capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potências de Base 2 e Restos de Divisões - 654

Potências de Base 2 são números que são gerados da multiplicação do número 2 por si mesmo tantas vezes que se queira, isto é, conforme o seu expoente.

Foi a partir de soma de potências de base 2 é que os antigos gregos descobriram como obter números perfeitos cuja proprosição aparece em Os Elementos, no livro IX, obra de Euclides de Alexandria:

“Se tantos números quantos quisermos, começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, então o produto será um número perfeito”.

Exemplos dos primeiros números perfeitos:

1 + 2 = 3 (número primo / Número de Mersenne)

3 x 2 = 6 (primeiro número perfeito)

ii)

1 + 2 + 4 = 7 (número primo / Número de Mersenne)

7 x 4 = 28 (segundo número perfeito)

iii)

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (número primo / Número de Mersenne)

31 x 16 = 496 (terceiro número perfeito)

iv)

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 (número primo / Número de Mersenne)

127 + 64 = 8.128 (quarto número perfeito)

A proposição de Euclides pode ser sintetizada pela seguinte fórmula algébrica:

2 ^{n − 1}( 2ⁿ− 1 )

Posteriormente a Euclides de Alexandria, entre outros, outro estudioso de números perfeitos foi o monge francês Marin Mersenne (1588-1648) que através da Fórmula:

2ⁿ− 1

gerou determinados números primos, tais como: 3, 7, 31, 127 e outros.

Números da forma 2ⁿ− 1 são conhecidos como Números de Mersenne ou também, como números quase potências de base 2, isto porque, são números de 1 unidade menor que uma potência de base 2.

Exemplos:

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511,...

Nem todo Número de Mersenne é um número primo.

O presente estudo demonstra que divisões entre potências de base 2 com Números de Mersenne / números quase potências de base 2 têm como restos números que são sequencialmente as próprias potências de base 2 e que somadas são os próprios divisores, isto é, os próprios Números de Mersenne / números quase potências de base 2.

O estudo também demontra que divisões de potências de base 2 com determinados Números de Fermat das formas 4x + 1 e 4x + 3, têm como restos números que somados ora são números triangulares, ora números retangulares.

Qual o resto na divisão de 2^56 por 7? E por 11?

No vídeo do Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Aritmética - aula 39 - Qual o resto na divisão de 2^56 por 7? E por 11?, o Professor Fábio Henrique demonstra brilhantemente como encontrar restos de divisões da potência 2^56 pelos números primos 7 e 11.

No início da demonstração, o Professor Fábio argumenta que se houver regularidade na evolução dos restos nas divisões de potências de base 2 pelo número 7, esta regularidade servirá para a resolução do problema.

Lembrando que o número 7, é um Número Primo de Mersenne, bem como, um número quase potência de base 2.

Na demonstração, realmente acontece regularidades com restos da divisão das primeiras potências de base 2 com o número primo 7.

Como veremos a seguir, as regulariadades acontecem com todos os Números de Mersenne, bem como, com determinados números primos e compostos.

Potências de base 2 e restos de divisões por 3

A tabela a seguir apresenta as 11 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 3.

A soma de cada 2 restos é 3.

3 é múltiplo de 3.

Os restos são sequências de potências de base 2.

O número 3 é um Número de Mersenne / número quase potência de base 2.

Interessante observar que 3 é também a soma de potências de base 2, bem como, a soma dos divisores próprios de 2^2 = 4.

1 + 2 = 3

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					3

2	0	1	3	0	0	1
2	1	2	3	0	0	2
2	2	4	3	1	3	1
2	3	8	3	2	6	2
2	4	16	3	5	15	1
2	5	32	3	10	30	2
2	6	64	3	21	63	1
2	7	128	3	42	126	2
2	8	256	3	85	255	1
2	9	512	3	170	510	2
2	10	1024	3	341	1023	1

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Potências de base 2 e restos de divisões por 7

A tabela a seguir apresenta as 11 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 7.

A soma de cada 3 restos é 7.

7 é múltiplo de 7.

Os restos são sequências de potências de base 2.

O número 7 é um Número de Mersenne / número quase potência de base 2.

Interessante observar que 7 é também a soma de potências de base 2, bem como, a soma dos divisores próprios de 2^3 = 8

1 + 2 + 4 = 7

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					7

2	0	1	7	0	0	1
2	1	2	7	0	0	2
2	2	4	7	0	0	4
2	3	8	7	1	7	1
2	4	16	7	2	14	2
2	5	32	7	4	28	4
2	6	64	7	9	63	1
2	7	128	7	18	126	2
2	8	256	7	36	252	4
2	9	512	7	73	511	1
2	10	1024	7	146	1022	2
2	11	2048	7	292	2044	4

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Potências de base 2 e restos de divisões por 15

A tabela a seguir apresenta as 13 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 15.

A soma de cada 4 restos é 15.

15 é múltiplo de 15.

Os restos são sequências de potências de base 2.

O número 15 é um Número de Mersenne / número quase potência de base 2.

Interessante observar que 15 é também a soma de potências de base 2, bem como, a soma dos divisores próprios de 2^4 = 16

1 + 2 + 4 + 8 = 15

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
					de
2					15

2	0	1	15	0	0	1
2	1	2	15	0	0	2
2	2	4	15	0	0	4
2	3	8	15	0	0	8
2	4	16	15	1	15	1
2	5	32	15	2	30	2
2	6	64	15	4	60	4
2	7	128	15	8	120	8
2	8	256	15	17	255	1
2	9	512	15	34	510	2
2	10	1024	15	68	1020	4
2	11	2048	15	136	2040	8
2	12	4096	15	273	4095	1

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Potências de base 2 e restos de divisões por 31

A tabela a seguir apresenta as 10 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 31.

A soma de cada 5 restos é 31.

31 é múltiplo de 31.

Os restos são sequências de potências de base 2.

O número 31 é um Número de Mersenne / quase potência de base 2.

Interessante observar que 31 é também a soma de potências de base 2, bem como, a soma dos divisores próprios de 2^5 = 32

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
					de
2					31

2	0	1	31	0	0	1
2	1	2	31	0	0	2
2	2	4	31	0	0	4
2	3	8	31	0	0	8
2	4	16	31	0	0	16
2	5	32	31	1	31	1
2	6	64	31	2	62	2
2	7	128	31	4	124	4
2	8	256	31	8	248	8
2	9	512	31	16	496	16

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Efetuando-se divisões de potências de base 2 por números que não são Números de Mersenne / números quase potências de base 2, verifica-se que nos restos há também sequências de potências de base 2, bem como, duplas de restos formadas por dobro de outros números cujas somas são múltiplos desse divisor.

Potências de base 2 e restos de divisões por 5

A tabela a seguir apresenta as 4 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 5.

5 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 4 restos é 10.

10 é múltiplo de 5.

A soma dos restos 10 dividida por 5 é igual a 2.

2 é a metade da quantidade dos restos que é 4.

10 é um número triangular gerado de ( 4 x 5 ) / 2.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					5

2	0	1	5	0	0	1
2	1	2	5	0	0	2
2	2	4	5	0	0	4
2	3	8	5	1	5	3

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Potências de base 2 e restos de divisões por 11

A tabela a seguir apresenta as 10 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 11.

11 é um número primo de Fermat da forma 4x + 3.

A soma de 10 restos é 55.

55 é múltiplo de 11.

A soma dos restos 55 dividida por 11 é igual a 5.

5 é a metade da quantidade dos restos que é 10.

55 é um número triagular gerado de ( 10 x 11 ) / 2.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					11

2	0	1	11	0	0	1
2	1	2	11	0	0	2
2	2	4	11	0	0	4
2	3	8	11	0	0	8
2	4	16	11	1	11	5
2	5	32	11	2	22	10
2	6	64	11	5	55	9
2	7	128	11	11	121	7
2	8	256	11	23	253	3
2	9	512	11	46	506	6

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Potências de base 2 e restos de divisões por 13

A tabela a seguir apresenta as 12 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 13.

13 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 12 restos é 78.

78 é múltiplo de 13.

A soma dos restos 78 dividida por 13 é igual a 6.

6 é a metade da quantidade dos restos que é 12.

78 é um número triangular gerado de ( 12 x 13 ) / 2.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					13

2	0	1	13	0	0
2	1	2	13	0	0	2
2	2	4	13	0	0	4
2	3	8	13	0	0	8
2	4	16	13	1	13	3
2	5	32	13	2	26	6
2	6	64	13	4	52	12
2	7	128	13	9	117	11
2	8	256	13	19	247	9
2	9	512	13	39	507	5
2	10	1024	13	78	1014	10
2	11	2048	13	157	2041	7

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Potências de base 2 e restos de divisões por 17

A tabela a seguir apresenta as 8 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 17.

17 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 8 restos é 78.

68 é múltiplo de 13.

A soma dos restos 68 dividida por 4 é igual a 17.

4 é a metade da quantidade dos restos que é 8.

Obs.: 68 é a metade do número triangular 136 gerado de ( 16 x 17 ) / 2.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					17

2	0	1	17	0	0	1
2	1	2	17	0	0	2
2	2	4	17	0	0	4
2	3	8	17	0	0	8
2	4	16	17	0	0	16
2	5	32	17	1	17	15
2	6	64	17	3	51	13
2	7	128	17	7	119	9

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Potências de base 2 e restos de divisões por 19

A tabela a seguir apresenta as 18 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 19.

19 é um número primo de Fermat da forma 4x + 3.

A soma de 18 restos é 171.

171 é múltiplo de 19.

A soma dos restos 171 dividida por 19 é igual a 9.

9 é a metade da quantidade dos restos que é 18.

171 é um número triangular gerado de ( 18 x 19 ) / 2.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					19

2	0	1	19	0	0	1
2	1	2	19	0	0	2
2	2	4	19	0	0	4
2	3	8	19	0	0	8
2	4	16	19	0	0	16
2	5	32	19	1	19	13
2	6	64	19	3	57	7
2	7	128	19	6	114	14
2	8	256	19	13	247	9
2	9	512	19	26	494	18
2	10	1024	19	53	1007	17
2	11	2048	19	107	2033	15
2	12	4096	19	215	4085	11
2	13	8192	19	431	8189	3
2	14	16384	19	862	16378	6
2	15	32768	19	1724	32756	12
2	16	65536	19	3449	65531	5
2	17	131072	19	6898	131062	10

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Potências de base 2 e restos de divisões por 23

A tabela a seguir apresenta as 11 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 23.

23 é um número primo de Fermat da forma 4x + 3.

A soma de 11 restos é 92.

92 é múltiplo de 23.

A soma dos restos 92 dividida por 23 é igual a 4.

4 não é a metade da quantidade dos restos que é 11.

92 não é um número triangular.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					23

2	0	1	23	0	0	1
2	1	2	23	0	0	2
2	2	4	23	0	0	4
2	3	8	23	0	0	8
2	4	16	23	0	0	16
2	5	32	23	1	23	9
2	6	64	23	2	46	18
2	7	128	23	5	115	13
2	8	256	23	11	253	3
2	9	512	23	22	506	6
2	10	1024	23	44	1012	12

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Potências de base 2 e restos de divisões por 29

A tabela a seguir apresenta as 28 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 29.

29 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 28 restos é 406

406 é múltiplo de 19.

A soma dos restos 406 dividida por 29 é igual a 14.

14 é a metade da quantidade dos restos que é 28.

406 é um número triangular gerado de ( 28 x 29 ) / 2.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					29

2	0	1	29	0	0	1
2	1	2	29	0	0	2
2	2	4	29	0	0	4
2	3	8	29	0	0	8
2	4	16	29	0	0	16
2	5	32	29	1	29	3
2	6	64	29	2	58	6
2	7	128	29	4	116	12
2	8	256	29	8	232	24
2	9	512	29	17	493	19
2	10	1024	29	35	1015	9
2	11	2048	29	70	2030	18
2	12	4096	29	141	4089	7
2	13	8192	29	282	8178	14
2	14	16384	29	564	16356	28
2	15	32768	29	1129	32741	27
2	16	65536	29	2259	65511	25
2	17	131072	29	4519	131051	21
2	18	262144	29	9039	262131	13
2	19	524288	29	18078	524262	26
2	20	1048576	29	36157	1048553	23
2	21	2097152	29	72315	2097135	17
2	22	4194304	29	144631	4194299	5
2	23	8388608	29	289262	8388598	10
2	24	16777216	29	578524	16777196	20
2	25	33554432	29	1157049	33554421	11
2	26	67108864	29	2314098	67108842	22
2	27	134217728	29	4628197	134217713	15

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Potências de base 2 e restos de divisões por 37

A tabela a seguir apresenta as 36 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 37.

37 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 36 restos é 666.

666 é múltiplo de 37.

A soma dos restos 666 dividida por 37 é igual a 18.

18 é a metade da quantidade dos restos que é 36.

666 é um número triangular gerado de ( 36 x 37 ) / 2.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
					37

2	0	1	37	0	0	1
2	1	2	37	0	0	2
2	2	4	37	0	0	4
2	3	8	37	0	0	8
2	4	16	37	0	0	16
2	5	32	37	0	0	32
2	6	64	37	1	37	27
2	7	128	37	3	111	17
2	8	256	37	6	222	34
2	9	512	37	13	481	31
2	10	1024	37	27	999	25
2	11	2048	37	55	2035	13
2	12	4096	37	110	4070	26
2	13	8192	37	221	8177	15
2	14	16384	37	442	16354	30
2	15	32768	37	885	32745	23
2	16	65536	37	1771	65527	9
2	17	131072	37	3542	131054	18
2	18	262144	37	7084	262108	36
2	19	524288	37	14169	524253	35
2	20	1048576	37	28339	1048543	33
2	21	2097152	37	56679	2097123	29
2	22	4194304	37	113359	4194283	21
2	23	8388608	37	226719	8388603	5
2	24	16777216	37	453438	16777206	10
2	25	33554432	37	906876	33554412	20
2	26	67108864	37	1813753	67108861	3
2	27	134217728	37	3627506	134217722	6
2	28	268435456	37	7255012	268435444	12
2	29	536870912	37	14510024	536870888	24
2	30	1073741824	37	29020049	1073741813	11
2	31	2147483648	37	58040098	2147483626	22
2	32	4294967296	37	116080197	4294967289	7
2	33	8589934592	37	232160394	8589934578	14
2	34	17179869184	37	464320788	17179869156	28
2	35	34359738368	37	928641577	34359738349	19

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Efetuando-se divisões de potências de base 2 com números quadrado perfeitos 9, 25 e 49, verifica-se que nos restos há também sequências de potências de base 2, bem como, duplas de restos formadas por dobros de outros números cujas somas são múltiplos desse divisor mas não números triangulares.

Potências de base 2 e restos de divisões por 9

A tabela a seguir apresenta as 13 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 9.

9 é um número quadrado perfeito de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de cada 6 restos é 27.

27 é múltiplo de 9.

A soma dos restos 27 dividida por 9 é igual a 3.

3 é a metade da quantidade de restos que é 6.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
					de
2					9

2	0	1	9	0	0	1
2	1	2	9	0	0	2
2	2	4	9	0	0	4
2	3	8	9	0	0	8
2	4	16	9	1	9	7
2	5	32	9	3	27	5
2	6	64	9	7	63	1
2	7	128	9	14	126	2
2	8	256	9	28	252	4
2	9	512	9	56	504	8
2	10	1024	9	113	1017	7
2	11	2048	9	227	2043	5
2	12	4096	9	455	4095	1

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Potências de base 2 e restos de divisões por 25

A tabela a seguir apresenta as 19 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 25.

25 é um número quadrado perfeito de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de cada 19 restos é 250.

250 é múltiplo de 25.

A soma dos restos não é um número triangular.

base 2	expoente	potência	divisor	quociente	multiplos	resto
					de
					25

2	0	1	25	0	0	1
2	1	2	25	0	0	2
2	2	4	25	0	0	4
2	3	8	25	0	0	8
2	4	16	25	0	0	16
2	5	32	25	1	25	7
2	6	64	25	2	50	14
2	7	128	25	5	125	3
2	8	256	25	10	250	6
2	9	512	25	20	500	12
2	10	1024	25	40	1000	24
2	11	2048	25	81	2025	23
2	12	4096	25	163	4075	21
2	13	8192	25	327	8175	17
2	14	16384	25	655	16375	9
2	15	32768	25	1310	32750	18
2	16	65536	25	2621	65525	11
2	17	131072	25	5242	131050	22
2	18	262144	25	10485	262125	19
2	19	524288	25	20971	524275	13

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Potências de base 2 e restos de divisões por 49

A tabela a seguir apresenta as 21 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 49.

49 é um número perfeito de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de cada 21 restos é 490.

490 é múltiplo de 49.

A soma dos restos não é um número triangular.

base 2	expoente	potência	divisor	quociente	multiplos	resto
					de
					49

2	0	1	49	0	0	1
2	1	2	49	0	0	2
2	2	4	49	0	0	4
2	3	8	49	0	0	8
2	4	16	49	0	0	16
2	5	32	49	0	0	32
2	6	64	49	1	49	15
2	7	128	49	2	98	30
2	8	256	49	5	245	11
2	9	512	49	10	490	22
2	10	1024	49	20	980	44
2	11	2048	49	41	2009	39
2	12	4096	49	83	4067	29
2	13	8192	49	167	8183	9
2	14	16384	49	334	16366	18
2	15	32768	49	668	32732	36
2	16	65536	49	1337	65513	23
2	17	131072	49	2674	131026	46
2	18	262144	49	5349	262101	43
2	19	524288	49	10699	524251	37
2	20	1048576	49	21399	1048551	25

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Efetuando-se divisões de potências de base 2 com números compostos, verifica-se que nos restos há também sequências de potências de base 2, bem como, duplas de restos formadas por dobros de outros números cujas somas são múltiplos desse divisor.

Potências de base 2 e restos de divisões por 21

A tabela a seguir apresenta as 6 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 21.

21 é um número composto de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 6 restos é 42 e é múltiplo e o dobro de 21.

42 é um número retangular produto de 6 x 7.

21 é um número triangular.

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
					de
2					21

2	0	1	21	0	0	1
2	1	2	21	0	0	2
2	2	4	21	0	0	4
2	3	8	21	0	0	8
2	4	16	21	0	0	16
2	5	32	21	1	21	11
2	6	64	21	3	63	1
2	7	128	21	6	126	2
2	8	256	21	12	252	4
2	9	512	21	24	504	8
2	10	1024	21	48	1008	16
2	11	2048	21	97	2037	11
2	12	4096	21	195	4095	1

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Conclusão

Efetuando-se divisões de potências de base 2 com números ímpares de 3 a 99, verificou-se que:

a) quando o divisor é Número de Mersenne, a soma dos restos tem como resultado o próprio Número de Mersenne;

b) quando o divisor é determinado número primo, a soma dos restos é um número triangular;

c) quando o divisor é determinado número ímpar composto, a soma dos restos é um múltiplo de um número triangular;

d) com os números primos: 23, 41, 43, 47, 71, 73, 79 e 89, as somas dos restos não resultam em números triangulares.

Autor: Ricardo Silva - março/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

Veritasium em Português. Como os Computadores Quânticos Quebram a Internet… A Partir de Agora.
https://www.youtube.com/ watch?v= gzBuqxmyft8

Programa de Iniciação Cientifica da OBMEP - Aritmética - Aula 39 - Qual o resto na divisão de 2^56 por 7? E por 11? https://www.youtube.com/watch?v=nEIoSK0VhEM&list=PLrVGp617x0hC8WkPHtM3IjoOiiyJs-hHh&index=39