Números Triangulares, também denominados de números figurados, números geométricos, são números que podem ser obtidos por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.
Entre outros métodos divulgados aqui no WebSite, há o método tradicional de se gerar números triangulares que é multiplicar 2 números consecutivos e dividir o produto por 2 cuja fórmula é:
| ( n x n + 1) |
| ________ |
| 2 |
Números Semiprimos são números que são produtos de 2 números primos.
Os números semiprimos podem ser produtos de um número primo multiplicado por ele mesmo que são os casos de números quadrados perfeitos:
2 x 2 = 4;
3 x 3 = 9;
5 x 5 = 25
ou produtos de dois números primos distintos que são os casos de números compostos que não são quadrados perfeitos e que também não são potências de números primos ou de outros números compostos:
2 x 3 = 6 (triangular);
O número 6 é primeiro número composto, também semiprimo, que não é potência de um número primo.
2 x 5 = 10 (triangular;
2 x 7 = 14;
3 x 5 = 15 (triangular);
3 x 7 = 21 (triangular).
Entre números compostos gerados de 2 números primos distintos, há ocorrências de números triangulares.
Estudos publicados no livro digital Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas, bem como, aqui WebSite Os Fantásticos Números Primos comprovam que potências originadas de números que são produtos de dois números primos distintos (semiprimos) possuem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos com os quais são possíveis de se construirem quadrados mágicos multimágicos múltiplicativos sequenciais.
Veja abaixo, matérias relacionadas.
O estudo demonstra que entre os fatores de 2 números consecutivos, a metade do fator PAR multiplicado por um número ímpar ou número ímpar primo geram números triangulares.
A tabela abaixo, apresenta os 31 primeiros números triangulares gerados de produtos de 2 números consecutivos divididos por 2 cujos resultados são números triangulares.
Observação Importantíssima:
a) entre dois números naturais consecutivos, a diferença entre o número sucessor e número antecessor é de 1 unidade, isto é, os números são primos entre si;
b) os únicos números primos e consecutivos cuja diferença é 1 unidade são os números primos 2 e 3.
c) quando a diferença entre dois números primos são 2 unidades, os números primos são denominados de Números Primos Gêmeos.
| Produtos de 2 | ||||
| Números Consecutivos | ||||
| metade | ||||
| de um | ||||
| retangular | ||||
| é | ||||
| ordem / | números | número | número | |
| posição | consecutivos | retangular | triangular | |
| 1 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 6 | 3 |
| 3 | 3 | 4 | 12 | 6 |
| 4 | 4 | 5 | 20 | 10 |
| 5 | 5 | 6 | 30 | 15 |
| 6 | 6 | 7 | 42 | 21 |
| 7 | 7 | 8 | 56 | 28 |
| 8 | 8 | 9 | 72 | 36 |
| 9 | 9 | 10 | 90 | 45 |
| 10 | 10 | 11 | 110 | 55 |
| 11 | 11 | 12 | 132 | 66 |
| 12 | 12 | 13 | 156 | 78 |
| 13 | 13 | 14 | 182 | 91 |
| 14 | 14 | 15 | 210 | 105 |
| 15 | 15 | 16 | 240 | 120 |
| 16 | 16 | 17 | 272 | 136 |
| 17 | 17 | 18 | 306 | 153 |
| 18 | 18 | 19 | 342 | 171 |
| 19 | 19 | 20 | 380 | 190 |
| 20 | 20 | 21 | 420 | 210 |
| 21 | 21 | 22 | 462 | 231 |
| 22 | 22 | 23 | 506 | 253 |
| 23 | 23 | 24 | 552 | 276 |
| 24 | 24 | 25 | 600 | 300 |
| 25 | 25 | 26 | 650 | 325 |
| 26 | 26 | 27 | 702 | 351 |
| 27 | 27 | 28 | 756 | 378 |
| 28 | 28 | 29 | 812 | 406 |
| 29 | 29 | 30 | 870 | 435 |
| 30 | 30 | 31 | 930 | 465 |
| 31 | 31 | 32 | 992 | 496 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
O produto de 2 números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
O produto de 2 números não consecutivos sendo um número natural por um número 1 unidade menor ou 1 unidade maior que o dobro desse número natural é um número triangular.
Exemplos:
a) Produto de 2 números consecutivos dividido por 2
(1 x 2 ) / 2 = 1
O produto de dois números cujo segundo fator é 1 unidade menor que seu dobro é um número triangular.
1 x 1 = 1
O segundo fator 1 é 1 unidade menor do dobro do primeiro fator 1 que é 2.
O produto de um número cujo segundo fator é 1 unidade maior que seu dobro é número triangular.
1 x 3 = 1
O segundo fator 3 é 1 unidade maior do dobro do primeiro fator 1 que é 2.
De modo prático, escolhe-se qualquer número, subtrai-se 1 unidade de seu dobro ou soma-se 1 unidade ao seu dobro, posteriormente multiplica-se os números obtendo-se assim um número triangular pelo produtos de 2 números não consecutivos.
A tabela abaixo demonstra as 61 primeiras multiplicações de 2 números não consecutivos cujos produtos são números triangulares.
| Números Triangulares | |||
| como produto de | |||
| 2 números não consecutivos | |||
| ordem / | primeiro | segundo | número |
| posição | fator | fator | triangular |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 3 | 3 |
| 3 | 2 | 3 | 6 |
| 4 | 2 | 5 | 10 |
| 5 | 3 | 5 | 15 |
| 6 | 3 | 7 | 21 |
| 7 | 4 | 7 | 28 |
| 8 | 4 | 9 | 36 |
| 9 | 5 | 9 | 45 |
| 10 | 5 | 11 | 55 |
| 11 | 6 | 11 | 66 |
| 12 | 6 | 13 | 78 |
| 13 | 7 | 13 | 91 |
| 14 | 7 | 15 | 105 |
| 15 | 8 | 15 | 120 |
| 16 | 8 | 17 | 136 |
| 17 | 9 | 17 | 153 |
| 18 | 9 | 19 | 171 |
| 19 | 10 | 19 | 190 |
| 20 | 10 | 21 | 210 |
| 21 | 11 | 21 | 231 |
| 22 | 11 | 23 | 253 |
| 23 | 12 | 23 | 276 |
| 24 | 12 | 25 | 300 |
| 25 | 13 | 25 | 325 |
| 26 | 13 | 27 | 351 |
| 27 | 14 | 27 | 378 |
| 28 | 14 | 29 | 406 |
| 29 | 15 | 29 | 435 |
| 30 | 15 | 31 | 465 |
| 31 | 16 | 31 | 496 |
| 32 | 16 | 33 | 528 |
| 33 | 17 | 33 | 561 |
| 34 | 17 | 35 | 595 |
| 35 | 18 | 35 | 630 |
| 36 | 18 | 37 | 666 |
| 37 | 19 | 37 | 703 |
| 38 | 19 | 39 | 741 |
| 39 | 20 | 39 | 780 |
| 40 | 20 | 41 | 820 |
| 41 | 21 | 41 | 861 |
| 42 | 21 | 43 | 903 |
| 43 | 22 | 43 | 946 |
| 44 | 22 | 45 | 990 |
| 45 | 23 | 45 | 1035 |
| 46 | 23 | 47 | 1081 |
| 47 | 24 | 47 | 1128 |
| 48 | 24 | 49 | 1176 |
| 49 | 25 | 49 | 1225 |
| 50 | 25 | 51 | 1275 |
| 51 | 26 | 51 | 1326 |
| 52 | 26 | 53 | 1378 |
| 53 | 27 | 53 | 1431 |
| 54 | 27 | 55 | 1485 |
| 55 | 28 | 55 | 1540 |
| 56 | 28 | 57 | 1596 |
| 57 | 29 | 57 | 1653 |
| 58 | 29 | 59 | 1711 |
| 59 | 30 | 59 | 1770 |
| 60 | 30 | 61 | 1830 |
| 61 | 31 | 61 | 1891 |
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Analisando-se a tabela com as 61 primeiras multiplicações de 2 números não consecutivos cujos produtos são números triangulares observa-se que:
a) números triangulares podem ser obtidos sequêncialmente por multiplicações de 2 números não consecutivos;
b) os segundos fatores são 1 unidade menor e 1 unidade maior do dobro do primeiro fator correspondente;
c) determinados números triangulares podem ser gerados pela multiplicação de 2 números primos distintos;
d) determinados números primos é 1 unidade menor ou 1 unidade maior do dobro de um número primo;
e) os números primos 2 e 3 são os únicos números primos cujos dobros são 1 unidade menor e 1 unidade maior.
| Números Triangulares | ||||
| como produto de | ||||
| 2 números não consecutivos | ||||
| ordem / | primeiro | segundo | números | número |
| posição | fator | fator | triangular | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 1 | 3 | 3 | |
| 3 | 2 | 3 | primos | 6 |
| 4 | 2 | 5 | primos | 10 |
| 5 | 3 | 5 | primos | 15 |
| 6 | 3 | 7 | primos | 21 |
| 7 | 4 | 7 | 28 | |
| 8 | 4 | 9 | 36 | |
| 9 | 5 | 9 | 45 | |
| 10 | 5 | 11 | primos | 55 |
| 11 | 6 | 11 | 66 | |
| 12 | 6 | 13 | 78 | |
| 13 | 7 | 13 | primos | 91 |
| 14 | 7 | 15 | 105 | |
| 15 | 8 | 15 | 120 | |
| 16 | 8 | 17 | 136 | |
| 17 | 9 | 17 | 153 | |
| 18 | 9 | 19 | 171 | |
| 19 | 10 | 19 | 190 | |
| 20 | 10 | 21 | 210 | |
| 21 | 11 | 21 | 231 | |
| 22 | 11 | 23 | primos | 253 |
| 23 | 12 | 23 | 276 | |
| 24 | 12 | 25 | 300 | |
| 25 | 13 | 25 | 325 | |
| 26 | 13 | 27 | 351 | |
| 27 | 14 | 27 | 378 | |
| 28 | 14 | 29 | 406 | |
| 29 | 15 | 29 | 435 | |
| 30 | 15 | 31 | 465 | |
| 31 | 16 | 31 | 496 | |
| 32 | 16 | 33 | 528 | |
| 33 | 17 | 33 | 561 | |
| 34 | 17 | 35 | 595 | |
| 35 | 18 | 35 | 630 | |
| 36 | 18 | 37 | 666 | |
| 37 | 19 | 37 | primos | 703 |
| 38 | 19 | 39 | 741 | |
| 39 | 20 | 39 | 780 | |
| 40 | 20 | 41 | 820 | |
| 41 | 21 | 41 | 861 | |
| 42 | 21 | 43 | 903 | |
| 43 | 22 | 43 | 946 | |
| 44 | 22 | 45 | 990 | |
| 45 | 23 | 45 | 1035 | |
| 46 | 23 | 47 | primos | 1081 |
| 47 | 24 | 47 | 1128 | |
| 48 | 24 | 49 | 1176 | |
| 49 | 25 | 49 | 1225 | |
| 50 | 25 | 51 | 1275 | |
| 51 | 26 | 51 | 1326 | |
| 52 | 26 | 53 | 1378 | |
| 53 | 27 | 53 | 1431 | |
| 54 | 27 | 55 | 1485 | |
| 55 | 28 | 55 | 1540 | |
| 56 | 28 | 57 | 1596 | |
| 57 | 29 | 57 | 1653 | |
| 58 | 29 | 59 | primos | 1711 |
| 59 | 30 | 59 | 1770 | |
| 60 | 30 | 61 | 1830 | |
| 61 | 31 | 61 | primos | 1891 |
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Autor: Ricardo Silva - julho/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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