Número quadrado perfeito é um número que é produto de um número natural por ele mesmo e quando extraída a sua raiz quadrado, o resultado é o mesmo número natural.
Números quadrados perfeitos possuem diversas propriedades relacionadas às sequências numéricas famosas como: números ímpares, números triangulares, números cúbicos, etc.
Números ímpares são números que quando divididos por 2 deixam resto 1.
O presente estudo demonstra 2 métodos de extrações de raízes quadradas exatas a partir da sequências de números ímpares consecutivos.
O presente método foi divulgado no Canal do YouTube Toda a Matemática do Professor Gustavo Viegas e que até o presente momento não foi possível encontrar-lô em seu canal.
O método consiste em subtrair sucessivamente do número que se deseja extrair a raiz a sequência de números ímpares consecutivos.
√ 4 = 2
(i) 4 - 1 = 3
(ii) 3 - 3 = 0
São 2 etapas de subtrações sucessivas.
O número de etapas é raiz quadrada de 4 que é 2.
A soma consecutiva de 1 + 3 = 4
Interessante observar que:
a) 4 é uma potência de base 2;
2^2 = 4
b) a diferença 3 é um número de Mersenne;
c) a soma dos divisores próprios de 4 é 3;
D(4)={ 1, 2, 4 }
1 + 2 = 3
√ 9 = 3
(i) 9 - 1 = 8
(ii) 8 - 3 = 5
(iii) 5 - 5 = 0
são 3 etapas de subtrações sucessivas.
O número de etapas é raiz quadrada de 9 que é 3.
A soma consecutiva de 1 + 3 + 5 = 9
√ 16 = 4
(i) 16 - 1 = 15
(ii) 15 - 3 = 12
(iii) 12 - 5 = 7
(iv) 7 - 7 = 0
são 4 etapas de subtrações sucessivas.
O número de etapas é raiz quadrada de 16 que é 4.
A soma consecutiva de 1 + 3 + 5 + 7 = 16
Interessante observar que:
a) 16 é uma potência de base 2;
2^4 = 16
b) a diferença 7 é um número de Mersenne;
c) a soma dos divisores próprios de 16 é 15;
D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16}
1 + 2 + 4 + 8 = 15
√ 25 = 5
(i) 25 - 1 = 24
(ii) 24 - 3 = 21
(iii) 21 - 5 = 16
(iv) 16 - 7 = 9
(v) 9 - 9 = 0
são 5 etapas de subtrações sucessivas.
O número de etapas é raiz quadrada de 25 que é 5.
A soma consecutiva de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
√ 36 = 6
(i) 36 - 1 = 35
(ii) 35 - 3 = 32
(iii) 32 - 5 = 27
(iv) 27 - 7 = 20
(v) 20 - 9 = 11
(vi) 11 - 11 = 0
são 6 etapas de subtrações sucessivas.
O número de etapas é raiz quadrada de 36 que é 6.
A soma consecutiva de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
√ 49 = 7
(i) 49 - 1 = 48
(ii) 48 - 3 = 45
(iii) 45 - 5 = 40
(iv) 40 - 7 = 33
(v) 33 - 9 = 24
(vi) 24 - 11 = 13
(vii) 13 - 13 = 0
São 7 etapas de subtrações sucessivas.
O número de etapas é raiz quadrada de 49 que é 9.
A soma consecutiva de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
√ 64 = 8
(i) 64 - 1 = 63
(ii) 63 - 3 = 60
(iii) 60 - 5 = 55
(iv) 55 - 7 = 48
(v) 48 - 9 = 39
(vi) 39 - 11 = 28
(vii) 28 - 13 = 15
(viii) 15 - 15 = 0
São 8 etapas de subtrações sucessivas.
O número de etapas é raiz quadrada de 64 que é 9.
A soma consecutiva de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64
Interessante observar que:
a) 64 é uma potência de base 2;
2^6 = 64
b) as diferenças 15 e 63 são números de Mersenne;
c) a soma dos divisores próprios de 64 é 63;
D(64)={ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
O presente método foi divulgado no Canal do YouTube, consiste efetuar a média aritmética de termos equidistantes de somas de números ímpares consecutivos.
√ 4 = 2
1 + 3 = 4
( 1 + 3 ) / 2 = 2
Interessante observar que:
a) 4 é uma potência de base 2;
b) a última parcela 3 é um número de Mersenne;
4 por ser uma potência de base 2, dividindo-a sempre por 2 se chega a uma outra potência base de 2 com 1 unidade de diferença do último termo 3.
4 : 2 = 2
Os demais quadrados perfeitos não possuem esta propriedade.
√ 9 = 3
1 + 3 + 5 = 9
( 1 + 5 ) / 2 = 3
√ 16 = 4
1 + 3 + 5 + 7 = 16
( 1 + 7 ) / 2 = 4
Interessante observar que:
a) 16 é uma potência de base 2;
b) a última parcela 7 é um número de Mersenne;
16 por ser uma potência de base 2, dividindo-a sempre por 2 se chega a uma outra potência base de 2 com 1 unidade de diferença do último termo 7.
32 : 2 = 16
16 : 2 = 8
Os demais quadrados perfeitos não possuem esta propriedade.
√ 25 = 5
1 + 3 + 5 + 7 + 9
( 1 + 9 ) / 2 = 5
√ 36 = 6
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
( 1 + 11 ) / 2 = 6
√ 49 = 7
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
( 1 + 13 ) / 2 = 7
√ 64 = 8
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
( 1 + 15 ) / 2 = 8
Interessante observar que:
a) 64 é uma potência de base 2;
b) a última parcela 15 é um número de Mersenne;
64 por ser uma potência de base 2, dividindo-a sempre por 2 se chega a uma outra potência base de 2 com 1 unidade de diferença do último termo 15.
64 : 2 = 32
32 : 2 = 16
Os demais quadrados perfeitos não possuem esta propriedade.
Autor: Ricardo Silva - maio/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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