Potência de um número, isto é, de uma base qualquer, é um múltiplo especial de um número, isto porque quando esta potência é decomposta em fatores primos, o único fator primo que aparece na decomposição é a própria base.
Exemplos:
26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
| Decomposição em fatores primos | |
|---|---|
| da potência 64 | |
| 64 | 2 |
| 32 | 2 |
| 16 | 2 |
| 8 | 2 |
| 4 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1 | |
36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729
| Decomposição em fatores primos | |
|---|---|
| da potência 729 | |
| 729 | 3 |
| 243 | 3 |
| 81 | 3 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15.625
| Decomposição em fatores primos | |
|---|---|
| da potência 15.625 | |
| 15.625 | 5 |
| 3.125 | 5 |
| 625 | 5 |
| 125 | 5 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 | |
Nos estudos de números: 018, 022, 023, 024 publicados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos (veja matérias relacionadas abaixo) discorrem sobre como se obter múltiplos de 3 de final 3 semelhantes potências de base 3 que quando decompostos em fatores primos, o fator primo de maior ocorrência é o proprio número 3.
A Fórmula ( n x 810 ) + 243, onde n é um número natural igual ou maior que 1 usada para se gerar múltiplos de 3 de final 3, também pode ser utilizada para se gerar potências de base 3 de final 3.
A tabela a seguir apresenta as 21 primeiras potências de base 3.
As potências de ordem / expoente 1, 5, 9, 13, 17, 21 (células amarelas) possuem o algarismo final 3.
| Potências de base 3 | |
|---|---|
| ordem / | |
| exponte | potências |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 9 |
| 3 | 27 |
| 4 | 81 |
| 5 | 243 |
| 6 | 729 |
| 7 | 2.187 |
| 8 | 6.561 |
| 9 | 19.683 |
| 10 | 59.049 |
| 11 | 177.147 |
| 12 | 531.441 |
| 13 | 1.594.323 |
| 14 | 4.782.969 |
| 15 | 14.348.907 |
| 16 | 43.046.721 |
| 17 | 129.140.163 |
| 18 | 387.420.489 |
| 19 | 1.162.261.467 |
| 20 | 3.486.784.401 |
| 21 | 10.460.353.203 |
Como exposto acima, também podemos obter potências de base 3 de final 3 utilizando a fórmula: ( n x 810 ) + 243 a partir da potência 19.683.
Através da potênciação
39 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 19.693
Através da fórmula
( 24 x 810 ) + 243 =
19.440 + 243 =
= 19.683
Interessante observar que 19.683 - 3 = 19.680 e que 19.680 / 10 = 1.968.
1.968 é o fator n na fórmula (n x 810 ) + 243 no cálculo da próxima potência de final 3 de base 3.
Através da potênciação
313 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 1.594.323
Através da fórmula
( 1.968 x 810 ) + 243 =
1.594.080 + 243 =
= 1.594.323
Interessante observar que 1.594.323 - 3 = 1.594.320 e que 1.594.320 / 10 = 159.432.
159.432 é o fator n na fórmula (n x 810 ) + 243 no cálculo da próxima potência de final 3 de base 3.
Através da potênciação
317 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 129.140.163
Através da fórmula
( 159.432 x 810 ) + 243 =
129.139.920 + 243 =
= 129.140.163
Interessante observar que 129.140.163 - 3 = 129.140.160 e que 129.140.160 / 10 = 12.914.016
12.914.016 é o fator n na fórmula (n x 810 ) + 243 no cálculo da próxima potência de final 3 de base 3.
Através da potênciação
321 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 10.460.353.203
Através da fórmula
( 12.914.016 x 810 ) + 243 =
10.460.352.960 + 243 =
= 10.460.353.203
A sequência ordem / expoente 1, 5, 9, 13, 17, 21,... (células amarelas) forma um Progressão Aritmética de razão 4 e primeiro termo 1.
A partir da ordem / expoente 1 e somando-se sempre 4 unidades obtêm-se expoentes que elevados a base 3 formam potências de finais 3.
Autor: Ricardo Silva - abril/2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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