Número quadrado perfeito é um número inteiro que é produto de um número por ele mesmo, isto é, um número elevado a segunda potência, ao quadrado e que extraído a sua raiz quadrada, o resultado também é um número inteiro.
O presente estudo demonstra um novo método de obtenção de soma de números quadrados perfeitos consecutivos por meio da Tabuada de Números Triangulares.
Números quadrados, entre outros métodos, podem ser obtidos por meio:
a) de multiplicação;
b) de potenciação;
c) da soma de números ímpares consecutivos;
d) da soma de dois números triangulares consecutivos;
e) de produtos notáveis.
Veja abaixo, matérias relacionadas para mais informações..
A soma de números quadrados perfeitos consecutivos, entre outros métodos, podem ser obtidos por meio das seguintes fórmulas:
| n (n+1) . (2n+1) |
| ___________ |
| 6 |
| n3 | n2 | n | ||
| ___ | + | ___ | + | __ |
| 3 | 2 | 6 |
Veja abaixo, matérias relacionadas para mais informações.
Construindo uma tabela e dispondo na primeira linha a sequência de números naturais e na primeira coluna a sequência de números ímpares e posteriormente múltiplicando-se os números, os produtos obtidos na diagonal principal e adjacente têm como resultados números triangulares.
Na diagonal principal (cor verde), tem-se a sequência de números triangulares de ordens/ posições ímpares: (1, 6, 15, 28, 45, 66,...).
Na diagonal adjacente (cor laranja), tem-se a sequência de números triangulares de ordens/ posições pares: (3, 10, 21, 36, 55, 78,...).
| Tabuada de | ||||||||||
| Números triangulares | ||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 |
| 13 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 |
| 15 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 150 |
| 17 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 170 |
| 19 | 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 | 190 |
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Desconsiderando a primeira linha e a primeira coluna da Tabuada de Números Triangulares e somando os números em sentido da diagonal secundária (cor lilás), obtem-se a soma de números quadrados perfeitos consecutivos: (1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285,...).
| Tabuada de | ||||||||||
| Números triangulares | ||||||||||
| e | ||||||||||
| soma de números | ||||||||||
| quadrados perfeitos consecutivos | ||||||||||
| 1 | 5 | 14 | 30 | 55 | 91 | 140 | 204 | 285 | ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 1 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 14 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 30 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 55 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 |
| 91 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 |
| 140 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 150 |
| 204 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 170 |
| 285 | 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 | 190 |
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Observe que a soma dos números nas diagonais secundárias (cor lilás) podem ser realizadas da lateral esquerda para o topo ou do topo para a lateral esquerda da tabela.
Exemplos de somas realizadas do topo para a lateral esquerda:
1
2 + 3 = 5
3 + 6 + 9 = 14
4 + 9 + 10 + 7 = 30
5 + 12 + 15 + 14 + 9 = 55
Interessante observar que as somas do topo para a lateral esquerda possibilitam dispor os números da Tabuada de Números Triangulares em colunas formando "degraus de uma escada" com os múltiplos de números ímpares.
| Triângulo de | |||||||||||
| múltiplos ímpares | |||||||||||
| e | |||||||||||
| soma de números | |||||||||||
| quadrados perfeitos | |||||||||||
| números | Múltiplos de | ||||||||||
| naturais | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | soma | |
| de | |||||||||||
| quadrados | |||||||||||
| 1 | = | 1 | |||||||||
| 2 | 3 | = | 5 | ||||||||
| 3 | 6 | 5 | = | 14 | |||||||
| 4 | 9 | 10 | 7 | = | 30 | ||||||
| 5 | 12 | 15 | 14 | 9 | = | 55 | |||||
| 6 | 15 | 20 | 21 | 18 | 11 | = | 91 | ||||
| 7 | 18 | 25 | 28 | 27 | 22 | 13 | = | 140 | |||
| 8 | 21 | 30 | 35 | 36 | 33 | 26 | 15 | = | 204 | ||
| 9 | 24 | 35 | 42 | 45 | 44 | 39 | 30 | 17 | = | 285 | |
| 10 | 27 | 40 | 49 | 54 | 55 | 52 | 45 | 34 | 19 | = | 385 |
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A partir da tabela acima, podemos formar expressões numéricas de cada uma das linhas cujas somas têm como resultados a soma de números quadrados perfeitos consecutivos.
(1 x 1) = 1
(2 x 1) + (3 x 1) = 5
(3 x 1) + (3 x 2) + (5 x 1) = 14
(4 x 1) + (3 x 3) + (5 x 2) + (7 x 1) = 30
(5 x 1) + (3 x 4) + (5 x 3) + (7 x 2) + (9 x 1)= 55
Autor: Ricardo Silva - junho /2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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