Terno pitagórico é uma sequência de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (b² + c² = a²), isto é, dois números que elevados ao quadrado e depois somados (b² + c²) tem como resultado um número quadrado perfeito (a²) e que depois de extraído a sua raiz quadrada, o resultado é também um número inteiro.
Ternos Pitagóricos Primitivos são ternos bases, isto é, a partir deles podem ser gerados infinitos ternos pitagóricos derivados.
Exemplos:
Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5
Ternos Pitagóricos Devirados:
6-8-10
12-16-20
24-32-40
Cada terno pitagórico derivado sucessor é sempre o dobro do antecessor, eles formam progressão geométrica de razão 2.
Observação importante: as Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
Estudos divulgados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como, no livro digital Ternos Pitagórios e Sequências Numéricas demonstram, entre outras propriedades, que Ternos Pitagóricos Primitivos têm suas ordens / posições de Números Triangulares.
O presente estudo demonstra uma outra interessante propriedade numérica de que a sequência de ternos pitagóricos primitivos geram também Números de Mersenne, bem como, Potências de Base 2.
A tabela a seguir apresenta os 50 primeiros ternos pitagóricos primitivos e algumas de suas propriedades:
a) todo terno pitagórico primitivo tem seu primeiro termo [a] um número ímpar, a começar pelo número 3;
b) todo terno pitagórico primitivo tem o seu segundo termo [b] um múltiplo de 4;
c) múltiplo de 4 dividido por 4 tem como resultado um número triangular;
4 : 4 = 1
12 : 4 = 3
24 : 4 = 6
d) a soma dos termo [b] e [c] é o quadrado perfeito do termo [a];
4 + 5 = 9 ( 9 é o quadrado de 3 )
12 + 13 = 25 ( 25 é quadrado de 5 )
24 + 25 = 49 ( 49 é o quadrado de 7 )
e) as diferenças entre os termos [b] e [a] têm como resultados números ímpares e, entre eles, Números de Mersenne, também denominados de números quase potências de base 2, por serem 1 unidade menor que uma potência de base 2;
1, 7, 31, 127, 511,...
A partir de Números Primos de Mersenne e que chega também a Números Perfeitos.
Números de Mersenne são da forma (2^n) - 1
f) as diferenças entre os termos [c] e [a] têm como resultados números pares e, entre eles, potências de base 2 elevadas a expoentes ímpares;
2^1 = 2
2^3 = 8
2^5 = 32
2, 8, 32, 128, 512,...
g) as somas das diferenças [b-a] + [c-a] têm Números de Mersenne;
Interessante observar que os cálculos de diferenças e de somas têm sequêncialmente suas ordens / posições também potências de base 2;
1, 2, 4, 8, 16, 32,...
| Ternos Pitagóricos Primitivos | ||||||
| Primeiro termo |
Segundo termo |
terceiro termo |
diferença | diferença | soma | |
| Ordem / | a | b | c | b - a | c - a | |
| posição | ||||||
| 1 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 5 | 12 | 13 | 7 | 8 | 15 |
| 3 | 7 | 24 | 25 | 17 | 18 | 35 |
| 4 | 9 | 40 | 41 | 31 | 32 | 63 |
| 5 | 11 | 60 | 61 | 49 | 50 | 99 |
| 6 | 13 | 84 | 85 | 71 | 72 | 143 |
| 7 | 15 | 112 | 113 | 97 | 98 | 195 |
| 8 | 17 | 144 | 145 | 127 | 128 | 255 |
| 9 | 19 | 180 | 181 | 161 | 162 | 323 |
| 10 | 21 | 220 | 221 | 199 | 200 | 399 |
| 11 | 23 | 264 | 265 | 241 | 242 | 483 |
| 12 | 25 | 312 | 313 | 287 | 288 | 575 |
| 13 | 27 | 364 | 365 | 337 | 338 | 675 |
| 14 | 29 | 420 | 421 | 391 | 392 | 783 |
| 15 | 31 | 480 | 481 | 449 | 450 | 899 |
| 16 | 33 | 544 | 545 | 511 | 512 | 1023 |
| 17 | 35 | 612 | 613 | 577 | 578 | 1155 |
| 18 | 37 | 684 | 685 | 647 | 648 | 1295 |
| 19 | 39 | 760 | 761 | 721 | 722 | 1443 |
| 20 | 41 | 840 | 841 | 799 | 800 | 1599 |
| 21 | 43 | 924 | 925 | 881 | 882 | 1763 |
| 22 | 45 | 1012 | 1013 | 967 | 968 | 1935 |
| 23 | 47 | 1104 | 1105 | 1057 | 1058 | 2115 |
| 24 | 49 | 1200 | 1201 | 1151 | 1152 | 2303 |
| 25 | 51 | 1300 | 1301 | 1249 | 1250 | 2499 |
| 26 | 53 | 1404 | 1405 | 1351 | 1352 | 2703 |
| 27 | 55 | 1512 | 1513 | 1457 | 1458 | 2915 |
| 28 | 57 | 1624 | 1625 | 1567 | 1568 | 3135 |
| 29 | 59 | 1740 | 1741 | 1681 | 1682 | 3363 |
| 30 | 61 | 1860 | 1861 | 1799 | 1800 | 3599 |
| 31 | 63 | 1984 | 1985 | 1921 | 1922 | 3843 |
| 32 | 65 | 2112 | 2113 | 2047 | 2048 | 4095 |
| 33 | 67 | 2244 | 2245 | 2177 | 2178 | 4355 |
| 34 | 69 | 2380 | 2381 | 2311 | 2312 | 4623 |
| 35 | 71 | 2520 | 2521 | 2449 | 2450 | 4899 |
| 36 | 73 | 2664 | 2665 | 2591 | 2592 | 5183 |
| 37 | 75 | 2812 | 2813 | 2737 | 2738 | 5475 |
| 38 | 77 | 2964 | 2965 | 2887 | 2888 | 5775 |
| 39 | 79 | 3120 | 3121 | 3041 | 3042 | 6083 |
| 40 | 81 | 3280 | 3281 | 3199 | 3200 | 6399 |
| 41 | 83 | 3444 | 3445 | 3361 | 3362 | 6723 |
| 42 | 85 | 3612 | 3613 | 3527 | 3528 | 7055 |
| 43 | 87 | 3784 | 3785 | 3697 | 3698 | 7395 |
| 44 | 89 | 3960 | 3961 | 3871 | 3872 | 7743 |
| 45 | 91 | 4140 | 4141 | 4049 | 4050 | 8099 |
| 46 | 93 | 4324 | 4325 | 4231 | 4232 | 8463 |
| 47 | 95 | 4512 | 4513 | 4417 | 4418 | 8835 |
| 48 | 97 | 4704 | 4705 | 4607 | 4608 | 9215 |
| 49 | 99 | 4900 | 4901 | 4801 | 4802 | 9603 |
| 50 | 101 | 5100 | 5101 | 4999 | 5000 | 9999 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||
Autor: Ricardo Silva - maio/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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