A sequência de Fibonacci é obtida repetindo-se o número 1 e a partir do terceiro termo pela soma de dois números anteriores:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 3 =13
É uma Sequência numérica que está relacionada com a biologia, com a fauna, com a flora, com o cosmos, bem como com a própria matemática e geometria, possui organizações que se dedicam esclusivamente aos estudos de suas propriedades.
Neste estudo são demonstrados que efetuando-se produtos de 2 números consecutivos de Fibonacci em duplas e posteriormente somando-os ou subtraíndo-os, obtêm-se também Números de Fibonacci.
1 x 1 = 1
1 x 2 = 2
a diferença dos produtos tem como resultado o quadrado perfeito 1.
2 - 1 = 1
a raiz quadrada de 1 é um Número de Fibonacci.
a soma dos produtos é um Número de Fibonacci.
1 + 2 = 3
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
a diferença dos produtos tem como resultado o quadrado perfeito 4.
6 - 2 = 4
a raiz quadrada de 4 é um Número de Fibonacci.
a soma dos produtos é um Número de Fibonacci.
2 + 6 = 8
2 x 3 = 6
3 x 5 = 15
a diferença dos produtos tem como resultado o quadrado perfeito 9.
15 - 6 = 9
a raiz quadrada de 9 é um Número de Fibonacci.
a soma dos produtos é um Número de Fibonacci.
6 + 15 = 21
3 x 5 = 15
5 x 8 = 40
a diferença dos produtos tem como resultado o quadrado perfeito 25.
40 - 15 = 25
a raiz quadrada de 25 é um Número de Fibonacci.
a soma dos produtos é um Número de Fibonacci
15 + 40 = 55
5 x 8 = 40
8 x 13 = 104
a diferença dos produtos têm como resultado o quadrado perfeito 64.
104 - 40 = 64
a raiz quadrada de 64 é um Número de Fibonacci.
a soma dos produtos é um Número de Fibonacci
40 + 104 = 144
As propriedades acima elencadas podem ser melhor visualizadas na seguinte tabela com os 20 primeiros produtos de 2 Números de Fibonacci consecutivos.
a) coluna D - a soma de dois produtos têm como resultados Números de Fibonacci de ordem par;
b) coluna E - a diferença entre 2 produtos têm como resultados números quadrados perfeitos;
c) coluna F - as raízes quadradas são Números de Fibonacci, a partir do segundo termo: 1, 2, 3, 5, 8,...
| Produtos de 2 Números | ||||||
| de Fibonacci Consecutivos | ||||||
| ordem / | 2 números | produto | soma | diferença | raiz | |
| posição | consecutivos | 2 | entre 2 | quadrada | ||
| produtos | produtos | |||||
| (quadrado | (Fibonacci) | |||||
| perfeito) | ||||||
| A | B | C | D | E | F | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 3 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 2 | |||
| 8 | 4 | 2 | ||||
| 3 | 2 | 3 | 6 | |||
| 21 | 9 | 3 | ||||
| 4 | 3 | 5 | 15 | |||
| 55 | 25 | 5 | ||||
| 5 | 5 | 8 | 40 | |||
| 144 | 64 | 8 | ||||
| 6 | 8 | 13 | 104 | |||
| 377 | 169 | 13 | ||||
| 7 | 13 | 21 | 273 | |||
| 987 | 441 | 21 | ||||
| 8 | 21 | 34 | 714 | |||
| 2584 | 1156 | 34 | ||||
| 9 | 34 | 55 | 1870 | |||
| 6765 | 3025 | 55 | ||||
| 10 | 55 | 89 | 4895 | |||
| 17711 | 7921 | 89 | ||||
| 11 | 89 | 144 | 12816 | |||
| 46368 | 20736 | 144 | ||||
| 12 | 144 | 233 | 33552 | |||
| 121393 | 54289 | 233 | ||||
| 13 | 233 | 377 | 87841 | |||
| 317811 | 142129 | 377 | ||||
| 14 | 377 | 610 | 229970 | |||
| 832040 | 372100 | 610 | ||||
| 15 | 610 | 987 | 602070 | |||
| 2178309 | 974169 | 987 | ||||
| 16 | 987 | 1597 | 1576239 | |||
| 5702887 | 2550409 | 1597 | ||||
| 17 | 1597 | 2584 | 4126648 | |||
| 14930352 | 6677056 | 2584 | ||||
| 18 | 2584 | 4181 | 10803704 | |||
| 39088169 | 17480761 | 4181 | ||||
| 19 | 4181 | 6765 | 28284465 | |||
| 102334155 | 45765225 | 6765 | ||||
| 20 | 6765 | 10946 | 74049690 | |||
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Números Retangulares são números que são produtos de 2 números consecutivos.
Número retangulare dividido por 2 tem como quociente um número triangular.
Podemos também obter número retangular somando ou subtraindo a raiz quadrada de seu respectivo quadrado perfeito.
a) coluna F (raiz quadrada - Números de Fibonacci) somada com a a coluna E (quadrados perfeitos) têm como resultados números retangulares na coluna G.
Interessante observar que a razão entre os números retangulares tende ao número 2,617795 cuja parte inteira é 1 unidade maior que o Número de Ouro: 1,618033657... o qual é representado pela letra grega Phi (Ф).
| Números de Fibonacci e | |||
| Números Retangulares | |||
| diferença | raiz | soma | razão |
| (números | quadrada | (números | |
| quadrados) | (Fibonacci) | retangulares) | |
| E | F | G | H |
| 1 | 1 | 2 | |
| 3 | |||
| 4 | 2 | 6 | |
| 2 | |||
| 9 | 3 | 12 | |
| 2,5 | |||
| 25 | 5 | 30 | |
| 2,4 | |||
| 64 | 8 | 72 | |
| 2,527778 | |||
| 169 | 13 | 182 | |
| 2,538462 | |||
| 441 | 21 | 462 | |
| 2,575758 | |||
| 1156 | 34 | 1190 | |
| 2,588235 | |||
| 3025 | 55 | 3080 | |
| 2,600649 | |||
| 7921 | 89 | 8010 | |
| 2,606742 | |||
| 20736 | 144 | 20880 | |
| 2,611207 | |||
| 54289 | 233 | 54522 | |
| 2,613734 | |||
| 142129 | 377 | 142506 | |
| 2,615399 | |||
| 372100 | 610 | 372710 | |
| 2,616393 | |||
| 974169 | 987 | 975156 | |
| 2,617023 | |||
| 2550409 | 1597 | 2552006 | |
| 2,617408 | |||
| 6677056 | 2584 | 6679640 | |
| 2,617647 | |||
| 17480761 | 4181 | 17484942 | |
| 2,617795 | |||
| 45765225 | 6765 | 45771990 | |
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SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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