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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números retangulares e números primos - 323

Números retangulares, também denominados de números oblongos ou figurados, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de retângulos.

Neste estudo são apresentados regularidades numéricas entre números retangulares e números primos, como também entre números retangulares, múltiplos de 5 e números compostos cujos algarismos finais são 1 e 9.

O produto de dois números consecutivos têm como resultados números retangulares.

Exemplos:

1 x 2 = 2

2 x 3 = 6

3 x 4 = 12

Número retangular dividido por 2 tem como resultado um número triangular.

Exemplos:

2 : 2 = 1

6 : 2 = 3

12 : 2 = 6

Números retangulares formados por arranjos de pontos têm em suas construções 2 triângulos figurados.

Veja mais detalhes na matéria: 011-estudos-291-numeros-retangulares-sequencias-numericas

números triangulares (oblongos)

Números retangulares subtraídos de 1 unidade

A tabela seguir apresenta os 100 primeiros números retangulares.

Números retangulares quando subtraídos de 1 unidade apresentam regularidades numéricas relacionadas a números primos, múltiplos de 5 e a outros números compostos de algarismos finais 1 e 9.

a) números retangulares subtraídos de 1 unidades têm como resultados números ímpares (coluna diferença).

b) na coluna diferença, entre os números ímpares há ocorrências de quase 50% de números primos;

c) a partir da posição/ordem 2, a cada 5 números há um múltiplo de 5: 5, 55, 155, 305,...

d) a maioria dos números compostos possuem 2 fatores primos cujos algarismos finais são 1 e 9.

e) 3 números compostos possuem 3 fatores primos cujos algarismos finais são 1 e 9.

Números Retangulares
e números primos
     
  Número  
ordem/ retangular Diferença
posição                
                 
1 1 x 2 = 2 = 1  
2 2 x 3 = 6 = 5 primo
3 3 x 4 = 12 = 11 primo
4 4 x 5 = 20 = 19 primo
5 5 x 6 = 30 = 29 primo
6 6 x 7 = 42 = 41 primo
7 7 x 8 = 56 = 55
8 8 x 9 = 72 = 71 primo
9 9 x 10 = 90 = 89 primo
10 10 x 11 = 110 = 109 primo
11 11 x 12 = 132 = 131 primo
12 12 x 13 = 156 = 155
13 13 x 14 = 182 = 181 primo
14 14 x 15 = 210 = 209 11x19
15 15 x 16 = 240 = 239 primo
16 16 x 17 = 272 = 271 primo
17 17 x 18 = 306 = 305
18 18 x 19 = 342 = 341 11x31
19 19 x 20 = 380 = 379 primo
20 20 x 21 = 420 = 419 primo
21 21 x 22 = 462 = 461 primo
22 22 x 23 = 506 = 505
23 23 x 24 = 552 = 551 19x19
24 24 x 25 = 600 = 599 primo
25 25 x 26 = 650 = 649 11x59
26 26 x 27 = 702 = 701 primo
27 27 x 28 = 756 = 755
28 28 x 29 = 812 = 811 primo
29 29 x 30 = 870 = 869 11x79
30 30 x 31 = 930 = 929 primo
31 31 x 32 = 992 = 991 primo
32 32 x 33 = 1056 = 1055
33 33 x 34 = 1122 = 1121 19x59
34 34 x 35 = 1190 = 1189 29x41
35 35 x 36 = 1260 = 1259 primo
36 36 x 37 = 1332 = 1331 11x11x11
37 37 x 38 = 1406 = 1405
38 38 x 39 = 1482 = 1481 primo
39 39 x 40 = 1560 = 1559 primo
40 40 x 41 = 1640 = 1639 11x49
41 41 x 42 = 1722 = 1721 primo
42 42 x 43 = 1806 = 1805
43 43 x 44 = 1892 = 1891 31x61
44 44 x 45 = 1980 = 1979 primo
45 45 x 46 = 2070 = 2069 primo
46 46 x 47 = 2162 = 2161 primo
47 47 x 48 = 2256 = 2255
48 48 x 49 = 2352 = 2351 primo
49 49 x 50 = 2450 = 2449 31x379
50 50 x 51 = 2550 = 2549 primo
51 51 x 52 = 2652 = 2651 11x241
52 52 x 53 = 2756 = 2755
53 53 x 54 = 2862 = 2861 primo
54 54 x 55 = 2970 = 2969 primo
55 55 x 56 = 3080 = 3079 primo
56 56 x 57 = 3192 = 3191 primo
57 57 x 58 = 3306 = 3305
58 58 x 59 = 3422 = 3421 11x311
59 59 x 60 = 3540 = 3539 primo
60 60 x 61 = 3660 = 3659 primo
61 61 x 62 = 3782 = 3781 19x199
62 62 x 63 = 3906 = 3905
63 63 x 64 = 4032 = 4031 29x139
64 64 x 65 = 4160 = 4159 primo
65 65 x 66 = 4290 = 4289 primo
66 66 x 67 = 4422 = 4421 primo
67 67 x 68 = 4556 = 4555
68 68 x 69 = 4692 = 4691 primo
69 69 x 70 = 4830 = 4829 11x439
70 70 x 71 = 4970 = 4969 primo
71 71 x 72 = 5112 = 5111 19x269
72 72 x 73 = 5256 = 5255
73 73 x 74 = 5402 = 5401 11x491
74 74 x 75 = 5550 = 5549 31x179
75 75 x 76 = 5700 = 5699 41x139
76 76 x 77 = 5852 = 5851 primo
77 77 x 78 = 6006 = 6005
78 78 x 79 = 6162 = 6161 11x491
79 79 x 80 = 6320 = 6319 71x89
80 80 x 81 = 6480 = 6479 11x19x31
81 81 x 82 = 6642 = 6641 29x229
82 82 x 83 = 6806 = 6805
83 83 x 84 = 6972 = 6971 primo
84 84 x 85 = 7140 = 7139 11x11x59
85 85 x 86 = 7310 = 7309 primo
86 86 x 87 = 7482 = 7481 primo
87 87 x 88 = 7656 = 7655
88 88 x 89 = 7832 = 7831 41x191
89 89 x 90 = 8010 = 8009 primo
90 90 x 91 = 8190 = 8189 19x431
91 91 x 92 = 8372 = 8371 11x761
92 92 x 93 = 8556 = 8555
93 93 x 94 = 8742 = 8741 primo
94 94 x 95 = 8930 = 8929 primo
95 95 x 96 = 9120 = 9119 11x829
96 96 x 97 = 9312 = 9311 primo
97 97 x 98 = 9506 = 9505
98 98 x 99 = 9702 = 9701 89x109
99 99 x 100 = 9900 = 9899 19x521
100 100   101   10100 - 10099 primo
               
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Números retangulares e múltiplos de 5

Números retangulares quando subtraídos de 1 unidade têm como resultados números ímpares e entre eles múltiplos de 5.

A partir da posição/ordem 2, a cada 5 números, há um múltiplo de 5: 5, 55, 155, 305, 505, etc.

Os múltiplos de 5 gerados da diferença de número retangular e 1 unidade quando divididos por 5 apresentam como quocientes números ímpares terminados em 1 e entre eles números primos.

Dos 20 múltiplos de 5, 14, apresentados na tabela abaixo, geraram números primos de finais 1: 11, 31, 61, 101, 151, etc.

Números Retangulares
e múltiplos de 5
     
ordem/ Número  
posição retangular Diferença
               
1 2 1          
2 6 5 : 5 = 1  
3 12 11          
4 20 19          
5 30 29          
6 42 41          
7 56 55 : 5 = 11 primo
8 72 71          
9 90 89          
10 110 109          
11 132 131          
12 156 155 : 5 = 31 primo
13 182 181          
14 210 209
15 240 239          
16 272 271          
17 306 305 : 5 = 61 primo
18 342 341
19 380 379          
20 420 419          
21 462 461          
22 506 505 : 5 = 101 primo
23 552 551
24 600 599
25 650 649
26 702 701          
27 756 755 : 5 = 151 primo
28 812 811          
29 870 869
30 930 929          
31 992 991          
32 1056 1055 : 5 = 211 primo
33 1122 1121
34 1190 1189
35 1260 1259          
36 1332 1331
37 1406 1405 : 5 = 281 primo
38 1482 1481          
39 1560 1559          
40 1640 1639
41 1722 1721          
42 1806 1805 : 5 = 361
43 1892 1891
44 1980 1979          
45 2070 2069          
46 2162 2161          
47 2256 2255 : 5 = 451
48 2352 2351          
49 2450 2449
50 2550 2549          
51 2652 2651
52 2756 2755 : 5 = 551
53 2862 2861          
54 2970 2969          
55 3080 3079          
56 3192 3191          
57 3306 3305 : 5 = 661 primo
58 3422 3421
59 3540 3539          
60 3660 3659          
61 3782 3781
62 3906 3905 : 5 = 781
63 4032 4031
64 4160 4159          
65 4290 4289          
66 4422 4421          
67 4556 4555 : 5 = 911 primo
68 4692 4691          
69 4830 4829
70 4970 4969          
71 5112 5111
72 5256 5255 : 5 = 1051 primo
73 5402 5401
74 5550 5549
75 5700 5699
76 5852 5851          
77 6006 6005 : 5 = 1201 primo
78 6162 6161
79 6320 6319
80 6480 6479
81 6642 6641
82 6806 6805 : 5 = 1361 primo
83 6972 6971          
84 7140 7139
85 7310 7309          
86 7482 7481          
87 7656 7655 : 5 = 1531 primo
88 7832 7831
89 8010 8009          
90 8190 8189
91 8372 8371
92 8556 8555 : 5 = 1711
93 8742 8741          
94 8930 8929          
95 9120 9119
96 9312 9311          
97 9506 9505 : 5 = 1901 primo
98 9702 9701
99 9900 9899
100 10100 10099          
     
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Números retangulares e múltiplos de 5 de finais 0 (zero)

Os números primos de final 1: 11, 31, 61, 101, 151, etc. apresentam um padrão em suas formações, são múltiplos de 5 somados de 1 unidade e que também podem ser gerados através do produto de um número retangular por 5 somados de 1 unidade.

A tabela a seguir apresenta os 100 primeiros múltiplos de 5 gerados por números retangulares e 5 cujos algarismos finais são 0 (zeros).

Múltiplos de 5 de final 0 (zero) somados de 1 unidade têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.

Dos 100 números, 49 são números primos.

Os números compostos apresentam em sua maioria 2 fatores primos formados por número primos de finais 1 e 9.

6 números compostos apresentam em sua formações 3 fatores primos também de finais 1 e 9.

Múltiplos de 5
de finais 0
                     
  Número       Múltiplo          
  retangular       de 5       soma  
                     
1 2 x 5 = 10 + 1 = 11 primo
2 6 x 5 = 30 + 1 = 31 primo
3 12 x 5 = 60 + 1 = 61 primo
4 20 x 5 = 100 + 1 = 101 primo
5 30 x 5 = 150 + 1 = 151 primo
6 42 x 5 = 210 + 1 = 211 primo
7 56 x 5 = 280 + 1 = 281 primo
8 72 x 5 = 360 + 1 = 361 19x19
9 90 x 5 = 450 + 1 = 451 11x41
10 110 x 5 = 550 + 1 = 551 19x29
11 132 x 5 = 660 + 1 = 661 primo
12 156 x 5 = 780 + 1 = 781 11x71
13 182 x 5 = 910 + 1 = 911 primo
14 210 x 5 = 1050 + 1 = 1051 primo
15 240 x 5 = 1200 + 1 = 1201 primo
16 272 x 5 = 1360 + 1 = 1361 primo
17 306 x 5 = 1530 + 1 = 1531 primo
18 342 x 5 = 1710 + 1 = 1711 29x59
19 380 x 5 = 1900 + 1 = 1901 primo
20 420 x 5 = 2100 + 1 = 2101 11x191
21 462 x 5 = 2310 + 1 = 2311 primo
22 506 x 5 = 2530 + 1 = 2531 primo
23 552 x 5 = 2760 + 1 = 2761 11x251
24 600 x 5 = 3000 + 1 = 3001 primo
25 650 x 5 = 3250 + 1 = 3251 primo
26 702 x 5 = 3510 + 1 = 3511 primo
27 756 x 5 = 3780 + 1 = 3781 19x199
28 812 x 5 = 4060 + 1 = 4061 31x131
29 870 x 5 = 4350 + 1 = 4351 19x229
30 930 x 5 = 4650 + 1 = 4651 primo
31 992 x 5 = 4960 + 1 = 4961 11x11x41
32 1056 x 5 = 5280 + 1 = 5281 primo
33 1122 x 5 = 5610 + 1 = 5611 31x181
34 1190 x 5 = 5950 + 1 = 5951 11x541
35 1260 x 5 = 6300 + 1 = 6301 primo
36 1332 x 5 = 6660 + 1 = 6661 primo
37 1406 x 5 = 7030 + 1 = 7031 79x89
38 1482 x 5 = 7410 + 1 = 7411 primo
39 1560 x 5 = 7800 + 1 = 7801 29x269
40 1640 x 5 = 8200 + 1 = 8201 59x139
41 1722 x 5 = 8610 + 1 = 8611 79x109
42 1806 x 5 = 9030 + 1 = 9031 11x821
43 1892 x 5 = 9460 + 1 = 9461 primo
44 1980 x 5 = 9900 + 1 = 9901 primo
45 2070 x 5 = 10350 + 1 = 10351 11x941
46 2162 x 5 = 10810 + 1 = 10811 19x569
47 2256 x 5 = 11280 + 1 = 11281 29x389
48 2352 x 5 = 11760 + 1 = 11761 19x619
49 2450 x 5 = 12250 + 1 = 12251 primo
50 2550 x 5 = 12750 + 1 = 12751 41x311
51 2652 x 5 = 13260 + 1 = 13261 89x149
52 2756 x 5 = 13780 + 1 = 13781 primo
53 2862 x 5 = 14310 + 1 = 14311 11x1301
54 2970 x 5 = 14850 + 1 = 14851 primo
55 3080 x 5 = 15400 + 1 = 15401 primo
56 3192 x 5 = 15960 + 1 = 15961 11x1451
57 3306 x 5 = 16530 + 1 = 16531 61x271
58 3422 x 5 = 17110 + 1 = 17111 71x241
59 3540 x 5 = 17700 + 1 = 17701 31x571
60 3660 x 5 = 18300 + 1 = 18301 primo
61 3782 x 5 = 18910 + 1 = 18911 primo
62 3906 x 5 = 19530 + 1 = 19531 primo
63 4032 x 5 = 20160 + 1 = 20161 primo
64 4160 x 5 = 20800 + 1 = 20801 11x31x61
65 4290 x 5 = 21450 + 1 = 21451 19x1129
66 4422 x 5 = 22110 + 1 = 22111 primo
67 4556 x 5 = 22780 + 1 = 22781 11x19x109
68 4692 x 5 = 23460 + 1 = 23461 29x809
69 4830 x 5 = 24150 + 1 = 24151 primo
70 4970 x 5 = 24850 + 1 = 24851 primo
71 5112 x 5 = 25560 + 1 = 25561 primo
72 5256 x 5 = 26280 + 1 = 26281 41x641
73 5402 x 5 = 27010 + 1 = 27011 primo
74 5550 x 5 = 27750 + 1 = 27751 primo
75 5700 x 5 = 28500 + 1 = 28501 11x2591
76 5852 x 5 = 29260 + 1 = 29261 29x1009
77 6006 x 5 = 30030 + 1 = 30031 59x509
78 6162 x 5 = 30810 + 1 = 30811 11x2801
79 6320 x 5 = 31600 + 1 = 31601 primo
80 6480 x 5 = 32400 + 1 = 32401 primo
81 6642 x 5 = 33210 + 1 = 33211 primo
82 6806 x 5 = 34030 + 1 = 34031 primo
83 6972 x 5 = 34860 + 1 = 34861 71x491
84 7140 x 5 = 35700 + 1 = 35701 19x1879
85 7310 x 5 = 36550 + 1 = 36551 primo
86 7482 x 5 = 37410 + 1 = 37411 11x19x179
87 7656 x 5 = 38280 + 1 = 38281 primo
88 7832 x 5 = 39160 + 1 = 39161 primo
89 8010 x 5 = 40050 + 1 = 40051 11x11x331
90 8190 x 5 = 40950 + 1 = 40951 31x1321
91 8372 x 5 = 41860 + 1 = 41861 41x1021
92 8556 x 5 = 42780 + 1 = 42781 179x239
93 8742 x 5 = 43710 + 1 = 43711 primo
94 8930 x 5 = 44650 + 1 = 44651 primo
95 9120 x 5 = 45600 + 1 = 45601 31x1471
96 9312 x 5 = 46560 + 1 = 46561 101x461
97 9506 x 5 = 47530 + 1 = 47531 11x29x149
98 9702 x 5 = 48510 + 1 = 48511 139x349
99 9900 x 5 = 49500 + 1 = 49501 59x839
100 10100 x 5 = 50500 + 1 50501 11x4591
                   
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Observação: os números primos deste estudo com mais de 3 algarismos bem como os números compostos foram verificados no WebSite: Impérios dos Números

 

Autor: Ricardo Silva - março/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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