Pierre de Fermat, jurista e entusiasta matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números primos da forma 4x + 1 podem ser escritos como a soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como a soma de 2 quadrados.[1]
Todo número quadrado perfeito ímpar é da forma 4x + 1.
Todo quadrado perfeito ímpar subtraído 1 unidade é divisível tanto por 4 quanto por 8.
Quadrado perfeito ímpar subtraído 1 unidade dividido por 4 tem como quociente um número retangular.
( 9 - 1) / 4 = 2
2 é um número retangular.
Quadrado perfeito ímpar subtraído 1 unidade dividido por 8 tem como quociente um número triangular.
( 9 - 1) / 8 = 1
1 é um número triangular.
O presente estudo demontram que determinados números quadrados perfeitos ímpares da forma 4x + 1 podem também ser escritos como soma de quadrado e número primo.
Determinados números quadrados perfeitos ímpares da forma 4x + 1 escritos como soma de quadrado e primo, esse número primo é 1 unidade menor que o dobro da raiz quadrada desse mesmo número quadrado perfeito.
Nos exemplos a seguir, números quadrados perfeitos foram subtraídos sequencialmente de números quadrados da forma 4x +1.
Nas diferenças há quadrados perfeitos e números primos da forma 4x + 1.
| número | quadrado | diferença | raiz quadrada | |
| quadrado | diferença | |||
| 9 | 0 | 9 | 3 | |
| 9 | 1 | 8 | 2,828427125 | |
| 9 | 4 | 5 | Primo | 2,236067977 |
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O número quadrado perfeito 9 é da forma 4x + 1 e pode ser escrito como soma de 2 quadrados.
0 + 9 = 9
O número quadrado perfeito 9 escrito como soma de quadrado e primo.
4 + 5 = 9
A parcela 5 é um número primo da forma 4x + 1.
Interessante observar que:
a) a raiz quadrada de 9 é 3;
b) 3 é um número da forma 4x + 3;
c) 9 pode ser escrito com soma de quadrado e primo;
d) a parcela 5 é 1 unidade menor que 6;
e) 6 é o dobro da raiz quadrada 3.
f) o quadrado perfeito 4 é antecessor do quadrado perfeito 9
| número | quadrado | diferença | raiz quadrada | |
| quadrado | diferença | |||
| 49 | 0 | 49 | - | 7 |
| 49 | 1 | 48 | - | 6,92820323 |
| 49 | 4 | 45 | - | 6,708203932 |
| 49 | 9 | 40 | - | 6,32455532 |
| 49 | 16 | 33 | - | 5,744562647 |
| 49 | 25 | 24 | - | 4,898979486 |
| 49 | 36 | 13 | Primo | 3,605551275 |
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√49 = 7
36 + 13 = 49
A parcela 13 é um número primo da forma 4x + 1.
13 é 1 unidade menor que 14 (dobro de 7)
49 - 36 = 13 (diferença de quadrados)
6 + 7 = 13 (soma das raízes)
O quadrado perfeito 36 é antecessor do quadrado perfeito 49.
| número | quadrado | diferença | raiz quadrada | |
| quadrado | diferença | |||
| 81 | 0 | 81 | - | 9 |
| 81 | 1 | 80 | - | 8,94427191 |
| 81 | 4 | 77 | - | 8,774964387 |
| 81 | 9 | 72 | - | 8,485281374 |
| 81 | 16 | 65 | - | 8,062257748 |
| 81 | 25 | 56 | - | 7,483314774 |
| 81 | 36 | 45 | - | 6,708203932 |
| 81 | 49 | 32 | - | 5,656854249 |
| 81 | 64 | 17 | Primo | 4,123105626 |
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√81 = 9
64 + 17 = 81
A parcela 17 é um número primo da forma 4x + 1.
17 é 1 unidade menor que 18 (dobro de 9)
81 - 64 = 17 (diferença de quadrados)
8 + 9 = 17 (soma das raízes)
O quadrado perfeito 64 é antecessor do quadrado perfeito 81
| número | quadrado | diferença | raiz quadrada | |
| quadrado | diferença | |||
| 225 | 0 | 225 | - | 15 |
| 225 | 1 | 224 | - | 14,96662955 |
| 225 | 4 | 221 | - | 14,86606875 |
| 225 | 9 | 216 | - | 14,69693846 |
| 225 | 16 | 209 | - | 14,45683229 |
| 225 | 25 | 200 | - | 14,14213562 |
| 225 | 36 | 189 | - | 13,74772708 |
| 225 | 49 | 176 | - | 13,26649916 |
| 225 | 64 | 161 | - | 12,68857754 |
| 225 | 81 | 144 | - | 12 |
| 225 | 100 | 125 | - | 11,18033989 |
| 225 | 121 | 104 | - | 10,19803903 |
| 225 | 144 | 81 | - | 9 |
| 225 | 169 | 56 | - | 7,483314774 |
| 225 | 196 | 29 | Primo | 5,385164807 |
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√225 = 15
196 + 29 = 81
A parcela 29 é um número primo da forma 4x + 1.
29 é 1 unidade menor que 30 (dobro de 15)
225 - 196 = 29 (diferença de quadrados)
14 + 15 = 29 (soma das raízes)
O quadrado perfeito 196 é antecessor do quadrado perfeito 225.
| número | quadrado | diferença | raiz quadrada | |
| quadrado | diferença | |||
| 361 | 0 | 361 | - | 19 |
| 361 | 1 | 360 | - | 18,97366596 |
| 361 | 4 | 357 | - | 18,89444363 |
| 361 | 9 | 352 | - | 18,76166304 |
| 361 | 16 | 345 | - | 18,57417562 |
| 361 | 25 | 336 | - | 18,33030278 |
| 361 | 36 | 325 | - | 18,02775638 |
| 361 | 49 | 312 | - | 17,66352173 |
| 361 | 64 | 297 | - | 17,23368794 |
| 361 | 81 | 280 | - | 16,73320053 |
| 361 | 100 | 261 | - | 16,15549442 |
| 361 | 121 | 240 | - | 15,49193338 |
| 361 | 144 | 217 | - | 14,73091986 |
| 361 | 169 | 192 | - | 13,85640646 |
| 361 | 196 | 165 | - | 12,84523258 |
| 361 | 225 | 136 | - | 11,66190379 |
| 361 | 256 | 105 | - | 10,24695077 |
| 361 | 289 | 72 | - | 8,485281374 |
| 361 | 324 | 37 | Primo | 6,08276253 |
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√361 = 19
324 + 37 = 361
A parcela 37 é um número primo da forma 4x + 1.
37 é 1 unidade menor que 38 (dobro de 19)
361 - 324 = 37 (diferença de quadrados)
18 + 19 = 37 (soma das raízes)
O quadrado perfeito 324 é antecessor do quadrado perfeito 361.
| número | quadrado | diferença | raiz quadrada | |
| quadrado | diferença | |||
| 441 | 0 | 441 | - | 21 |
| 441 | 1 | 440 | - | 20,97617696 |
| 441 | 4 | 437 | - | 20,90454496 |
| 441 | 9 | 432 | - | 20,78460969 |
| 441 | 16 | 425 | - | 20,61552813 |
| 441 | 25 | 416 | - | 20,39607805 |
| 441 | 36 | 405 | - | 20,1246118 |
| 441 | 49 | 392 | - | 19,79898987 |
| 441 | 64 | 377 | - | 19,41648784 |
| 441 | 81 | 360 | - | 18,97366596 |
| 441 | 100 | 341 | - | 18,46618531 |
| 441 | 121 | 320 | - | 17,88854382 |
| 441 | 144 | 297 | - | 17,23368794 |
| 441 | 169 | 272 | - | 16,4924225 |
| 441 | 196 | 245 | - | 15,65247584 |
| 441 | 225 | 216 | - | 14,69693846 |
| 441 | 256 | 185 | - | 13,60147051 |
| 441 | 289 | 152 | - | 12,32882801 |
| 441 | 324 | 117 | - | 10,81665383 |
| 441 | 361 | 80 | - | 8,94427191 |
| 441 | 400 | 41 | Primo | 6,403124237 |
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√441 = 21
400 + 41 = 441
A parcela 41 é um número primo da forma 4x + 1.
41 é 1 unidade menor que 42 (dobro de 21)
441 - 400 = 41 (diferença de quadrados)
20 + 21 = 41 (soma das raízes)
O quadrado perfeito 400 é antecessor do quadrado perfeito 441
| número | quadrado | diferença | raiz quadrada | |
| quadrado | diferença | |||
| 729 | 0 | 729 | - | 27 |
| 729 | 1 | 728 | - | 26,98147513 |
| 729 | 4 | 725 | - | 26,92582404 |
| 729 | 9 | 720 | - | 26,83281573 |
| 729 | 16 | 713 | - | 26,70205985 |
| 729 | 25 | 704 | - | 26,53299832 |
| 729 | 36 | 693 | - | 26,32489316 |
| 729 | 49 | 680 | - | 26,07680962 |
| 729 | 64 | 665 | - | 25,78759392 |
| 729 | 81 | 648 | - | 25,45584412 |
| 729 | 100 | 629 | - | 25,07987241 |
| 729 | 121 | 608 | - | 24,65765601 |
| 729 | 144 | 585 | - | 24,18677324 |
| 729 | 169 | 560 | - | 23,66431913 |
| 729 | 196 | 533 | - | 23,08679276 |
| 729 | 225 | 504 | - | 22,44994432 |
| 729 | 256 | 473 | - | 21,74856317 |
| 729 | 289 | 440 | - | 20,97617696 |
| 729 | 324 | 405 | - | 20,1246118 |
| 729 | 361 | 368 | - | 19,18332609 |
| 729 | 400 | 329 | - | 18,13835715 |
| 729 | 441 | 288 | - | 16,97056275 |
| 729 | 484 | 245 | - | 15,65247584 |
| 729 | 529 | 200 | - | 14,14213562 |
| 729 | 576 | 153 | - | 12,36931688 |
| 729 | 625 | 104 | - | 10,19803903 |
| 729 | 676 | 53 | Primo | 7,280109889 |
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√729 = 27
676 + 53 = 729
A parcela 53 é um número primo da forma 4x + 1.
53 é 1 unidade menor que 54 (dobro de 27)
729 - 676 = 53 (diferença de quadrados)
26 + 27 = 53 (soma das raízes)
O quadrado perfeito 729 é antecessor do quadrado perfeito 676.
| número | quadrado | diferença | raiz quadrada | |
| quadrado | diferença | |||
| 961 | 0 | 961 | - | 31 |
| 961 | 1 | 960 | - | 30,98386677 |
| 961 | 4 | 957 | - | 30,9354166 |
| 961 | 9 | 952 | - | 30,85449724 |
| 961 | 16 | 945 | - | 30,7408523 |
| 961 | 25 | 936 | - | 30,59411708 |
| 961 | 36 | 925 | - | 30,41381265 |
| 961 | 49 | 912 | - | 30,19933774 |
| 961 | 64 | 897 | - | 29,94995826 |
| 961 | 81 | 880 | - | 29,66479395 |
| 961 | 100 | 861 | - | 29,3428015 |
| 961 | 121 | 840 | - | 28,98275349 |
| 961 | 144 | 817 | - | 28,58321186 |
| 961 | 169 | 792 | - | 28,14249456 |
| 961 | 196 | 765 | - | 27,65863337 |
| 961 | 225 | 736 | - | 27,12931993 |
| 961 | 256 | 705 | - | 26,55183609 |
| 961 | 289 | 672 | - | 25,92296279 |
| 961 | 324 | 637 | - | 25,23885893 |
| 961 | 361 | 600 | - | 24,49489743 |
| 961 | 400 | 561 | - | 23,68543856 |
| 961 | 441 | 520 | - | 22,8035085 |
| 961 | 484 | 477 | - | 21,84032967 |
| 961 | 529 | 432 | - | 20,78460969 |
| 961 | 576 | 385 | - | 19,62141687 |
| 961 | 625 | 336 | - | 18,33030278 |
| 961 | 676 | 285 | - | 16,88194302 |
| 961 | 729 | 232 | - | 15,23154621 |
| 961 | 784 | 177 | - | 13,3041347 |
| 961 | 841 | 120 | - | 10,95445115 |
| 961 | 900 | 61 | Primo | 7,810249676 |
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√961 = 31
900 + 61 = 961
A parcela 61 é um número primo da forma 4x + 1.
61 é 1 unidade menor que 62 (dobro de 31)
961 - 900 = 61 (diferença de quadrados)
30 + 31 = 61 (soma das raízes)
O quadrado perfeito 900 é antecessor do quadrado perfeito 961.
No exemplo a seguir, números quadrados perfeitos foram subtraídos sequencialmente de número quadrado da forma 4x +1.
Nas diferenças há quadrados perfeitos mas não número primo da forma 4x + 1.
| número | quadrado | diferença | raiz quadrada | |
| quadrado | diferença | |||
| 25 | 0 | 25 | - | 5 |
| 25 | 1 | 24 | - | 4,898979486 |
| 25 | 4 | 21 | - | 4,582575695 |
| 25 | 9 | 16 | - | 4 |
| 25 | 16 | 9 | - | 3 |
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O número quadrado perfeito 25 é da forma 4x + 1 e pode ser escrito como somas de 2 quadrados.
0 + 25 = 25
9 + 16 = 25
O número quadrado perfeito 25 não pode ser escrito como soma de quadrado e primo.
Interessante observar que:
a) a raiz quadrada de 25 é 5;
b) 5 é um número da forma 4x + 1;
c) 25 não pode ser escrito com soma de quadrado e primo.
Outros quadrados perfeitos que não podem ser escritos como soma de quadrado e primo: 121, 169, 289, 529, 625, 841.
d) √121 = 11
e) √169 = 13
f) √289 = 17
g) √529 = 23
h) √625 = 25
i) √841 = 29
Autor: Ricardo Silva - outubro/2025
[1]NETO, Angelo Papa. Soma de 2 quadrados. IFCE
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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