O estudo demonstra regularidades numéricas entre números quadrados perfeitos com números quase quadrados perfeitos nas quais são possíveis de se gerarem números retangulares, bem como, números triangulares.
Um número natural ou ele é um número primo ou ele é um número composto.
Número primo é um número que possue 2 divisores, o número 1 e ele próprio (quantidade par de divisores).
Número composto é um número que posse mais de 2 divisores.
Entre os números compostos, as quantidades de divisores, também servem para caracterizá-los, vejamos:
a) números quadrados perfeitos originados de números primos possem 3 divisores (quantidade ímpar de divisores);
b) números quadrados perfeitos originados de números compostos possuem mais de 3 divisores (quantidade ímpar de divisores);
c) Números Quadrados Perfeitos originados de um número que é produto de 2 números primos distintos, possuem quantidade de divisores em números quadrados perfeitos, bem como, as suas potências.
Em qualquer Progressão Aritmética de 3 números consecutivos, de razão 1, o produto dos termos dos extremos é 1 unidade menor do quadrado perfeito do termo do meio.
Exemplo 1)
2 x 4 = 8
32 = 9
O produto 8 também é denominado de Número Quase Quadrado Perfeito, pois, é 1 unidade menor que quadrado perfeito 9.
| Decomposição em fatores primos | |
| número 8 | |
| Fatores Primos | |
| 8 | 2 |
| 4 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1 | |
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Decompondo-se o número 8 em fatores primos, encontramos os seus divisores:
D(8): { 1, 2, 4, 8 }...
... e, entre eles, os divisores centrais 2 e 4.
2 e 4 são números pares consecutivos.
Os divisores centrais 2 e 4 são os termos dos extremos da P.A. ( 2, 3, 4 ).
Exemplo 2)
4 x 6 = 24
52 = 25
O produto 24 também é denominado de Número Quase Quadrado Perfeito, pois, é 1 unidade menor que o quadrado perfeito 25.
| Decomposição em fatores primos | |
| número 24 | |
| Fatores Primos | |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
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Decompondo-se o número 24 em fatores primos, encontramos os seus divisores:
D(8): { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }...
... e, entre eles, os divisores centrais 3 e 4.
3 e 4 são números consecutivos.
Os divisores centrais 3 e 4 são os termos dos extremos da P.A. ( 4, 5, 6 ).
Exemplo 3)
6 x 8 = 48
72 = 49
O produto 48 também é denominado de Número Quase Quadrado Perfeito, pois, é 1 unidade menor que o quadrado perfeito 49.
| Decomposição em fatores primos | |
| número 48 | |
| Fatores Primos | |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
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Decompondo-se o número 48 em fatores primos, encontramos os seus divisores:
D(48): { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 }...
... e, entre eles, os divisores centrais 6 e 8.
6 e 8 são números pares consecutivos.
Os divisores centrais 6 e 8 são os termos dos extremos da P.A. ( 6, 7, 8).
Os exemplos aqui expostos demonstram que números quadrados perfeitos estão estritamente relacionados com sequências numéricas de 3 termos consecutivos, bem como, com números quase quadrados perfeitos e seus divisores centrais.
A média aritmética entre um número quadrado perfeito e um número quase quadrado perfeito é um número retangular.
Número retangular dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
Número retangular é o dobro de um número triangular.
Número triangular é a metade de um número retangular.
Exemplos:
a)
( 1 + 3 ) / 2 = 2
2 / 2 = 1
b)
( 4 + 8 ) / 2 = 6
6 / 2 = 3
a)
( 9 + 15 ) / 2 = 12
12 / 2 = 6
Analisando divisores de números retangulares, constata-se também que eles possuem duplas de divisores centrais.
Interessante observar que os divisores centrais de números retangulares não podem formar P.As de 3 termos, pois, não existe outro número inteiro entre dois números consecutivos.
Exemplos:
número retangular 2
D(2): { 1, 2, }
número retangular 6
D(6): { 1, 2, 3, 6 }
número retangular 12
D(12): { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
número retangular 20
D(20): { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
número retangular 30
D(30): { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }
Autor: Ricardo Silva - julho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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