O Triângulo de Múltiplos de Números Ímpares é um dispositivo numérico em formato de triângulo retângulo cuja primeira coluna é formada pela sequência de números naturais (células amarela) e as demais colunas por múltiplos de números ímpares se assemelhando a "degraus de uma escada".
O Triângulo de Múltiplos de Números Ímpares é originado da Tabuada de Números Triangulares e possui entre outras propriedades, relações numéricas com potências de base 2 e estas na obtenção de números perfeitos.
As 10 primeiras potências de base 2.
20 = 1
21 = 2
22 = 2 x 2 = 4
23 = 2 x 2 x 2 = 8
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512
210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024
As potências de base 2 possuem características especiais, pois a soma dos seus divisores próprios é 1 unidade menor que uma potência de base 2.
| Potências de base 2 | ||
|---|---|---|
| e divisores | ||
| soma | número | |
| dos | primo | |
| divisores | ||
| próprios | ||
| D (2): 1, 2 | 1 | |
| D (4): 1, 2, 4 | 3 | sim |
| D (8): 1, 2, 4, 8 | 7 | sim |
| D (16): 1, 2, 4, 8, 16 | 15 | |
| D (32): 1, 2, 4, 8, 16, 32 | 31 | sim |
| D (64): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 | 63 | |
| D (128): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 | 127 | sim |
| D (256): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 128, 256 | 255 | |
| D(512): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 128, 256, 512 | 511 | |
| D(1024): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 128, 256, 512, 1024 | 1023 | |
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Potências de base 2 também são denominadas de números quase-perfeitos e a somas dos seus divisores próprios de números quase-potência de base 2.
Exemplo 1):
D (4): 1, 2, 4
A potência 4 possui 3 divisores.
A soma dos divisores próprios, exceto o próprio 4, é 3.
3 é 1 unidade menor que a potência 4.
4 é um número quase-perfeito.
3 é um número quase-potência de base 2.
Exemplo 2):
D (8): 1, 2, 4, 8
A potência 8 possui 4 divisores.
A soma dos divisores próprios, exceto o próprio 8, é 7.
7 é 1 unidade menor que a potência 4.
4 é um número quase-perfeito.
7 é um número quase-potência de base 2.
A sequência da soma dos divisores próprios de potências de base 2 é formada por números ímpares e entre eles números primos: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127,...
Euclides em Os Elementos, Livro IX, demonstra que duplicando-se a unidade (número 1) até que se encontre um número primo, e este primo multiplicado pela última soma, então o produto é um número perfeito.
A sequência a que Euclides se refere em Os Elementos, são as potências de base 2.
Em notação moderna, a fórmula para se tentar obter número perfeito é:
| 2n-1 x (2n - 1) |
Na prática, uma potência de base 2 multiplicada por uma potência sucessora 1 unidade menor e que seja um número primo (um número quase-potência de base 2), então o produto é um número perfeito.
Aplicando a Fórmula para n = 2:
2n-1 x (2n - 1) =
22-1 x (22 - 1) =
21 x (4 - 1) =
2 x 3 = 6
6 é um número perfeito.
Aplicando a Fórmula para n = 3:
2n-1 x (2n - 1) =
23-1 x (23 - 1) =
22 x (8 - 1) =
4 x 7 = 28
28 é um número perfeito.
Aplicando a Fórmula para n = 5:
2n-1 x (2n - 1) =
25-1 x (25 - 1) =
24 x (32 - 1) =
16 x 31 = 496
496 é um número perfeito.
Aplicando a Fórmula para n = 7:
2n-1 x (2n - 1) =
27-1 x (27 - 1) =
26 x (128 - 1) =
64 x 127 = 8.128
8.128 é um número perfeito.
Como apresentado acima, a fórmula para se obter números perfeitos geram duplas de números cujo primeiro termo é uma potência de base e o segundo termo um número quase-potência de base 2.
No Triângulo de Múltiplos de Números Ímpares, as potências de base 2 e os números quase-potência de base 2 aparecem na mesma linha.
As potências de base 2 aparecem no início da linha e os números quase-potência de base 2 no final da linha (células amarela).
Autor: Ricardo Silva - junho/2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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