Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Divisores e Diferença de 2 Quadrados - 689

Divisores de um número natural, bem como, a quantidade de divisores revelam importantes propriedades matemáticas desse mesmo número natural.

Por meio da quantidade de divisores de um número natural é possível de se saber se:

a) um número é primo;

b) um número é composto;

c) um número é quadrado perfeito, cubo perfeito, ...;

d) um número é semiprimo.

O presente estudo demonstra uma nova propriedade relacionada a divisores de um número natural nas quais são possíveis a partir de pares de divisores multiplicativos (pares de divisores equidistantes) de se gerarem duplas de raízes quadradas, bem como, seus respectivos quadrados perfeitos cuja diferença é esse número natural.

Diferença de 2 Quadrados Consecutivos

A Tabela-1 demonstra as 20 primeiras diferenças entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos.

A diferença entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos tem como resultado número ímpar igual ou maior que 3.

As diferenças entre números quadrados perfeitos consecutivos tem como resultado a sequência de números ímpares a partir do número 3 e, entre eles, números primos.

Todo número ímpar igual ou maior que 3 é a soma de 2 números consecutivos.

Exemplo: número 15

7 + 8 = 15

Pois:

i) ( 15 - 1 ) / 2 = 7

ii) ( 15 + 1 ) / 2 = 8

Quantidades de Diferenças

Fixando um número número quadrado perfeito e subtraindo sucessivamente números quadrados perfeitos consecutivos do quadrado perfeito 1 até a este quadrado fixado, obtêm-se todas as diferenças entre esse quadrado perfeito fixado e os demais quadrados.

No exemplo, tem-se o quadrado perfeito 64 cuja raiz quadrada é 8.

8 são as quantidades etapas / cálculos.

Na penúltima etapa / cálculo, isto é, na linha ( n - 1 ), têm-se a ocorrência da diferença entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos e esta regularidade é válida para qualquer quadrado fixado igual ou maior que 4.

A diferença 15, é a diferença natural, mas não exclusiva, entre os quadrados perfeitos consecutivos 49 e 64.

O número 15 é também a diferença entre outra dupla de números quadrados perfeitos, como veremos a seguir.

Número 15 e Somas de Quadrados

Fixando número um ímpar n igual ou maior que 3 e efetuando somas com números quadrados perfeitos consecutivos cujas etapas / cálculos são ( n - 1 ) / 2, obtêm determinadas somas cujos resultados são também números quadrados perfeitos.

i) 15 + 1 ( quadrado perfeito ) = 16 ( quadrado perfeito )

ii) 15 + 49 ( quadrado perfeito ) = 64 ( quadrado perfeito )

Realizando a diferença entre cada dupla de quadrados, tem-se como resultado o número 15:

iii)16 - 1 = 15

iv) 64 - 49 = 15

Número 15 como Diferenças entre 2 Quadrados

O número 15 é o primeiro número composto ímpar, semiprimo e que é produto de 2 números primos distintos:

3 x 5 = 15

D (15): { 1, 3, 5, 15 }

Quantidades de divisores: 4

Número composto que não é quadrado perfeito, têm quantidades pares de divisores.

Os divisores de 15 formam pares multiplicativos perfeitos.

A partir dos divisores equidistantes do número 15 são possíveis de se determinarem duplas de números quadrados perfeitos cuja diferença é o próprio número 15, vejamos:

1^a etapa de cálculos com os divisores 1 e 15

i) a soma de 2 divisores equidistantes dividida por 2, tem como quociente a primeira raiz quadrada.

( 15 + 1 ) / 2 = 8

ii) a diferença de 2 divisores equidistantes dividida por 2, tem como quociente a segunda raiz quadrada.

( 15 - 1 ) / 2 = 7

iii) 8² = 64

iv) 7² = 49

v) 64 - 49 = 15

Como exposto acima, 15 é a diferença natural entre os quadrados perfeitos consecutivos 49 e 65.

2^a etapa de cálculos com os divisores 3 e 5

i) ( 5 + 3 ) / 2 = 4

ii) ( 5 - 3 ) / 2 = 1

iii) 4² = 16

iv) 1² = 1

v) 16 - 1 = 15

15 é também a diferença entre os quadrados perfeitos não consecutivos 1 e 16.

Números Primos

Número primo têm 2 divisores, o número 1 e ele próprio.

Número Primo 3

D (3) : { 1, 3 }

i) ( 1 + 3 ) / 2 = 2

ii) ( 3 - 1 ) / 2 = 1

iii) 2² = 4

iv) 1² = 1

v) 4 - 1 = 3

O número primo 3 é a diferença natural e EXCLUSIVA entre os quadrados perfeitos 1 e 4.

Número Primo 5

D (5) : { 1, 5 }

i) ( 1 + 5 ) / 2 = 3

ii) ( 5 - 1 ) / 2 = 2

iii) 3² = 9

iv) 2² = 4

v) 9 - 4 = 5

O número primo 5 é a diferença natural e EXCLUSIVA entre os quadrados perfeitos 4 e 9.

Números Quadrados Perfeitos (de raiz prima)

Número quadrado perfeito cuja raiz quadrada é um número primo, possui 3 divisores (quantidade ímpar).

Número Quadrado Perfeito 9

D (9) : { 1, 3, 9 }

i) ( 1 + 9 ) / 2 = 5

ii) ( 9 - 1 ) / 2 = 4

iii) 5² = 25

iv) 4² = 16

v) 25 - 16 = 9

O número quadrado perfeito 9 é a diferença natural e EXCLUSIVA entre os quadrados perfeitos 16 e 25.

Número Quadrado Perfeito 25

D (25) : { 1, 5, 25 }

i) ( 1 + 25 ) / 2 = 13

ii) ( 25 - 1 ) / 2 = 12

iii) 13² = 169

iv) 12² = 144

v) 169 - 144 = 25

O número quadrado perfeito 25 é a diferença natural e EXCLUSIVA entre os quadrados perfeitos 144 e 169.

Números Quadrados Perfeitos (de raiz composta)

Número quadrado perfeito cuja raiz quadrada é um número composto, possui mais de 3 divisores (quantidade ímpar).

Número Quadrado Perfeito 81

O número 81 é um número quadrado perfeito originado do número composto 9.

D (81): { 1, 3, 9, 27, 81 }

5 são os divisores de 81.

O número 81 é uma potência da base 3.

1^a etapa de cálculos com os divisores 1 e 81

i) ( 1 + 81 ) / 2 = 41

ii) ( 81 - 1 ) / 2 = 40

iii) 41² = 1681

iv) 40² = 1600

v) 1681 - 1600 = 81

2^a etapa de cálculos com os divisores 3 e 27

i) ( 3 + 27 ) / 2 = 15

ii) ( 27 - 3 ) / 2 = 12

iii) 15² = 225

iv) 14² = 144

v) 225 - 144 = 81

Múltiplos Ímpares de 3

Entre os múltiplos ímpares de 3: 15, 21, 27, 33, 39,... que são produtos de 2 números primos distintos ( o número primo 3 com outro número primo):

3 x 5 = 15

3 x 7 = 21

3 x 11 = 33

3 x 13 = 39

ao se contruirem tabelas em que esses múltiplos ímpares de 3 são somados com quadrados perfeitos consecutivos, os cálculos, sempre aparecerão em linhas determinadas pelas diferenças entre os divisores equidistantes ( divisor maior menos o divisor menor dividido por 2 ) desses múltiplos ímpares, por meio do seguinte cálculo:

( D - d ) / 2

Os exemplos que se seguem, são válidos para múltiplos ímpares de outros números ímpares.

Número 15

D (15): { 1, 3, 5, 15 }

Primeiro cálculo, primeira linha.

( 5 - 3 ) / 2 = 1

Segundo cálculo, sétima linha.

( 15 - 1 ) / 2 = 7

Número 21

D (21): { 1, 3, 7, 21 }

Primeiro cálculo, segunda linha.

( 7 - 3 ) / 2 = 2

Segundo cálculo, décima linha.

( 21 - 1 ) / 2 = 10

Número 27

D (27): { 1, 3, 9, 27 }

Primeiro cálculo, terceira linha.

( 9 - 3 ) / 2 = 3

Segundo cálculo, décima terceira linha.

( 27 - 1 ) / 2 = 13

Conclusão

Com os exemplos demonstrados neste estudo, tem-se um novo método para se gerarem raízes quadradas, bem como, suas respectivas duplas de números quadrados perfeitos cuja diferença é um mesmo número natural a partir de duplas de divisores equidistantes desse mesmo número natural.

Autor: Ricardo Silva - agosto/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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