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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Soma dos algarismos de um número - parte 3 - 346

A soma dos algarismos de um número natural apresentam interessantes propriedades numéricas relacionadas ao número 3:

a) número natural formado a partir de 2 algarismos e quando somado esses algarismos, essa soma subtraída desse número tem como resultado um número divisível por 3.

b) múltiplos de 3 formado a partir de 2 algarismos e quando somado esses algarismos, essa soma adicionada ao múltiplo de 3 tem como resultado também um número múltiplo de 3.

soma dos algarismos de um número

Para mais informações veja estudos publicados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos nos links Matérias Relacionadas abaixo.

Soma de algarismos de números que resultam 11

O número 11 é o primeiro número primo formado por 2 algarismos.

Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar e que somados tem como resultado o proprio número 11?

Exemplos:

29

2 + 9 = 11

38

3 + 8 = 11

47

4 + 7 = 11

56

5 + 6 = 11

Somando-se dois números de cada vez

Exemplo 1)

  29
+ 38
  ____
  67

O resultado 67 não é divisível por 11 e nem a soma dos algarismos resultam 11.

6 + 7 = 13

Exemplo 2)

  29
+ 47
  ____
  76

O resultado 76 não é divisível por 11 e nem a soma dos algarismos resultam 11.

7 + 6 = 13

Exemplo 3)

  29
+ 56
  ____
  85

O resultado 85 não é divisível por 11 e nem a soma dos algarismos resultam 11.

8 + 5 = 13

Exemplo 4)

  38
+ 47
  ____
  85

O resultado 85 não é divisível por 11 e nem a soma dos algarismos resultam 11.

8 + 5 = 13

Exemplo 5)

  47
+ 56
  ____
  103

O resultado 103 não é divisível por 11 e nem a soma dos algarismos resultam 11.

1 + 0 + 4 = 5

Soma de algarismos de números que resultam 9

O número 9 é um número quadrado, composto e múltiplo de 3.

Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar e que somados tem como resultado o número 9?

Exemplos:

18

1 + 8 = 9

27

2 + 7 = 9

36

3 + 6 = 9

45

4 + 5 = 9

Somando-se dois números de cada vez

Exemplo 1)

  18
+ 27
  ____
  45

O resultado 45 é divisível por 3 e a soma dos algarismos resultam 9.

4 + 5 = 9

Exemplo 2)

  18
+ 36
  ____
  54

O resultado 54 é divisível por 3 e a soma dos algarismos resultam 9.

5 + 4 = 9

Exemplo 3)

  18
+ 45
  ____
  63

O resultado 63 é divisível por 3 e a soma dos algarismos resultam 9.

6 + 3 = 9

Exemplo 4)

  27
+ 36
  ____
  63

O resultado 63 é divisível por 3 e a soma dos algarismos resultam 9.

6 + 3 = 9

Exemplo 5)

  27
+ 45
  ____
  72

O resultado 72 é divisível por 3 e a soma dos algarismos resultam 9.

7 + 2 = 9

Exemplo 6)

  45
+ 36
  ____
  81

O resultado 81 é divisível por 3 e a soma dos algarismos resultam 9.

8 + 1 = 9

Os números 48 e 183

Recentemente recebi um e-mail do Leitor Fábio, residente na cidade de Salvador, Bahia, estudante de Medicina e também um entusiasta por Matemática, no qual descreve que os números 48 e 183 apresentam caractéristicas em comum, vejamos:

a) a soma dos algarismos da soma dos números 183 + 48 = 231,

2 + 3 + 1 = 6 é igual a soma da soma dos algarismos das parcelas 183 e 48.

b) exemplos:

Números
48 e 183
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  183 1 + 8 + 3 12 1 + 2 3
           
  48 4 + 8 12 1 + 2 3
          _______
        Soma 6
           
  _______        
Soma 231        
           
           
           
soma 2        
dos 3        
algarismos 1        
  _____        
  6        
           
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O Leitor Fábio questiona se estas características são propriedades da Adição e solicitou ao WebSite Os Fantásticos Números Primos uma análise de tais características.

Os números 48 e 183 são múltiplos de 3, pois obedecem ao critério da divisiblidade por 3: A soma dos seus algarismos têm como resultados números múltiplos de 3.

48

4 + 8 = 12

12 é múltiplo de 3

e

183

1 + 8 + 3 = 12

12 é múltiplo de 3.

Assim como o número 48, com dois algarismos, o Fábio poderia ter escolhido outros números cujas somas dos algarismos tem como resultado 12, como: 57, 66, 84 e 93. Mas será que há um padrão nestas ocorrências?

Exemplos:

Número 57

5 + 7 = 12

Números
183 e 57
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  183 1 + 8 + 3 12 1 + 2 3
           
  57 5 + 7 12 1 + 2 3
          _______
        Soma 6
           
  _______        
Soma 240        
           
           
           
soma 2        
dos 4        
algarismos 0        
  _____        
  6        
           
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Apresenta as mesmas características dos números 48 e 183.

Número 66

6 + 6 = 12

Números
183 e 66
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  183 1 + 8 + 3 12 1 + 2 3
           
  66 6 + 6 12 1 + 2 3
          _______
        Soma 6
           
  _______        
Soma 249        
           
           
           
soma 2        
dos 4        
algarismos 9        
  _____        
  15        
           
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Não apresenta as mesmas características dos números 48 e 183,

mas fazendo-se a soma dos algarismos do número 15: 1 + 5 = 6, sim.

Número 84

8 + 4 = 12

Números
183 e 84
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  183 1 + 8 + 3 12 1 + 2 3
           
  84 8 + 4 12 1 + 2 3
          _______
        Soma 6
           
  _______        
Soma 267        
           
           
           
soma 2        
dos 6        
algarismos 7        
  _____        
  15        
           
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Não apresenta as mesmas características dos números 48 e 183,

mas fazendo-se a soma dos algarismos do número 15: 1 + 5 = 6, sim.

 

Número 93

9 + 3 = 12

Números
183 e 93
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  183 1 + 8 + 3 12 1 + 2 3
           
  93 9 + 3 12 1 + 2 3
          _______
        Soma 6
           
  _______        
Soma 276        
           
           
           
soma 2        
dos 7        
algarismos 6        
  _____        
  15        
           
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Não apresenta as mesmas características dos números 48 e 183,

mas fazendo-se a soma dos algarismos do número 15: 1 + 5 = 6, sim.

Será que estas características se extendem a todos os números múltiplos de 3 e a números aleatórios ou sequenciais?

Fixando-se o número 183 que é um múltiplo de 3 e variando-se números de 2 algarismos que começam com o algarismo 4.

40 - não é múltiplo de 3

41 - não é múltiplo de 3

42 - é múltiplo de 3 - soma dos algarismos = 6

43 - não é múltiplo de 3

44 - não é múltiplo de 3

45 - é múltiplo de 3 - soma dos algarismos = 9

46 - não é múltiplo de 3

47 - não é múltiplo de 3

48 - é múltiplo de 3 - soma dos algarismos = 12

48 é o único número de 2 algarismos iniciado em 4 cuja soma dos algarismos é igual a soma dos algarismos do número 183.

49 - não é múltiplo de 3.

Observação: a cada 3 números entre os números naturais há um múltiplo de 3.

Soma dos algarismos de divisores próprios de múltiplos de 3

Escolhendo-se um múltiplo de 3 e somando-se os algarismos de alguns de seus divisores, encontramos divisores próprios cujas somas de seus algarismos é a mesma desse múltiplo de 3.

Número 180

180 é um múltiplo de 3.

Divisores de 180 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180).

Quantidade de divisores: 18.

Soma de todos os divisores, incluindo o 180: 546.

Soma do divisores próprios, excluindo o 180: 366.

Números Soma Número
escolhidos dos resultante
  algarismos  
     
180 1 + 8 + 0 9
     
Divisores    
     
12 1 + 2 3
     
15 1 + 5 6
     
18 1 + 8 9
     
30 3 + 0 3
     
36 3 + 6 9
     
45 4 + 5 9
     
60 6 + 0 6
     
90 9 + 0 9
     

Escolhendo-se o número 180 e somando-se algarismos de alguns divisores, encontramos 4 divisores próprios cujas somas dos seus algarismos são a mesmas do número 180.

Números
180 e o divisor 18
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  180 1 + 8 + 0 9    
           
  18 1 + 8 9    
           
        Soma  
           
  _______        
Soma 198        
           
           
           
soma 1        
dos 9        
algarismos 8        
  _____        
  18        
           
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Não apresenta as mesmas características dos números 48 e 183, mas fazendo-se a soma dos algarismos do número 18: 1 + 8 = 9, ou somando os números resultantes 9 + 9 = 18, sim.

Números
180 e o divisor 36
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  180 1 + 8 + 0 9    
           
  36 3 + 6 9    
           
        Soma  
           
  _______        
Soma 216        
           
           
           
soma 2        
dos 1        
algarismos 6        
  _____        
  9        
           
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Apresenta características semelhantes dos números 48 e 183 e com uma etapa a menos.

Números
180 e o divisor 45
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  180 1 + 8 + 0 9    
           
  45 4 + 5 9    
           
        Soma  
           
  _______        
Soma 225        
           
           
           
soma 2        
dos 2        
algarismos 5        
  _____        
  9        
           
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Apresenta características semelhantes dos números 48 e 183 e com uma etapa a menos.

Números
180 e o divisor 90
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  180 1 + 8 + 0 9    
           
  90 9 + 0 9    
           
        Soma  
           
  _______        
Soma 270        
           
           
           
soma 2        
dos 7        
algarismos 0        
  _____        
  9        
           
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Apresenta características semelhantes dos números 48 e 183 e com uma etapa a menos.

Número 181

180 não é um múltiplo de 3.

Número 182

182 não é um múltiplo de 3.

Número 183

183 é um múltiplo de 3.

Soma dos algarismos: 1 + 8 + 3 = 12.

Divisores de 183 (1, 3, 61, 183).

Não há divisores próprios cuja somas dos algarismos seja igual a soma dos algarismos do número 183.

Número 184

184 não é um múltiplo de 3.

Número 185

185 não é um múltiplo de 3.

Número 186

186 é um múltiplo de 3.

Soma dos algarismos: 1 + 8 + 6 = 15

divisores de 186 (1, 2, 3, 6, 31, 62, 93, 186).

Não há divisores próprios cuja somas dos algarismos seja igual a soma dos algarismos do número 186.

Número 187

187 não é um múltiplo de 3.

Número 188

188 não é um múltiplo de 3.

Número 189

189 é um múltiplo de 3.

Soma dos algarismos: 1 + 8 + 9 = 18.

divisores de 189 (1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189).

Não há divisores próprios cuja somas dos algarismos seja igual a soma dos algarismos do número 189.

Círcunferência e divisão em graus

O grau (símbolo:°), é uma medida dos ângulos planos correspondendo a 1/360 de uma circunferência. Cada grau pode ser dividido em minutos (′), que equivalem a 1/60 do grau, e segundos (′′), equivalente a 1/60 do minuto.

O grau é originário da Babilônia. Para estabelecerem o grau, os babilônios dividiram o círculo em 360 partes iguais, pois acreditavam que essa era a quantidade de dias referente ao período de um ano e porque seu sistema de numeração era de base sessenta ou sexagesimal.

Outra herança dos babilônios é a divisão das horas e dos minutos em segundos:

1 hora = 60 minutos = 60′

1 minuto = 60 segundos = 60′′

1 hora = 3600 segundos = 3600′′

Como cada um das 360 divisões do círculo corresponde a um grau, temos que:

1 volta = 360 graus = 360°

1/2 volta = 180 graus = 180° (ângulo raso)

1/4 volta = 90 graus = 90° (ângulo reto)

Outra motivação para escolher o número 360 pode ser porque ele tem 24 divisores. Além disso, 360 é divisível pelos números de 1 a 10, com exceção de 7. Esta propriedade tem diversas aplicações práticas, tal como dividir o planeta em 24 fusos horários, cada um com 15° de longitude, correlacionando com a convenção estabelecida do dia de 24 horas.

Número 360

360 é um múltiplo de 3.

Divisores de 360: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 e 360).

Quantidade de divisores: 24

Soma de todos os divisores, incluindo o 360: 1170

Soma do divisores próprios, excluindo o 360: 810

Somando-se os algarismos de alguns divisores do número 360, encontramos 6 divisores próprios cujas somas dos seus algarismos é a mesma do número 360.

  Número 360  
  e seus divisores  
     
Números Soma Número
escolhidos dos resultante
  algarismos  
     
360 3 + 6 + 0 9
     
Divisores    
     
10 1 + 0 1
     
12 1 + 2 3
     
15 1 + 5 6
     
18 1 + 8 9
     
20 2 + 0 2
     
24 2 + 4 6
     
30 3 + 0 3
     
36 3 + 6 9
     
45 4 + 5 9
     
60 6 + 0 6
     
72 7 + 2 9
     
90 9 + 0 9
     
120 1 + 2 + 0 3
     
180 1 + 8 + 0 9
     
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Números 360 e 18

Números
360 e o divisor 18
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  360 3 + 6 + 0 9    
           
  18 9 + 0 9    
           
        Soma  
           
  _______        
Soma 378        
           
           
           
soma 3        
dos 7        
algarismos 8        
  _____        
  18        
           
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Não apresenta as mesmas características dos números 48 e 183, mas fazendo-se a soma dos algarismos do número 18: 1 + 8 = 9, ou somando os números resultantes 9 + 9 = 18, sim.

Números 360 e 45

Números
360 e o divisor 45
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  360 3 + 6 + 0 9    
           
  45 4 + 5 9    
           
        Soma  
           
  _______        
Soma 405        
           
           
           
soma 4        
dos 0        
algarismos 5        
  _____        
  9        
           
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Apresenta características semelhantes dos números 48 e 183 e com uma etapa a menos.

Números 360 e 72

Números
360 e o divisor 72
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  360 3 + 6 + 0 9    
           
  72 7 + 2 9    
           
        Soma  
           
  _______        
Soma 432        
           
           
           
soma 4        
dos 3        
algarismos 2        
  _____        
  9        
           
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Apresenta características semelhantes dos números 48 e 183 e com uma etapa a menos.

Números 360 e 90

Números
360 e o divisor 90
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  360 3 + 6 + 0 9    
           
  90 9 + 0 9    
           
        Soma  
           
  _______        
Soma 450        
           
           
           
soma 4        
dos 5        
algarismos 0        
  _____        
  9        
           
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Apresenta características semelhantes dos números 48 e 183 e com uma etapa a menos.

Números 360 e 180

Números
360 e o divisor 180
 
Números Soma Número Soma Número
    dos resul- dos resul-
    algarismos -tante algarismos -tante
           
  360 3 + 6 + 0 9    
           
  180 1 + 8 + 0 9    
           
        Soma  
           
  _______        
Soma 540        
           
           
           
soma 5        
dos 4        
algarismos 0        
  _____        
  9        
           
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Apresenta características semelhantes dos números 48 e 183 e com uma etapa a menos.

 

Autor: Ricardo Silva - setembro/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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