O presente estudo demonstra regularidades numéricas relacionadas entre múltiplos de 6 com números quadrados perfeitos.
Múltiplos de 6 menos 1 unidade têm como diferenças números ímpares e, entre eles, ocorrências de números primos.
Múltiplos de 6 mais 1 unidade têm como somas números ímpares e, entre eles, ocorrências de números primos e números quadrados perfeitos.
Nas diferenças e nas somas não há múltiplos de 3 e de 9.
A tabela a seguir apresenta os 100 primeiros múltiplos de 6 e em destaques números quadrados perfeitos (células amarelas), bem como, suas respectivas raízes quadradas.
| Múltiplos de 6 | |||||
| e Números Quadrados Perfeitos | |||||
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | quadrada | |
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 1 | 5 | 6 | 7 | ||
| 2 | 11 | 12 | 13 | ||
| 3 | 17 | 18 | 19 | ||
| 4 | 23 | 24 | 25 | 5 | |
| 5 | 29 | 30 | 31 | ||
| 6 | 35 | 36 | 37 | 6 | |
| 7 | 41 | 42 | 43 | ||
| 8 | 47 | 48 | 49 | 7 | |
| 9 | 53 | 54 | 55 | ||
| 10 | 59 | 60 | 61 | ||
| 11 | 65 | 66 | 67 | ||
| 12 | 71 | 72 | 73 | ||
| 13 | 77 | 78 | 79 | ||
| 14 | 83 | 84 | 85 | ||
| 15 | 89 | 90 | 91 | ||
| 16 | 95 | 96 | 97 | ||
| 17 | 101 | 102 | 103 | ||
| 18 | 107 | 108 | 109 | ||
| 19 | 113 | 114 | 115 | ||
| 20 | 119 | 120 | 121 | 11 | |
| 21 | 125 | 126 | 127 | ||
| 22 | 131 | 132 | 133 | ||
| 23 | 137 | 138 | 139 | ||
| 24 | 143 | 144 | 145 | 12 | |
| 25 | 149 | 150 | 151 | ||
| 26 | 155 | 156 | 157 | ||
| 27 | 161 | 162 | 163 | ||
| 28 | 167 | 168 | 169 | 13 | |
| 29 | 173 | 174 | 175 | ||
| 30 | 179 | 180 | 181 | ||
| 31 | 185 | 186 | 187 | ||
| 32 | 191 | 192 | 193 | ||
| 33 | 197 | 198 | 199 | ||
| 34 | 203 | 204 | 205 | ||
| 35 | 209 | 210 | 211 | ||
| 36 | 215 | 216 | 217 | ||
| 37 | 221 | 222 | 223 | ||
| 38 | 227 | 228 | 229 | ||
| 39 | 233 | 234 | 235 | ||
| 40 | 239 | 240 | 241 | ||
| 41 | 245 | 246 | 247 | ||
| 42 | 251 | 252 | 253 | ||
| 43 | 257 | 258 | 259 | ||
| 44 | 263 | 264 | 265 | ||
| 45 | 269 | 270 | 271 | ||
| 46 | 275 | 276 | 277 | ||
| 47 | 281 | 282 | 283 | ||
| 48 | 287 | 288 | 289 | 17 | |
| 49 | 293 | 294 | 295 | ||
| 50 | 299 | 300 | 301 | ||
| 51 | 305 | 306 | 307 | ||
| 52 | 311 | 312 | 313 | ||
| 53 | 317 | 318 | 319 | ||
| 54 | 323 | 324 | 325 | 18 | |
| 55 | 329 | 330 | 331 | ||
| 56 | 335 | 336 | 337 | ||
| 57 | 341 | 342 | 343 | ||
| 58 | 347 | 348 | 349 | ||
| 59 | 353 | 354 | 355 | ||
| 60 | 359 | 360 | 361 | 19 | |
| 61 | 365 | 366 | 367 | ||
| 62 | 371 | 372 | 373 | ||
| 63 | 377 | 378 | 379 | ||
| 64 | 383 | 384 | 385 | ||
| 65 | 389 | 390 | 391 | ||
| 66 | 395 | 396 | 397 | ||
| 67 | 401 | 402 | 403 | ||
| 68 | 407 | 408 | 409 | ||
| 69 | 413 | 414 | 415 | ||
| 70 | 419 | 420 | 421 | ||
| 71 | 425 | 426 | 427 | ||
| 72 | 431 | 432 | 433 | ||
| 73 | 437 | 438 | 439 | ||
| 74 | 443 | 444 | 445 | ||
| 75 | 449 | 450 | 451 | ||
| 76 | 455 | 456 | 457 | ||
| 77 | 461 | 462 | 463 | ||
| 78 | 467 | 468 | 469 | ||
| 79 | 473 | 474 | 475 | ||
| 80 | 479 | 480 | 481 | ||
| 81 | 485 | 486 | 487 | ||
| 82 | 491 | 492 | 493 | ||
| 83 | 497 | 498 | 499 | ||
| 84 | 503 | 504 | 505 | ||
| 85 | 509 | 510 | 511 | ||
| 86 | 515 | 516 | 517 | ||
| 87 | 521 | 522 | 523 | ||
| 88 | 527 | 528 | 529 | 23 | |
| 89 | 533 | 534 | 535 | ||
| 90 | 539 | 540 | 541 | ||
| 91 | 545 | 546 | 547 | ||
| 92 | 551 | 552 | 553 | ||
| 93 | 557 | 558 | 559 | ||
| 94 | 563 | 564 | 565 | ||
| 95 | 569 | 570 | 571 | ||
| 96 | 575 | 576 | 577 | 24 | |
| 97 | 581 | 582 | 583 | ||
| 98 | 587 | 588 | 589 | ||
| 99 | 593 | 594 | 595 | ||
| 100 | 599 | 600 | 601 | ||
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Número 6 multiplicado por múltiplo de 4 terminado em 0, 4 ou 8 e somado de 1 unidade pode gerar número quadrado perfeito ímpar.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | ||
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | |||||
| 4 | 23 | 24 | 25 | 5 | |
| 5 | |||||
| 6 | 35 | 36 | 37 | 6 | |
| 7 | |||||
| 8 | 47 | 48 | 49 | 7 | |
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Número 6 multiplicado por múltiplo de 4 terminado em 2 ou 6 e somado de 1 unidade não gera número quadrado perfeito ímpar.
Não há número quadrado perfeito terminado em 3 e 7.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | ||
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 12 | 71 | 72 | 73 | ||
| 13 | 77 | 78 | 79 | ||
| 14 | 83 | 84 | 85 | ||
| 15 | 89 | 90 | 91 | ||
| 16 | 95 | 96 | 97 | ||
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Números quadrados perfeitos pares múltiplos de 6 estão sempre entre 2 números quadrados perfeitos ímpares.
O número quadrado perfeito 36 está entre os quadrados 25 e 49.
A média aritmética das raízes (5+7) / 2 = 6.
6 é a raiz quadrada de 36.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | ||
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | |||||
| 4 | 23 | 24 | 25 | 5 | |
| 5 | |||||
| 6 | 35 | 36 | 37 | 6 | |
| 7 | |||||
| 8 | 47 | 48 | 49 | 7 | |
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O número quadrado perfeito 144 está entre os quadrados 121 e 169.
A média aritmética das raízes (11+13) / 2 = 12.
12 é a raiz quadrada de 144.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | ||
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 20 | 119 | 120 | 121 | 11 | |
| 21 | 125 | 126 | 127 | ||
| 22 | 131 | 132 | 133 | ||
| 23 | 137 | 138 | 139 | ||
| 24 | 143 | 144 | 145 | 12 | |
| 25 | 149 | 150 | 151 | ||
| 26 | 155 | 156 | 157 | ||
| 27 | 161 | 162 | 163 | ||
| 28 | 167 | 168 | 169 | 13 | |
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Número de ordem / posição (número natural) multiplicado por múltiplo 6 tem como resultado a ordem / posição em que se encontra um número quadrado perfeito múltiplo de 6.
1 x 6 = 6
1 x 6 = 6
O número quadrado 36 se encontra na linha de número 6.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | quadrada | |
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 6 | 35 | 36 | 37 | 6 | |
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2 x 6 = 12
2 x 12 = 24
O número quadrado 144 se encontra na linha de número 24.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | quadrada | |
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 24 | 143 | 144 | 145 | 12 | |
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3 x 6 = 18
3 x 18 = 54
O número quadrado 324 se encontra na linha de número 54.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | quadrada | |
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 54 | 323 | 324 | 325 | 18 | |
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Raiz quadrada subtraída de seu quadrado perfeito tem como resultado um número retangular.
Número quadrado perfeito somado com sua raiz quadrada tem como resultado um número retangular.
Número retangular dividido por 2 tem como resultado número triangular.
Números retangulares originados de números quadrados perfeitos múltiplos de 6 também são múltiplos de 6.
36 - 6 = 30
36 + 6 = 42
Os números retangulares 30 e 42 são múltiplos de 6
30 : 6 = 5
O número retangular 30 se encontra na linha de número 5.
42 : 6 = 7
O número retangular 42 se encontra na linha de número 7.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | quadrada | |
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 5 | 29 | 30 | 31 | ||
| 6 | 35 | 36 | 37 | 6 | |
| 7 | 41 | 42 | 43 | ||
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144 - 12 = 132
144 + 12 = 156
Os números retangulares 132 e 156 são múltiplos de 6
132 : 6 = 22
O número retangular 132 se encontra na linha de número 22.
156 : 6 = 26
O número retangular 156 se encontra na linha de número 26.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | quadrada | |
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 22 | 131 | 132 | 133 | ||
| 23 | 137 | 138 | 139 | ||
| 24 | 143 | 144 | 145 | 12 | |
| 25 | 149 | 150 | 151 | ||
| 26 | 155 | 156 | 157 | ||
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324 - 12 = 306
324 + 12 = 342
Os números retangulares 306 e 324 são múltiplos de 6
306 : 6 = 51
O número retangular 306 se encontra na linha de número 51.
342 : 6 = 57
O número retangular 342 se encontra na linha de número 57.
| menos | múltiplos | mais | raiz | raiz | |
| ordem / | 1 | de | 1 | quadrada | |
| posição | unidade | 6 | unidade | ||
| 51 | 305 | 306 | 307 | ||
| 52 | 311 | 312 | 313 | ||
| 53 | 317 | 318 | 319 | ||
| 54 | 323 | 324 | 325 | 18 | |
| 55 | 329 | 330 | 331 | ||
| 56 | 335 | 336 | 337 | ||
| 57 | 341 | 342 | 343 | ||
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Autor: Ricardo Silva - agosto/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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