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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos Pitagóricos e Fórmulas de Dickson - 682

O presente estudo demonstra as Fórmulas de Dickson com as quais são possíveis de se gerarem ternos pitagóricos primitivos de ordens / posições triangulares e ternos pitagóricos primitivos e derivamdos ímpares de ordens / posições de não triangulares.

Diferentemente das Fórmulas de Euclides, as Fórmulas de Dickson não geram ternos pitagóricos derivados com todos os termos pares.

Ternos Pitagóricos e Fórmulas de Dickson

No livro The Phitagorean Proposition, edição de 1940, páginas 17 a 21, do Professor estadunidense Elisha Escott Loomis se encontram publicados estudos sobre soma de 2 quadrados, ternos pitagóricos e lados de triângulo retângulo extraídos de artigos das seguintes publicações:

1) "The Mathematical Magazine," 1891, Vol. II, No. 5, p. 69, appears an article by that master Mathematical Analyst, Dr. Artemas Martinl of Washington, D.C.;

2) "The American Mathematical Monthly," 1894, Vol.I, No. 1, p. 6, appears an article by Leonard E. Dickson, B.Sc., then Fellow in Pure Mathematics, University of Texas.

Referente ao item 2, é apresentado as Fórmulas de Dickson:

m + √2 m n

n + √2 m n

m + n + √2 m n

as quais o Professor Elisha Escott Loomis faz a seguinte observação:

"The advantage of Dickson's Rule is this: It gives every possible set of values for a, b and h in their lowest terms, and gives this set but once.

To apply his rule, proceed as follows: Let m be any odd square whatsoever, and n be the double of any square number whatsoever not divisible by m."

"A vantagem da regra de Dickson é esta: ela fornece todos os conjuntos possíveis de valores para a, b e h em seus termos mínimos, e apresenta cada conjunto apenas uma vez.

Para aplicar a regra, proceda da seguinte forma: seja m qualquer quadrado ímpar, e n o dobro de qualquer número quadrado não divisível por m."

Exemplos:

se m = 9,

n pode ser o dobro de 1, 4, 16, 25, 49, etc.;

assim, quando m = 9 e n = 2,

temos:

i) m + √2 m n = 15,

ii) n + √2 m n = 8

ii) m+ n + √2 m n = 17

Se m = 1 e n = 2, obtemos: a = 3, b = 4, h = 5.

Se m = 25 e n = 8, obtemos: a = 25, b = 45, h = 53.

Fórmulas de Dickson: m = quadrado ímpar e n = 2

Aplicando as Fórmulas de Dickson onde m = quadrado perfeito ímpar e n = 2 (dobro do quadrado perfeito 1), além se obterem ternos pitagóricos, constatam-se, entre outras, as seguintes regularidades numéricas:

a) sendo m = 1 e n = dobro de quadrado, o terno gerado é um terno pitagórico primitivo de ordem / posição triangular (células laranjas);

b) ternos pitagóricos primitivos de ordens / posições triangulares são ternos cujos termos "b" e "c" são números consecutivos (cateto maior e hipotenusa);

Exemplo:

3 - 4 - 5 ( 4 e 5 são números consecutivos)

c) os demais ternos são primitivos, mas não de ordens / posições triangulares;

d) os termos "c" (hipotenusas) são números de Fermat da forma 4x + 1, onde x é um número triangular;

e) entre os termos "c", há números primos da forma 4x + 1.

f) números compostos da forma 4x + 1, têm seus divisores também números da forma 4x + 1;

Exemplo:

65 = 5 x 13

Tabela 1
Fórmulas de Dickson
e Ternos Pitagóricos

	quadrado	dobro
	ímpar	do
		quadrado
		1
			Terno Pitagórico
			a	b	c

ordem /	m	n	m + √2 m n	n + √2 m n	m + n + √2 m n
posição

1	1	2	3	4	5	Primo
2	9	2	15	8	17	Primo
3	25	2	35	12	37	Primo
4	49	2	63	16	65	-
5	81	2	99	20	101	Primo
6	121	2	143	24	145	-
7	169	2	195	28	197	Primo
8	225	2	255	32	257	Primo
9	289	2	323	36	325	-
10	361	2	399	40	401	Primo
11	441	2	483	44	485	-
12	529	2	575	48	577	Primo
13	625	2	675	52	677	Primo
14	729	2	783	56	785	-
15	841	2	899	60	901	-

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Outras regularidades numéricas 1

coluna com termos "a"

a) os números são 1 unidade menor que um quadrado perfeito;

b) os números deixam resto 3 na divisão por 4;

c) entre os termos há Números de Mersenne: 3, 15, 63, 255 cujas ordens / posições são potências de base 2;

colunas com termos "b" e "c"

d) a soma de termos "b" e "c" tem como resultado um quadrado perfeito e que corresponde a um temo "m";

Exemplo:

linha 1 ) 4 + 5 = 9

linha 2) m = 9

colunas com termos "a" , "b" e "c"

e) a soma de termos "a" , "b" e "c" tem como resultado o dobro de um número retangular.

Exemplos:

linha 1 ) 3 + 4 + 5 = 12 (dobro de 6)

linha 2 ) 15 + 8 + 17 = 40 (dobro de 20)

Outras regularidades numéricas 2

Exemplo 1)

			Terno Pitagórico
			a	b	c

ordem /	m	n	m + √2 m n	n + √2 m n	m + n + √2 m n
posição

1	1	2	3	4	5	Primo
2	9	2	15	8	17	Primo
3	25	2	35	12	37	Primo

a) a soma de 4 e 5 que é um quadrado é igual a variável m=9 da linha 2;

b) a soma de 8 e 17 que é um quadrado é igual a variável m=25 da linha 3;

Exemplo 2)

a) a soma de 3 + 4 = 7 é a diferença entre 15 - 8 = 7 da linha 2;

b) a soma de 4 + 5 = 9 é a diferença entre 17 - 8 = 9 da linha 2.

Outras regularidades numéricas 3

A metade da soma da soma dos termos b e c com a diferença dos termos c e b tem como resultado o prórprio termo c do terno pitagórico, isto é, um Número de Fermat da forma 4x+1.

Exemplo:

[ ( 4 + 5 ) + ( 5 - 4 ) ] / 2 = 5

Tabela 2

Soma da Soma com a Diferença
dos termos b e c

	Terno Pitagórico
						soma da	números
ordem /	a	b	c	soma	diferença	soma e da	4x+1
posição	raiz + m	raiz + n	m+n+raiz	b e c	c e b	diferença

1	3	4	5	9	1	10	5
2	15	8	17	25	9	34	17
3	35	12	37	49	25	74	37
4	63	16	65	81	49	130	65
5	99	20	101	121	81	202	101
6	143	24	145	169	121	290	145
7	195	28	197	225	169	394	197
8	255	32	257	289	225	514	257
9	323	36	325	361	289	650	325
10	399	40	401	441	361	802	401
11	483	44	485	529	441	970	485
12	575	48	577	625	529	1154	577
13	675	52	677	729	625	1354	677
14	783	56	785	841	729	1570	785
15	899	60	901	961	841	1802	901

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Fórmulas de Dickson: m = quadrado ímpar e n = 8

A Tabela 2 demonstra as Fórmulas de Dickson onde n=8, o dobro do quadrado perfeito 4.

Tabela 3
Fórmulas de Dickson
e Ternos Pitagóricos

	quadrado	dobro
	ímpar	do
		quadrado
		4
			Terno Pitagórico
			a	b	c

ordem /	m	n	m + √2 m n	n + √2 m n	m + n + √2 m n
posição

1	1	8	5	12	13	Primo
2	9	8	21	20	29	Primo
3	25	8	45	28	53	Primo
4	49	8	77	36	85	-
5	81	8	117	44	125	-
6	121	8	165	52	173	Primo
7	169	8	221	60	229	Primo
8	225	8	285	68	293	Primo
9	289	8	357	76	365	-
10	361	8	437	84	445	-
11	441	8	525	92	533	-
12	529	8	621	100	629	-
13	625	8	725	108	733	Primo
14	729	8	837	116	845	-
15	841	8	957	124	965	-

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Fórmulas de Dickson: m = quadrado ímpar e n = 18

A Tabela 3 demonstra as Fórmulas de Dickson onde n=18 é o dobro do quadrado perfeito 9.

Tabela 4
Fórmulas de Dickson
e Ternos Pitagóricos

	quadrado	dobro
	ímpar	do
		quadrado
		9
			Terno Pitagórico
			a	b	c

ordem /	m	n	m + √2 m n	n + √2 m n	m + n + √2 m n
posição

1	1	18	7	24	25	-
2	9	18	27	36	45	-
3	25	18	55	48	73	Primo
4	49	18	91	60	109	Primo
5	81	18	135	72	153	-
6	121	18	187	84	205	-
7	169	18	247	96	265	-
8	225	18	315	108	333	-
9	289	18	391	120	409	Primo
10	361	18	475	132	493	-
11	441	18	567	144	585	-
12	529	18	667	156	685	-
13	625	18	775	168	793	-
14	729	18	891	180	909	-
15	841	18	1015	192	1033	Primo

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Fórmulas de Dickson: m = quadrado ímpar e n = 32

A Tabela 4 demonstra as Fórmulas de Dickson onde n=32 é o dobro do quadrado perfeito 16.

Tabela 5
Fórmulas de Dickson
e Ternos Pitagóricos

	quadrado	dobro
	ímpar	do
		quadrado
		16
			Terno Pitagórico
			a	b	c

ordem /	m	n	m + √2 m n	n + √2 m n	m + n + √2 m n
posição

1	1	32	9	40	41	Primo
2	9	32	33	56	65	-
3	25	32	65	72	97	Primo
4	49	32	105	88	137	Primo
5	81	32	153	104	185	-
6	121	32	209	120	241	Primo
7	169	32	273	136	305	-
8	225	32	345	152	377	-
9	289	32	425	168	457	Primo
10	361	32	513	184	545	-
11	441	32	609	200	641	Primo
12	529	32	713	216	745	-
13	625	32	825	232	857	Primo
14	729	32	945	248	977	Primo
15	841	32	1073	264	1105	-

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Autor: Ricardo Silva - julho/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

LOOMIS, Elisha Scott. The Pythagorean Propositions - Classics in Mathematics Education Serie - by The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. - 1968