 16 | 3 | 16 | 43046721 | 3 | 43046718 | 2690419,875 | 14348906 |
| 17 | 3 | 17 | 1,29E+08 | 3 | 1,29E+08 | 7596480 | 43046720 |
| 18 | 3 | 18 | 3,87E+08 | 3 | 3,87E+08 | 21523360,33 | 1,29E+08 |
| 19 | 3 | 19 | 1,16E+09 | 3 | 1,16E+09 | 61171656 | 3,87E+08 |
| 20 | 3 | 20 | 3,49E+09 | 3 | 3,49E+09 | 174339219,9 | 1,16E+09 |
| 21 | 3 | 21 | 1,05E+10 | 3 | 1,05E+10 | 498112057,1 | 3,49E+09 |
| 22 | 3 | 22 | 3,14E+10 | 3 | 3,14E+10 | 1426411800 | 1,05E+10 |
| 23 | 3 | 23 | 9,41E+10 | 3 | 9,41E+10 | 4093181688 | 3,14E+10 |
| 24 | 3 | 24 | 2,82E+11 | 3 | 2,82E+11 | 11767897353 | 9,41E+10 |
| 25 | 3 | 25 | 8,47E+11 | 3 | 8,47E+11 | 33891544378 | 2,82E+11 |
| 26 | 3 | 26 | 2,54E+12 | 3 | 2,54E+12 | 97764070320 | 8,47E+11 |
| 27 | 3 | 27 | 7,63E+12 | 3 | 7,63E+12 | 2,8243E+11 | 2,54E+12 |
| 28 | 3 | 28 | 2,29E+13 | 3 | 2,29E+13 | 8,17028E+11 | 7,63E+12 |
| 29 | 3 | 29 | 6,86E+13 | 3 | 6,86E+13 | 2,36656E+12 | 2,29E+13 |
| 30 | 3 | 30 | 2,06E+14 | 3 | 2,06E+14 | 6,86304E+12 | 6,86E+13 |
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A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros resultados de potências de base 2 menos a base 2 divididas pela base 2 cujos quocientes são Números de Mersenne, de onde se deduz a seguinte fórmula:
| ( 2 ^ n - 2 ) / 2 |
Interessante observar que:
a) Número de Mersenne de ordem / posição ímpar é múltiplo de 3;
b) determinado Número de Mersenne de ordem / posição par é número primo;
| ordem / | base | expoente | potência | menos | diferença | divisão pela |
| posição | base | base | ||||
| 2 | 2 | |||||
| (números de | ||||||
| Mersenne) | ||||||
| 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 0 | 0 |
| 2 | 2 | 2 | 4 | 2 | 2 | 1 |
| 3 | 2 | 3 | 8 | 2 | 6 | 3 |
| 4 | 2 | 4 | 16 | 2 | 14 | 7 |
| 5 | 2 | 5 | 32 | 2 | 30 | 15 |
| 6 | 2 | 6 | 64 | 2 | 62 | 31 |
| 7 | 2 | 7 | 128 | 2 | 126 | 63 |
| 8 | 2 | 8 | 256 | 2 | 254 | 127 |
| 9 | 2 | 9 | 512 | 2 | 510 | 255 |
| 10 | 2 | 10 | 1024 | 2 | 1022 | 511 |
| 11 | 2 | 11 | 2048 | 2 | 2046 | 1023 |
| 12 | 2 | 12 | 4096 | 2 | 4094 | 2047 |
| 13 | 2 | 13 | 8192 | 2 | 8190 | 4095 |
| 14 | 2 | 14 | 16384 | 2 | 16382 | 8191 |
| 15 | 2 | 15 | 32768 | 2 | 32766 | 16383 |
| 16 | 2 | 16 | 65536 | 2 | 65534 | 32767 |
| 17 | 2 | 17 | 131072 | 2 | 131070 | 65535 |
| 18 | 2 | 18 | 262144 | 2 | 262142 | 131071 |
| 19 | 2 | 19 | 524288 | 2 | 524286 | 262143 |
| 20 | 2 | 20 | 1048576 | 2 | 1048574 | 524287 |
| 21 | 2 | 21 | 2097152 | 2 | 2097150 | 1048575 |
| 22 | 2 | 22 | 4194304 | 2 | 4194302 | 2097151 |
| 23 | 2 | 23 | 8388608 | 2 | 8388606 | 4194303 |
| 24 | 2 | 24 | 16777216 | 2 | 16777214 | 8388607 |
| 25 | 2 | 25 | 33554432 | 2 | 33554430 | 16777215 |
| 26 | 2 | 26 | 67108864 | 2 | 67108862 | 33554431 |
| 27 | 2 | 27 | 1,34E+08 | 2 | 134217726 | 67108863 |
| 28 | 2 | 28 | 2,68E+08 | 2 | 268435454 | 134217727 |
| 29 | 2 | 29 | 5,37E+08 | 2 | 536870910 | 268435455 |
| 30 | 2 | 30 | 1,07E+09 | 2 | 1,074E+09 | 536870911 |
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Autor: Ricardo Silva - abril/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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