Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Múltiplos de 6 e números primos e quadri-primos - 461

O presente estudo demonstra regularidades numéricas entre números múltiplos de 6 com números retangulares / oblongos, bem como, com números primos, números primos gêmeos e números quadri-primos (duas duplas de primos gêmeos).

O número 6 possui as seguintes características:

a) é o primeiro número semi-primo, isto é, que é produto de 2 números primos distintos: 2 x 3 = 6;

b) a quantidade de seus divisores é 4, um número quadrado perfeito;

c) a quantidade de divisores de suas potências são em quantidades de números quadrados perfeitos;

d) é um número perfeito, pois a soma de seus divisores próprios é também 6: 1 + 2 + 3 = 6;

e) com os divisores de suas potências são possíveis de se contruirem quadrados mágicos multimágicos, isto é, quadrados em que os divisores são elevados ao quadrado, ao cubo, à quarta potência e assim sucessivamente.

Múltiplos de 6 e números ímpares

Múltiplos de 6 menos 1 unidade têm como diferenças números ímpares e, entre eles, ocorrências de números primos.

Múltiplos de 6 mais 1 unidade têm como somas números ímpares e, entre eles, ocorrências de números primos.

Nas diferenças e nas somas não há múltiplos de 3, 6 e de 9.

Interessante notar que nas diferenças e nas somas há múltiplos de 5.

Múltiplos de 2 e números ímpares

Diferentemente, Múltiplos de 2 menos 1 unidade ou mais 1 unidade, têm como resultado a sequência de números ímpares.

Nas diferenças e nas somas há múltiplos de 3 e de 9.

Interessante notar que nas diferenças e nas somas há múltiplos de 5.

Múltiplos de 6 e números retangulares / oblongos

Números retangulares / oblongos são números que são produtos de dois números consecutivos.

Determinados números retangulares / oblongos que também são múltiplos de 6 têm como números adjacentes: números primos gêmeos.

Determinados números retangulares que são produtos de números que não são múltiplos / divisores de 6 não aparecem na tabela.

Exemplos:

2 x 3 = 6

3 x 4 = 12

5 x 6 = 30

6 x 7 = 42

7 x 8 = 56 (não aparece na tabela)

8 x 9 = 72

9 x 10 = 90

10 x 11 = 110 (não aparece na tabela)

11 x 12 = 132

Múltiplos de 6 e números quadri-primos (gêmeos)

Números quadri-primos são sequências de 4 números primos formadas por 2 duplas consecutivas de primos gêmeos.

Entre os primeiros 20.000 números naturais, há 13 duplas de números quadri-primos.

Interessante observar que os números quadri-primos estão:

a) intermediados por múltiplos de 6 terminados em 2 e 8;

b) os demais grupos têm ordens / posições cujos números terminam em 2 e 3 e 7 e 8;

c) a soma dos dois números das ordens / posições de duas duplas de primos gêmeos terminan em 5.

Exemplos:

2 + 3 = 5

17 + 18 = 35

Primeiro grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

2 + 3 = 5

soma dos múltiplos de 6

12 + 18 = 30

produto de 5 por 6

5 x 6 = 30 (retangular - produto de 5 x 6)

30 : 2 = 15 (triangular)

Segundo grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

17 + 18 = 35

soma dos múltiplos de 6

102 + 108 = 210

produto de 35 por 6

35 x 6 = 210 (retagular - produto também de 14 x 15)

210 : 2 = 105 (triangular)

Terceiro grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

137 + 138 = 275

soma dos múltiplos de 6

822 + 828 = 1650

produto de 35 por 6

275 x 6 = 1650

Quarto grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

247 + 248 = 495

soma dos múltiplos de 6

1482 + 1488 = 2970

produto de 495 por 6

495 x 6 = 2970 (retangular - produto também de 54 x 55)

2970 : 2 = 1485 (triangular)

Quinto grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

312 + 313 = 625

soma dos múltiplos de 6

1872 + 1878 = 3750

produto de 625 por 6

625 x 6 = 3750

Sexto grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

347 + 348 = 695

soma dos múltiplos de 6

2082 + 2088 = 4170

produto de 695 por 6

695 x 6 = 4170

Sétimo grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

2167 + 2168 = 4335

soma dos múltiplos de 6

13002 + 13008 = 26010

produto de 4335 por 6

4335 x 6 = 26010

Oitavo grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

2607 + 2608 = 5215

soma dos múltiplos de 6

15642 + 15648 = 31290

produto de 5215 por 6

5215 x 6 = 31290

Nono grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

2622 + 2623 = 5245

soma dos múltiplos de 6

15732 + 15738 = 31470

produto de 5245 por 6

5245 x 6 = 31470

Décimo grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

2677 + 2678 = 5355

soma dos múltiplos de 6

16062 + 16068 = 32130

produto de 5355 por 6

5355 x 6 = 32130

Décimo primeiro grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

3007 + 3008 = 6015

soma dos múltiplos de 6

18042 + 18048 = 36090

produto de 6015 por 6

6015 x 6 = 36090

Décimo segundo grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

3152 + 3153 = 6305

soma dos múltiplos de 6

18912 + 18918 = 36090

produto de 6305 por 6

6015 x 6 = 36090

Décimo terceiro grupo de quadri-primos

soma das ordens / posições

3237 + 3238 = 6475

soma dos múltiplos de 6

19422 + 19428 = 38850

produto de 6475 por 6

6015 x 6 = 38850

Múltiplos de 6 e números primos

A tabela a seguir apresenta os 50 primeiros múltiplos de 6, bem como, números ímpares que diferem em 1 unidade em relação aos próprios múltiplos de 6 e, entre eles, números primos.

Números primos (células amarelas).

Números retangulares (células laranjas).

Autor: Ricardo Silva - agosto/2023

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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