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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Divisibilidade por 7 e Regularidades Numéricas - 699

O presente estudo demonstra extensão de utilização de um dos Critérios de Divisibilidade por 7, isto é, determinados números que não são múltiplos de 7, aplicando-se variação de um dos critérios de divisibilidade por 7, são possíveis de se gerarem números múltiplos de 7.

Múltiplos de 7

Obtêm-se múltiplos de um número natural, multiplicando-se esse número natural pela sequência de números naturais.

Por exemplo, os múltiplos de 7:

7 x 0 = 0

7 x 1 = 7

7 x 2 = 14

7 x 3 = 21

7 x 4 = 28

7 x 5 = 35

7 x 6 = 42

7 x 7 = 49

7 x 10 = 70

... e assim sucessivamente.

Dividindo-se a sequência de números naturais por 7, a cada 7 números, sempre haverá um número que é múltiplo e divisível por 7.

Tabela-1

Divisão por 7

dividendo		divisor		quociente

números		número
naturais		7

1	:	7	=	0,142857
2	:	7	=	0,285714
3	:	7	=	0,428571
4	:	7	=	0,571429
5	:	7	=	0,714286
6	:	7	=	0,857143
7	:	7	=	1
8	:	7	=	1,142857
9	:	7	=	1,285714
10	:	7	=	1,428571
11	:	7	=	1,571429
12	:	7	=	1,714286
13	:	7	=	1,857143
14	:	7	=	2
15	:	7	=	2,142857
16	:	7	=	2,285714
17	:	7	=	2,428571
18	:	7	=	2,571429
19	:	7	=	2,714286
20	:	7	=	2,857143
21	:	7	=	3

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Critério de Divisibilidade Por 7

No Curso Aritmética - Aula 41 - Um critério de divisibilidade por 7 do Programa de Iniciação Científica da OBMEP, ministrada pelo Professor Fábio Henrique Teixeira de Souza, divulgada no WebSite YouTube, demonstra exemplo com o número 1785 [1].

i) retira-se o algarismo das unidades do número 1785;

ii) dobra-se o algarismo das unidades;

2 x 5 = 10

iii) subtrái-se 10 de 178 cuja diferença é 168.

Repete-se o processo com o número 168.

i) 2 x 8 = 16

ii) 16 - 16 = 0

iii) a diferença é 0 (zero), comprovando-se assim que o número 1785 é divisível por 7.

Prova: 1785 : 7 = 255

Número 255

E aqui surgem interessantes fatos matemáticos com o número 255, vejamos:

a) utilizando o critério de divisibilidade por 7 com o número 255;

25 - 10 = 15

Verifica-se que 15 não é múltiplo e nem divisível por 7.

b) somando-se o dobro do algarismo da unidades com o número 25, obtêm-se 35 que é um múltiplo de 7;

25 + 10 = 35

c) adicionando-se 10 ao número 255, a soma não é múltiplo de 7;

255 + 10 = 265

265 : 7 = 37,857 142857 142857 142857 142857 143

d) subtraindo-se 10 de 255, a diferença 35 é múltiplo de 7;

255 - 10 = 245

245 : 7 = 35

Observações:

1) 255 é número de Mersenne;

2) 255 é 1 unidade menor que a potência 256 de base 2;

3) 15 é número de Mersenne;

4) 15 é 1 unidade menor que a potência 16 de base 2.

5) 35 é 1 unidade menor que o quadrado perfeito 36 ( 6 x 6 = 36 )

Lembrando que o número 7 é também um Número de Mersenne e também 1 unidade menor que a potência 8 de base 2.

7, 15, 255 são números que são quase potências de base 2.

35 é quase um número quadrado perfeito.

Números 91 e 13

Como explanado anteriormente, dividindo-se a sequência de números naturais por 7, a cada 7 números, sempre haverá um número que é múltiplo e divisível por 7.

Entre os números naturais, há o número 91 que é múltiplo de 7.

O número 91, bem como, os seus múltiplos quando divididos por 7, têm como quocientes números múltiplos de 13.

O Número 13, bem como, os seus múltiplos não são múltiplos de 7.

Determinados múltiplos de 13 menos os dobros dos algarismo das unidades têm como diferenças números múltiplos de 7.

Tabela-2

Números Naturais divididos por 7

Dividendo		Divisor		Quociente

				(subtraendo)	minuendo	diferença

número		número			dobro	(múltiplos
natural		7			algarismo	de
...					unidade	7)
90	:	7	=	12,85..
91	:	7	=	13	6	7
92	:	7	=	13,14...
...
181	:	7	=	25,85...
182	:	7	=	26	12	14
183	:	7	=	26,14...
...
272	:	7	=	38,85...
273	:	7	=	39	18	21
274	:	7	=	39,14...

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Múltiplos de 13 e Múltiplos de 7

A Tabela 3 apresenta os 30 primeiros múltiplos de 13 menos as somas dos dobros dos algarismos das unidades e as seguintes propriedades numéricas:

a) o número 13, bem como, seus múltiplos não são múltiplos de 7.

b) determinados múltiplos de 13 menos as somas dos dobros dos algarismos das unidades têm como diferenças múltiplos de 7 (células azuis);

b) a cada 30 múltiplos de 13, separados em faixas de 10 em 10 múltiplos, há pelos menos 1 faixa em que nos cálculos têm como resultados 3 múltiplos de 7.

Tabela-3

Múltiplos de 13 e Múltiplo de 7


número		número		produto	dobro	múltiplo		quociente
natural		13		(múltiplos	algarismo	de
				de 13)	unidade	7

1	x	13	=	13	6	7	=	1
2	x	13	=	26	12	14	=	2
3	x	13	=	39	18	21	=	3
4	x	13	=	52	4	48	=	6,857142857
5	x	13	=	65	10	55	=	7,857142857
6	x	13	=	78	16	62	=	8,857142857
7	x	13	=	91	2	89	=	12,71428571
8	x	13	=	104	8	96	=	13,71428571
9	x	13	=	117	14	103	=	14,71428571
10	x	13	=	130	0	130	=	18,57142857
11	x	13	=	143	6	137	=	19,57142857
12	x	13	=	156	12	144	=	20,57142857
13	x	13	=	169	18	151	=	21,57142857
14	x	13	=	182	4	178	=	25,42857143
15	x	13	=	195	10	185	=	26,42857143
16	x	13	=	208	16	192	=	27,42857143
17	x	13	=	221	2	219	=	31,28571429
18	x	13	=	234	8	226	=	32,28571429
19	x	13	=	247	14	233	=	33,28571429
20	x	13	=	260	0	260	=	37,14285714
21	x	13	=	273	6	267	=	38,14285714
22	x	13	=	286	12	274	=	39,14285714
23	x	13	=	299	18	281	=	40,14285714
24	x	13	=	312	4	308	=	44
25	x	13	=	325	10	315	=	45
26	x	13	=	338	16	322	=	46
27	x	13	=	351	2	349	=	49,85714286
28	x	13	=	364	8	356	=	50,85714286
29	x	13	=	377	14	363	=	51,85714286
30	x	13	=	390	0	390	=	55,71428571

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Potências de Base 2 e Divisões por 7

Potências de Base 2 geradas de expoentes múltiplos de 3 ao serem divididas por 7 deixam resto 1.

Tabela-4

Potências de Base 2 e
Divisões por 7


base	expoente	potência	divisão	resto
2		de base 2	por 7

2	1	2
2	2	4
2	3	8	7	1
2	4	16
2	5	32
2	6	64	7	1
2	7	128
2	8	256
2	9	512	7	1
2	10	1024
2	11	2048
2	12	4096	7	1
2	13	8192
2	14	16384
2	15	32768	7	1
2	16	65536
2	17	131072
2	18	262144	7	1
2	19	524288

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Potências de Base 2 e Múltiplos de 7

A Tabela 4 demonstra as 43 primeiras potências de base 2 menos as somas dos algarismos das unidades e as seguintes propriedades numéricas:

a) potência de base 2 não é múltiplo de 7;

b) determinadas potências de base 2 menos as somas dos algarismos das unidades têm como diferenças números múltiplos de 7 (células azuis);

c) os múltiplos de 7 são gerados quando a base 2 é elevada a expoentes múltiplos de 6, bem como, expoentes antecessores e sucessores a expoentes múltiplos de 6 (células laranjas);

Interessante observar que 6n - 1 e 6n + 1 têm como resultados números ímpares e, entre eles, números primos e também números primos gêmeos.

5 e 7 ;

17 e 19;

29 e 31;

41 e 43

são números primos gêmeos.

Tabela-5

Potências de Base 2 e
Múltiplos de 7


		minuendo	subtraendo	diferença		quociente

base	expoente	potência de	soma		número
2		base 2	algarismo		7
			unidades

2	1	2	4	-2	7	-0,285714286
2	2	4	8	-4	7	-0,571428571
2	3	8	16	-8	7	-1,142857143
2	4	16	12	4	7	0,571428571
2	5	32	4	28	7	4
2	6	64	8	56	7	8
2	7	128	16	112	7	16
2	8	256	12	244	7	34,85714286
2	9	512	4	508	7	72,57142857
2	10	1024	8	1016	7	145,1428571
2	11	2048	16	2032	7	290,2857143
2	12	4096	12	4084	7	583,4285714
2	13	8192	4	8188	7	1169,714286
2	14	16384	8	16376	7	2339,428571
2	15	32768	16	32752	7	4678,857143
2	16	65536	12	65524	7	9360,571429
2	17	131072	4	131068	7	18724
2	18	262144	8	262136	7	37448
2	19	524288	16	524272	7	74896
2	20	1048576	12	1048564	7	149794,8571
2	21	2097152	4	2097148	7	299592,5714
2	22	4194304	8	4194296	7	599185,1429
2	23	8388608	16	8388592	7	1198370,286
2	24	16777216	12	16777204	7	2396743,429
2	25	33554432	4	33554428	7	4793489,714
2	26	67108864	8	67108856	7	9586979,429
2	27	134217728	16	1,34E+08	7	19173958,86
2	28	268435456	12	2,68E+08	7	38347920,57
2	29	536870912	4	5,37E+08	7	76695844
2	30	1073741824	8	1,07E+09	7	153391688
2	31	2147483648	16	2,15E+09	7	306783376
2	32	4294967296	12	4,29E+09	7	613566754,9
2	33	8589934592	4	8,59E+09	7	1227133513
2	34	17179869184	8	1,72E+10	7	2454267025
2	35	34359738368	16	3,44E+10	7	4908534050
2	36	68719476736	12	6,87E+10	7	9817068103
2	37	1,37439E+11	4	1,37E+11	7	19634136210
2	38	2,74878E+11	8	2,75E+11	7	39268272419
2	39	5,49756E+11	16	5,5E+11	7	78536544839
2	40	1,09951E+12	12	1,1E+12	7	1,57073E+11
2	41	2,19902E+12	4	2,2E+12	7	3,14146E+11
2	42	4,39805E+12	8	4,4E+12	7	6,28292E+11
2	43	8,79609E+12	16	8,8E+12	7	1,25658E+12

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Soma de Quocientes

A soma dos quocientes 28 é um múltiplo de 7.

28 dividido por 7 têm como quociente, o primeiro quociente 4.

2	5	32	4	28	7	4
2	6	64	8	56	7	8
2	7	128	16	112	7	16

				soma		28

A soma dos quocientes 131068 é um múltiplo de 7.

131068 dividido por 7 têm como quociente, o primeiro quociente 18724.

2	17	131072	4	131068	7	18724
2	18	262144	8	262136	7	37448
2	19	524288	16	524272	7	74896

				soma		131068

A soma dos quocientes 536870908 é um múltiplo de 7.

536870908dividido por 7 têm como quociente, o primeiro quociente 76695844.

2	29	536870912	4	5,37E+08	7	76695844
2	30	1073741824	8	1,07E+09	7	153391688
2	31	2147483648	16	2,15E+09	7	306783376

				soma		536870908

Fórmula para se obter número múltiplo ímpar de 7

Pode-se também obter determinado número múltiplo de 7 de final 7, semelhante a uma potência de base 7, por meio da seguinte expressão matemática:

(n x 168070 ) + 16807 - onde n é um número natural.

Para mais informações, veja estudo:

011-estudos-120-determinando-multiplos-numero-sete

Autor: Ricardo Silva - setembro/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

SOUZA, Fabio Henrique Teixeira de. Aritmética - Aula 41 - Um critério de divisibilidade por 7 - Programa de Iniciação Cientifica da OBMEP. disponível em: <https://www.youtube.com /watch?v=SnesXs9xlmg& list= PLrVGp617x0hC8WkPHtM3IjoOiiyJs-hHh& index=41> acesso em 14/09/2026