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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum - 232

Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum são dois algoritmos que são utilizados para se saber múltiplos e divisores comuns entre dois ou mais números, por meio do Mínimo Múltiplo Comum (mmc) pode-se calcular:

1) a raiz quadrada, raiz cúbica, quártica, etc.;

2) quem são os divisores de determinado número;

3) quantidade de divisores de determinado número;

4) fatores primos de determinado número.

Através deles podem ser resolvidos diversos problemas matemáticos, dentre eles, problemas em que envolvem frações.

Neste estudo veremos as relações numéricas entre o mmc e o mdc.

Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum

Mínimo Múltiplo Comum

Um clássico exemplo em que é aplicado o Mínimo Múltiplo Comum é quando se deseja saber qual é o horário que dois medicamentos que deverão ser tomados juntos, isto é, tem-se que tomar um comprimido de 6 em 6 horas e tomar xarope de 4 em 4 horas.[1]

Começando a tomar os dois medicamentos à zero hora (meia-noite), qual será o próximo horário que os dois deverão ser tomados juntos.

Resolução por meio de tabela de horários

Uma das formas de se resolver este problema é fazer uma tabela com os horários em que os medicamentos deverão ser tomados.

Com as informações tabuladas, 12 horas (meio-dia) é o próximo horário em que o comprimido e o xarope deverão ser tomados juntos.

Observa-se que naturalmente, fazemos a manipulação de múltiplos de um número.

Hora Medicamento Medicamento
     
0 (meia-noite) Comprimido Xarope
1    
2    
3    
4   Xarope
5    
6 Comprimido  
7    
8   Xarope
9    
10    
11    
12 (meio-dia) Comprimido Xarope
13    
14    
15    
16   Xarope
17    
18 Comprimido  
19    
20   Xarope
21    
22    
23    
0 (meia-noite) Comprimido Xarope

Múltiplos de um número

Escrevendo-se os múltiplos de 4 e de 6 e determinando o Mínimo Múltiplo Comum (mmc), o problema dos medicamentos também podem ser resolvido da seguinte forma:

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,...}

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,...}

O Mínimo Múltiplo Comum (mmc) entre 4 e 6 é 12.

mmc (4, 6) = {12}

12 horas é o próximo horário que os dois medicamentos devem ser tomados juntos.

Decomposição simultânea em fatores primos

Decompondo simultaneamente em fatores primos os números 4 e 6, isto é, dividindo-os por números primos, encontramos os fatores primos comuns entre os dois números e que multiplicados obtem-se o Mínimo Multiplo Comum (mmc).

Decomposição
em fatores primos
números 4 e 6
   
  Fatores primos
   
4, 6 2
2, 3 2
1, 3 3
1, 1  

2 x 2 x 3 = 12

ou

22 x 3 = 12

mmc (4,6) = {12}

Cálculo mental do Mínimo Múltiplo Comum (mmc)

Para se saber o Mínimo Múltiplo Comum ente 4 e 6, pode-se também fazer o uso de cálculos mentais:

1) tenta-se a divisão exata do número maior (6) pelo menor (4);

6 : 4 = 1,5 (a divisão não é exata)

2) tenta-se a divisão do dobro do número maior (6) pelo menor (4);

12 : 4 = 3 (a divisão é exata)

3) o Mínimo Múltiplo Comum ente 4 e 6 é 12.

mmc (4, 6) = {12}

Máximo Divisor Comum

Há duas fitas coloridas, uma vermelha com 16 metros e outra azul com 28 metros e devemos cortá-las de forma que os pedaços tenham os mesmos comprimentos.[1]

As fitas serão utilizadas para enlaçar e decorar caixas nos sentidos horizontal e vertical.

Veja que neste problema envolve divisão em partes iguais.

Fazendo o uso da Decomposição Simultânea em Fatores Primos, pode-se saber os fatores comuns entre os números 16 e 28.

Os fatores primos comuns que dividem simultaneamente os números 16 e 28 são 2 e 2.

O produto dos dois fatores comuns 2 x 2 = 4 é Máximo Divisor Comum dos números 16 e 28.

mdc (16, 28) = {4}

Dividindo-se os comprimentos 16 e 28 por 4, obtem-se os pedaços de fitas a serem utilizados para enlaçar as caixas.

16 : 4 = 4 (4 pedaços com 4 metros)

28 : 4 = 7 (7 pedaços com 4 metros)

Decomposição
em fatores primos
números 16 e 28
     
16, 28 2 fator comum (divide 16 e 28)
8, 14 2 fator comum (divide 16 e 28)
4, 7 2  
2, 7 2  
1, 7 7  
1,1    

Máximo Divisor comum e Algoritmo de Euclides

Este algoritmo consiste e dividir sucessivamente o número maior pelo menor até que se obtenha resto zero (0).

  1 1 3 Quocientes
         
28 16 12 4 Divendos / Divisores
         
12 4 0   Restos

mdc (28, 16) = {4}

Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum e suas relações numéricas

Tanto o MMC quanto o MDC possuem relações numéricas entre os números que os geram.

O produto de 2 números naturais é igual ao produto do MMC pelo MDC.

Problema dos medicamentos

O produto de 4 x 6 = 24

mmc (4, 6) = {12}

mdc (4, 6) = {2}

O produto do mmc 12 x mdc 2 = 24

Problema das fitas coloridas

O produto de 16 x 28 = 448

mmc (16, 28) = {112}

mdc (16, 28) = {4}

O produto do mmc 112 x mdc 4 = 448

Conclusão

A partir destes algoritmos e sabendo-se o produto de dois números e o MMC, podemos determinar o MDC ou sabendo-se o produto de dois números e o MDC, podemos determinar o MMC.

Autor: Ricardo Silva - agosto/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matêmática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

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