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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo de múltiplos de números ímpares e potências de base 2 - 392

O Triângulo de Múltiplos de Números Ímpares é um dispositivo numérico em formato de triângulo retângulo cuja primeira coluna é formada pela sequência de números naturais (células amarela) e as demais colunas por múltiplos de números ímpares se assemelhando a "degraus de uma escada".

O Triângulo de Múltiplos de Números Ímpares é originado da Tabuada de Números Triangulares e possui entre outras propriedades, relações numéricas com potências de base 2 e estas na obtenção de números perfeitos.

Triângulo de múltiplos de números ímpares

Potências de base 2

As 10 primeiras potências de base 2.

20 = 1

21 = 2

22 = 2 x 2 = 4

23 = 2 x 2 x 2 = 8

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512

210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Potências de base 2 e soma de divisores próprios

As potências de base 2 possuem características especiais, pois a soma dos seus divisores próprios é 1 unidade menor que uma potência de base 2.

Potências de base 2
e divisores
     
  soma número
  dos primo
  divisores  
  próprios  
     
D (2): 1, 2 1  
     
D (4): 1, 2, 4 3 sim
     
D (8): 1, 2, 4, 8 7 sim
     
D (16): 1, 2, 4, 8, 16 15  
     
D (32): 1, 2, 4, 8, 16, 32 31 sim
     
D (64): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 63  
     
D (128): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 127 sim
     
D (256): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 128, 256 255  
     
D(512): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 128, 256, 512 511  
     
D(1024): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 128, 256, 512, 1024 1023  
     
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Potências de base 2 também são denominadas de números quase-perfeitos e a somas dos seus divisores próprios de números quase-potência de base 2.

Exemplo 1):

Potência 4

D (4): 1, 2, 4

A potência 4 possui 3 divisores.

A soma dos divisores próprios, exceto o próprio 4, é 3.

3 é 1 unidade menor que a potência 4.

4 é um número quase-perfeito.

3 é um número quase-potência de base 2.

Exemplo 2):

Potência 8

D (8): 1, 2, 4, 8

A potência 8 possui 4 divisores.

A soma dos divisores próprios, exceto o próprio 8, é 7.

7 é 1 unidade menor que a potência 4.

4 é um número quase-perfeito.

7 é um número quase-potência de base 2.

A sequência da soma dos divisores próprios de potências de base 2 é formada por números ímpares e entre eles números primos: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127,...

Euclides em Os Elementos, Livro IX, demonstra que duplicando-se a unidade (número 1) até que se encontre um número primo, e este primo multiplicado pela última soma, então o produto é um número perfeito.

A sequência a que Euclides se refere em Os Elementos, são as potências de base 2.

Em notação moderna, a fórmula para se tentar obter número perfeito é:

2n-1 x (2n - 1)

Na prática, uma potência de base 2 multiplicada por uma potência sucessora 1 unidade menor e que seja um número primo (um número quase-potência de base 2), então o produto é um número perfeito.

Número perfeito 6

Aplicando a Fórmula para n = 2:

2n-1 x (2n - 1) =

22-1 x (22 - 1) =

21 x (4 - 1) =

2 x 3 = 6

6 é um número perfeito.

Número perfeito 28

Aplicando a Fórmula para n = 3:

2n-1 x (2n - 1) =

23-1 x (23 - 1) =

22 x (8 - 1) =

4 x 7 = 28

28 é um número perfeito.

Número perfeito 496

Aplicando a Fórmula para n = 5:

2n-1 x (2n - 1) =

25-1 x (25 - 1) =

24 x (32 - 1) =

16 x 31 = 496

496 é um número perfeito.

Número perfeito 8128

Aplicando a Fórmula para n = 7:

2n-1 x (2n - 1) =

27-1 x (27 - 1) =

26 x (128 - 1) =

64 x 127 = 8.128

8.128 é um número perfeito.

Potências de base 2 no Triângulo de Múltiplos de Números Ímpares

Como apresentado acima, a fórmula para se obter números perfeitos geram duplas de números cujo primeiro termo é uma potência de base e o segundo termo um número quase-potência de base 2.

No Triângulo de Múltiplos de Números Ímpares, as potências de base 2 e os números quase-potência de base 2 aparecem na mesma linha.

As potências de base 2 aparecem no início da linha e os números quase-potência de base 2 no final da linha (células amarela).

triângulo de múltiplos de números ímpares e potências de base 2

Autor: Ricardo Silva - junho/2022

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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