capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números retangulares e números primos - 323

Números retangulares, também denominados de números oblongos ou figurados, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de retângulos.

Neste estudo são apresentados regularidades numéricas entre números retangulares e números primos, como também, entre números retangulares, múltiplos de 5 e números compostos cujos algarismos finais são 1 e 9.

O produto de dois números consecutivos têm como resultados números retangulares.

Exemplos:

1 x 2 = 2

2 x 3 = 6

3 x 4 = 12

Número retangular dividido por 2 tem como resultado um número triangular.

Exemplos:

2 : 2 = 1

6 : 2 = 3

12 : 2 = 6

Números retangulares formados por arranjos de pontos têm em suas construções 2 triângulos figurados.

Veja mais detalhes na matéria:

011-estudos-291-numeros-retangulares-sequencias-numericas

Números retangulares subtraídos 1 unidade

A tabela seguir apresenta os 100 primeiros números retangulares.

Números retangulares quando subtraídos 1 unidade apresentam regularidades numéricas relacionadas a números primos, múltiplos de 5 e a outros números compostos de algarismos finais 1 e 9.

a) números retangulares subtraídos 1 unidades têm como resultados números ímpares (coluna diferença);

b) na coluna diferença, entre os números ímpares há ocorrências de quase 50% de números primos;

c) a partir da ordem / posição 2, a cada 5 números há um múltiplo de 5: 5, 55, 155, 305, ...;

d) a maioria dos números compostos possuem 2 fatores primos cujos algarismos finais são 1 e 9;

e) 3 números compostos possuem 3 fatores primos cujos algarismos finais são 1 e 9.

Números Retangulares
e números primos

					Número
ordem/					retangular		Diferença
posição

1	1	x	2	=	2	=	1
2	2	x	3	=	6	=	5	primo
3	3	x	4	=	12	=	11	primo
4	4	x	5	=	20	=	19	primo
5	5	x	6	=	30	=	29	primo
6	6	x	7	=	42	=	41	primo
7	7	x	8	=	56	=	55
8	8	x	9	=	72	=	71	primo
9	9	x	10	=	90	=	89	primo
10	10	x	11	=	110	=	109	primo
11	11	x	12	=	132	=	131	primo
12	12	x	13	=	156	=	155
13	13	x	14	=	182	=	181	primo
14	14	x	15	=	210	=	209	11x19
15	15	x	16	=	240	=	239	primo
16	16	x	17	=	272	=	271	primo
17	17	x	18	=	306	=	305
18	18	x	19	=	342	=	341	11x31
19	19	x	20	=	380	=	379	primo
20	20	x	21	=	420	=	419	primo
21	21	x	22	=	462	=	461	primo
22	22	x	23	=	506	=	505
23	23	x	24	=	552	=	551	19x19
24	24	x	25	=	600	=	599	primo
25	25	x	26	=	650	=	649	11x59
26	26	x	27	=	702	=	701	primo
27	27	x	28	=	756	=	755
28	28	x	29	=	812	=	811	primo
29	29	x	30	=	870	=	869	11x79
30	30	x	31	=	930	=	929	primo
31	31	x	32	=	992	=	991	primo
32	32	x	33	=	1056	=	1055
33	33	x	34	=	1122	=	1121	19x59
34	34	x	35	=	1190	=	1189	29x41
35	35	x	36	=	1260	=	1259	primo
36	36	x	37	=	1332	=	1331	11x11x11
37	37	x	38	=	1406	=	1405
38	38	x	39	=	1482	=	1481	primo
39	39	x	40	=	1560	=	1559	primo
40	40	x	41	=	1640	=	1639	11x49
41	41	x	42	=	1722	=	1721	primo
42	42	x	43	=	1806	=	1805
43	43	x	44	=	1892	=	1891	31x61
44	44	x	45	=	1980	=	1979	primo
45	45	x	46	=	2070	=	2069	primo
46	46	x	47	=	2162	=	2161	primo
47	47	x	48	=	2256	=	2255
48	48	x	49	=	2352	=	2351	primo
49	49	x	50	=	2450	=	2449	31x379
50	50	x	51	=	2550	=	2549	primo
51	51	x	52	=	2652	=	2651	11x241
52	52	x	53	=	2756	=	2755
53	53	x	54	=	2862	=	2861	primo
54	54	x	55	=	2970	=	2969	primo
55	55	x	56	=	3080	=	3079	primo
56	56	x	57	=	3192	=	3191	primo
57	57	x	58	=	3306	=	3305
58	58	x	59	=	3422	=	3421	11x311
59	59	x	60	=	3540	=	3539	primo
60	60	x	61	=	3660	=	3659	primo
61	61	x	62	=	3782	=	3781	19x199
62	62	x	63	=	3906	=	3905
63	63	x	64	=	4032	=	4031	29x139
64	64	x	65	=	4160	=	4159	primo
65	65	x	66	=	4290	=	4289	primo
66	66	x	67	=	4422	=	4421	primo
67	67	x	68	=	4556	=	4555
68	68	x	69	=	4692	=	4691	primo
69	69	x	70	=	4830	=	4829	11x439
70	70	x	71	=	4970	=	4969	primo
71	71	x	72	=	5112	=	5111	19x269
72	72	x	73	=	5256	=	5255
73	73	x	74	=	5402	=	5401	11x491
74	74	x	75	=	5550	=	5549	31x179
75	75	x	76	=	5700	=	5699	41x139
76	76	x	77	=	5852	=	5851	primo
77	77	x	78	=	6006	=	6005
78	78	x	79	=	6162	=	6161	11x491
79	79	x	80	=	6320	=	6319	71x89
80	80	x	81	=	6480	=	6479	11x19x31
81	81	x	82	=	6642	=	6641	29x229
82	82	x	83	=	6806	=	6805
83	83	x	84	=	6972	=	6971	primo
84	84	x	85	=	7140	=	7139	11x11x59
85	85	x	86	=	7310	=	7309	primo
86	86	x	87	=	7482	=	7481	primo
87	87	x	88	=	7656	=	7655
88	88	x	89	=	7832	=	7831	41x191
89	89	x	90	=	8010	=	8009	primo
90	90	x	91	=	8190	=	8189	19x431
91	91	x	92	=	8372	=	8371	11x761
92	92	x	93	=	8556	=	8555
93	93	x	94	=	8742	=	8741	primo
94	94	x	95	=	8930	=	8929	primo
95	95	x	96	=	9120	=	9119	11x829
96	96	x	97	=	9312	=	9311	primo
97	97	x	98	=	9506	=	9505
98	98	x	99	=	9702	=	9701	89x109
99	99	x	100	=	9900	=	9899	19x521
100	100		101		10100	-	10099	primo

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Números retangulares e múltiplos de 5

Números retangulares quando subtraídos 1 unidade têm como resultados números ímpares e entre eles múltiplos de 5.

A partir da ordem / posição 2, a cada 5 números, há um múltiplo de 5: 5, 55, 155, 305, 505, etc.

Os múltiplos de 5 gerados da diferença de número retangular e 1 unidade quando divididos por 5 apresentam como quocientes números ímpares terminados em 1 e entre eles, números primos.

Dos 20 múltiplos de 5, 14 números apresentados na tabela abaixo, geraram números primos de finais 1: 11, 31, 61, 101, 151, etc.

Números Retangulares
e múltiplos de 5

ordem/	Número
posição	retangular	Diferença

1	2	1
2	6	5	:	5	=	1
3	12	11
4	20	19
5	30	29
6	42	41
7	56	55	:	5	=	11	primo
8	72	71
9	90	89
10	110	109
11	132	131
12	156	155	:	5	=	31	primo
13	182	181
14	210	209
15	240	239
16	272	271
17	306	305	:	5	=	61	primo
18	342	341
19	380	379
20	420	419
21	462	461
22	506	505	:	5	=	101	primo
23	552	551
24	600	599
25	650	649
26	702	701
27	756	755	:	5	=	151	primo
28	812	811
29	870	869
30	930	929
31	992	991
32	1056	1055	:	5	=	211	primo
33	1122	1121
34	1190	1189
35	1260	1259
36	1332	1331
37	1406	1405	:	5	=	281	primo
38	1482	1481
39	1560	1559
40	1640	1639
41	1722	1721
42	1806	1805	:	5	=	361
43	1892	1891
44	1980	1979
45	2070	2069
46	2162	2161
47	2256	2255	:	5	=	451
48	2352	2351
49	2450	2449
50	2550	2549
51	2652	2651
52	2756	2755	:	5	=	551
53	2862	2861
54	2970	2969
55	3080	3079
56	3192	3191
57	3306	3305	:	5	=	661	primo
58	3422	3421
59	3540	3539
60	3660	3659
61	3782	3781
62	3906	3905	:	5	=	781
63	4032	4031
64	4160	4159
65	4290	4289
66	4422	4421
67	4556	4555	:	5	=	911	primo
68	4692	4691
69	4830	4829
70	4970	4969
71	5112	5111
72	5256	5255	:	5	=	1051	primo
73	5402	5401
74	5550	5549
75	5700	5699
76	5852	5851
77	6006	6005	:	5	=	1201	primo
78	6162	6161
79	6320	6319
80	6480	6479
81	6642	6641
82	6806	6805	:	5	=	1361	primo
83	6972	6971
84	7140	7139
85	7310	7309
86	7482	7481
87	7656	7655	:	5	=	1531	primo
88	7832	7831
89	8010	8009
90	8190	8189
91	8372	8371
92	8556	8555	:	5	=	1711
93	8742	8741
94	8930	8929
95	9120	9119
96	9312	9311
97	9506	9505	:	5	=	1901	primo
98	9702	9701
99	9900	9899
100	10100	10099

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Números retangulares e múltiplos de 5 de finais 0 (zero)

Os números primos de final 1: 11, 31, 61, 101, 151, etc. apresentam um padrão em suas formações, são múltiplos de 5 somados de 1 unidade e que também podem ser gerados através do produto de um número retangular por 5 somados de 1 unidade.

A tabela a seguir apresenta os 100 primeiros múltiplos de 5 gerados por números retangulares e 5 cujos algarismos finais são 0 (zeros).

Múltiplos de 5 de final 0 (zero) somados de 1 unidade têm como resultados números ímpares e entre eles, números primos.

Dos 100 números, 49 são números primos.

Os números compostos apresentam em sua maioria 2 fatores primos formados por número primos de finais 1 e 9.

6 números compostos apresentam em sua formações 3 fatores primos também de finais 1 e 9.

Múltiplos de 5
de finais 0

	Número				Múltiplo
	retangular				de 5				soma

1	2	x	5	=	10	+	1	=	11	primo
2	6	x	5	=	30	+	1	=	31	primo
3	12	x	5	=	60	+	1	=	61	primo
4	20	x	5	=	100	+	1	=	101	primo
5	30	x	5	=	150	+	1	=	151	primo
6	42	x	5	=	210	+	1	=	211	primo
7	56	x	5	=	280	+	1	=	281	primo
8	72	x	5	=	360	+	1	=	361	19x19
9	90	x	5	=	450	+	1	=	451	11x41
10	110	x	5	=	550	+	1	=	551	19x29
11	132	x	5	=	660	+	1	=	661	primo
12	156	x	5	=	780	+	1	=	781	11x71
13	182	x	5	=	910	+	1	=	911	primo
14	210	x	5	=	1050	+	1	=	1051	primo
15	240	x	5	=	1200	+	1	=	1201	primo
16	272	x	5	=	1360	+	1	=	1361	primo
17	306	x	5	=	1530	+	1	=	1531	primo
18	342	x	5	=	1710	+	1	=	1711	29x59
19	380	x	5	=	1900	+	1	=	1901	primo
20	420	x	5	=	2100	+	1	=	2101	11x191
21	462	x	5	=	2310	+	1	=	2311	primo
22	506	x	5	=	2530	+	1	=	2531	primo
23	552	x	5	=	2760	+	1	=	2761	11x251
24	600	x	5	=	3000	+	1	=	3001	primo
25	650	x	5	=	3250	+	1	=	3251	primo
26	702	x	5	=	3510	+	1	=	3511	primo
27	756	x	5	=	3780	+	1	=	3781	19x199
28	812	x	5	=	4060	+	1	=	4061	31x131
29	870	x	5	=	4350	+	1	=	4351	19x229
30	930	x	5	=	4650	+	1	=	4651	primo
31	992	x	5	=	4960	+	1	=	4961	11x11x41
32	1056	x	5	=	5280	+	1	=	5281	primo
33	1122	x	5	=	5610	+	1	=	5611	31x181
34	1190	x	5	=	5950	+	1	=	5951	11x541
35	1260	x	5	=	6300	+	1	=	6301	primo
36	1332	x	5	=	6660	+	1	=	6661	primo
37	1406	x	5	=	7030	+	1	=	7031	79x89
38	1482	x	5	=	7410	+	1	=	7411	primo
39	1560	x	5	=	7800	+	1	=	7801	29x269
40	1640	x	5	=	8200	+	1	=	8201	59x139
41	1722	x	5	=	8610	+	1	=	8611	79x109
42	1806	x	5	=	9030	+	1	=	9031	11x821
43	1892	x	5	=	9460	+	1	=	9461	primo
44	1980	x	5	=	9900	+	1	=	9901	primo
45	2070	x	5	=	10350	+	1	=	10351	11x941
46	2162	x	5	=	10810	+	1	=	10811	19x569
47	2256	x	5	=	11280	+	1	=	11281	29x389
48	2352	x	5	=	11760	+	1	=	11761	19x619
49	2450	x	5	=	12250	+	1	=	12251	primo
50	2550	x	5	=	12750	+	1	=	12751	41x311
51	2652	x	5	=	13260	+	1	=	13261	89x149
52	2756	x	5	=	13780	+	1	=	13781	primo
53	2862	x	5	=	14310	+	1	=	14311	11x1301
54	2970	x	5	=	14850	+	1	=	14851	primo
55	3080	x	5	=	15400	+	1	=	15401	primo
56	3192	x	5	=	15960	+	1	=	15961	11x1451
57	3306	x	5	=	16530	+	1	=	16531	61x271
58	3422	x	5	=	17110	+	1	=	17111	71x241
59	3540	x	5	=	17700	+	1	=	17701	31x571
60	3660	x	5	=	18300	+	1	=	18301	primo
61	3782	x	5	=	18910	+	1	=	18911	primo
62	3906	x	5	=	19530	+	1	=	19531	primo
63	4032	x	5	=	20160	+	1	=	20161	primo
64	4160	x	5	=	20800	+	1	=	20801	11x31x61
65	4290	x	5	=	21450	+	1	=	21451	19x1129
66	4422	x	5	=	22110	+	1	=	22111	primo
67	4556	x	5	=	22780	+	1	=	22781	11x19x109
68	4692	x	5	=	23460	+	1	=	23461	29x809
69	4830	x	5	=	24150	+	1	=	24151	primo
70	4970	x	5	=	24850	+	1	=	24851	primo
71	5112	x	5	=	25560	+	1	=	25561	primo
72	5256	x	5	=	26280	+	1	=	26281	41x641
73	5402	x	5	=	27010	+	1	=	27011	primo
74	5550	x	5	=	27750	+	1	=	27751	primo
75	5700	x	5	=	28500	+	1	=	28501	11x2591
76	5852	x	5	=	29260	+	1	=	29261	29x1009
77	6006	x	5	=	30030	+	1	=	30031	59x509
78	6162	x	5	=	30810	+	1	=	30811	11x2801
79	6320	x	5	=	31600	+	1	=	31601	primo
80	6480	x	5	=	32400	+	1	=	32401	primo
81	6642	x	5	=	33210	+	1	=	33211	primo
82	6806	x	5	=	34030	+	1	=	34031	primo
83	6972	x	5	=	34860	+	1	=	34861	71x491
84	7140	x	5	=	35700	+	1	=	35701	19x1879
85	7310	x	5	=	36550	+	1	=	36551	primo
86	7482	x	5	=	37410	+	1	=	37411	11x19x179
87	7656	x	5	=	38280	+	1	=	38281	primo
88	7832	x	5	=	39160	+	1	=	39161	primo
89	8010	x	5	=	40050	+	1	=	40051	11x11x331
90	8190	x	5	=	40950	+	1	=	40951	31x1321
91	8372	x	5	=	41860	+	1	=	41861	41x1021
92	8556	x	5	=	42780	+	1	=	42781	179x239
93	8742	x	5	=	43710	+	1	=	43711	primo
94	8930	x	5	=	44650	+	1	=	44651	primo
95	9120	x	5	=	45600	+	1	=	45601	31x1471
96	9312	x	5	=	46560	+	1	=	46561	101x461
97	9506	x	5	=	47530	+	1	=	47531	11x29x149
98	9702	x	5	=	48510	+	1	=	48511	139x349
99	9900	x	5	=	49500	+	1	=	49501	59x839
100	10100	x	5	=	50500	+	1		50501	11x4591

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Observação: os números primos deste estudo com mais de 3 algarismos, bem como, os números compostos foram verificados no WebSite: Impérios dos Números

Autor: Ricardo Silva - março/2021