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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo de Pascal e triângulos inscritos - 383

Triângulo de Pascal ou também Triângulo Aritmético é um dispositivo numérico em que a medida que vai sendo construído, a sua estrutura vai formando sequências numéricas que possuem diversas propriedades matemáticas.

Triângulo de Pascal

O Triângulo de Pascal possui também em sua estrutura, de forma implícita, outras sequências numéricas que podemos percebê-las quando as destacamos com figuras geométricas, por exemplo, com triângulos, hexágonos, etc.

Triângulo de Pascal e Números de Mersenne

No Triângulo de Pascal, a medida que vamos acrescentando novas linhas, vão se formando novos triângulos com bases maiores em progressão aritimética: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... e as somas de todos os números nas células têm como resultados números quase-perfeitos, números quase-potências de base 2 ou simplesmente Números de Mersenne.

Triângulo de Pascal e Números de Mersenne

Organizando os números em uma tabela, percebe-se que determinados triângulos equiláteros cujas bases (lados) têm quantidades de células em números primos correspondem também a um Número Primo de Mersenne.

    Soma  
    dos  
base potencia números  
do de nos Número
triângulo base 2 triângulos primo de
       
1 1 1  
primo 2 4 3 Mersenne
primo 3 8 7 Mersenne
4 16 15  
primo 5 32 31 Mersenne
6 64 63  
primo 7 128 127 Mersenne
8 256 255  
9 512 511  
10 1024 1023  
11 2048 2047  
12 4096 4095  
primo 13 8192 8191 Mersenne
         
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Triângulo de Pascal e Números Primos

No Triângulo de Pascal, nas linhas em que os números primos "envolvem" as demais células, os números dessas células são múltiplos desse número primo:

Exemplos:

a) Linha 3 - número primo 3;

3 é múltiplo de 3.

b) Linha 5 - número primo 5;

10, 10 e 5 são múltiplos de 5

c) Linha 7 - número primo 7.

21, 35, 35 e 7 são múltiplos de 7.

Triângulo de Pascal e Números Primos

Triângulo de Pascal e o número primo 3

Destacando as células onde há múltiplos de 3, forma-se triângulos equiláteros de base (lado) 2 com 3 células.

Triângulo de Pascal e o número primo 3

Triângulo de Pascal e o número primo 5

Destacando as células onde há múltiplos de 5, forma-se triângulos equiláteros de base (lado) 4 com 10 células.

Triângulo de Pascal e o número primo 5

Triângulo de Pascal e o número primo 7

Destacando as células onde há múltiplos de 7, forma-se triângulos equiláteros de base (lado) 6 com 21 células.

Triângulo de Pascal e o número primo 7

Organizando as informações extraídas das construções dos triângulos equiláteros com múltiplos de números primos, observa-se mais padrões numéricos no Triângulo de Pascal relacionados com números triangulares:

a) os números primos e as bases são números consecutivos;

observação: a base (lado) do triângulo equilátero inscrito é 1 unidade menor que um número primo.

b) o produto de dois números consecutivos, que é um número retangular, dividido por 2, tem como resultado um número triangular;

c) a quantidade de células é múltiplo do número primo correspondente.

Múltiplos base (lado) Quant. soma
de do de das
  triângulo células células
       
3 2 6 12
       
5 4 10 220
       
7 6 21 3304
       
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Autor: Ricardo Silva - maio /2022

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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