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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrado Mágico 81x81 e Raízes Digitais - 490

Estudos divulgados no WebSite:

https://mestredoconhecimento.forumeiros.com /t8-grandes-misterios-da-humanidade -finalmente-desvendados- pelo-alquimista

apresenta um Quadrado Mágico 9x9 Puro convertido em raízes digitais perfeitas e algumas de suas propriedades, datado de 16/02/2017.

Segundo o autor, denominado de o Alquimista, em seus estudos, ele faz a seguinte afirmação:

"Tudo o que será apresentado neste estudo é válido para todos os Quadrados Mágicos Verdadeiros, ou seja, aqueles que seguem todas as propriedades citadas acima."

Testes realizados pelo WebSite Os Fantásticos Números Primos demonstraram que não foram possíveis de se conveterem Quadrados Mágicos: 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 11 x11 em raízes digitais perfeitas e formarem Constante Mágica.

Para mais informações veja, abaixo, matérias relacionadas.

Quadrado Mágico 81x81 e Raízes Digitais

Raiz Digital de um número

A raiz digital de um número são adições sucessivas dos algarismos de um número até se ter como resultado um número de único algarismo.

Exemplo:

123456789

passo 1)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

passo 2)

4 + 5 = 9

9 é a raiz digital do número 123456789

Quadrado Mágico 81x81 e a Constante Mágica 265.761

O presente estudo demonstra a construção parcial de Quadrado Mágico 81x81 por meio do Método Múltiplos em Diagonal, método este, que não necessita de quadrados auxiliares para construção de quadrados mágicos de ordem ímpar.

O Quadrado Mágico 81x81 parcial foi elaborado utilizando-se um (software) aplicativo de desenho vetorial de forma se obter as disposições dos números nas diagonais principal e secundária, da linha e coluna centrais, da primeira e última linha, bem como, da primeira e última coluna.

Cada célula do quadrado mágico têm 1x1cm.

81 x 1cm = 81cm = 0,81m (aproximadamente 90cm), quase um 1m².

Posteriormente, utilizou-se planilha digital para se somar os números das diagonais, linhas e colunas referenciadas acima cujo resultado é a Constante Mágica 265.761.

Interessante observar que:

a) os números das diagonais principal e secundária têm terminações indênticas, com a seguinte ordem: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0;

b) os números da linha horizontal central terminam em 1;

c) os números da linha vertical central terminam na seguinte ordem: 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9 e 1;

d) os números da primeira linha terminam em 1 e 2;

e) os números da última linha terminam em 1 e 0;

f) os números da primeira e última colunas têm terminações indênticas, com a seguinte ordem: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0;

Quadrado Mágico 81x81
e Constante Mágica
           
linha primeira última primeira última
Ordem Diagonal  horizontal vertical linha linha coluna coluna
prin- secun- central central
  cipal dária            
                 
1 3241 41 4881 1641 3241 6521 3241 41
2 3242 122 1601 5003 6522 3160 42 3322
3 3243 203 4801 1723 3161 6441 3323 123
4 3244 284 1521 5085 6442 3080 124 3404
5 3245 365 4721 1805 3081 6361 3405 205
6 3246 446 1441 5167 6362 3000 206 3486
7 3247 527 4641 1887 3001 6281 3487 287
8 3248 608 1361 5249 6282 2920 288 3568
9 3249 689 4561 1969 2921 6201 3569 369
10 3250 770 1281 5331 6202 2840 370 3650
11 3251 851 4481 2051 2841 6121 3651 451
12 3252 932 1201 5413 6122 2760 452 3732
13 3253 1013 4401 2133 2761 6041 3733 533
14 3254 1094 1121 5495 6042 2680 534 3814
15 3255 1175 4321 2215 2681 5961 3815 615
16 3256 1256 1041 5577 5962 2600 616 3896
17 3257 1337 4241 2297 2601 5881 3897 697
18 3258 1418 961 5659 5882 2520 698 3978
19 3259 1499 4161 2379 2521 5801 3979 779
20 3260 1580 881 5741 5802 2440 780 4060
21 3261 1661 4081 2461 2441 5721 4061 861
22 3262 1742 801 5823 5722 2360 862 4142
23 3263 1823 4001 2543 2361 5641 4143 943
24 3264 1904 721 5905 5642 2280 944 4224
25 3265 1985 3921 2625 2281 5561 4225 1025
26 3266 2066 641 5987 5562 2200 1026 4306
27 3267 2147 3841 2707 2201 5481 4307 1107
28 3268 2228 561 6069 5482 2120 1108 4388
29 3269 2309 3761 2789 2121 5401 4389 1189
30 3270 2390 481 6151 5402 2040 1190 4470
31 3271 2471 3681 2871 2041 5321 4471 1271
32 3272 2552 401 6233 5322 1960 1272 4552
33 3273 2633 3601 2953 1961 5241 4553 1353
34 3274 2714 321 6315 5242 1880 1354 4634
35 3275 2795 3521 3035 1881 5161 4635 1435
36 3276 2876 241 6397 5162 1800 1436 4716
37 3277 2957 3441 3117 1801 5081 4717 1517
38 3278 3038 161 6479 5082 1720 1518 4798
39 3279 3119 3361 3199 1721 5001 4799 1599
40 3280 3200 81 6561 5002 1640 1600 4880
41 3281 3281 3281 3281 1641 4921 4881 1681
42 3282 3362 6481 1 4922 1560 1682 4962
43 3283 3443 3201 3363 1561 4841 4963 1763
44 3284 3524 6401 83 4842 1480 1764 5044
45 3285 3605 3121 3445 1481 4761 5045 1845
46 3286 3686 6321 165 4762 1400 1846 5126
47 3287 3767 3041 3527 1401 4681 5127 1927
48 3288 3848 6241 247 4682 1320 1928 5208
49 3289 3929 2961 3609 1321 4601 5209 2009
50 3290 4010 6161 329 4602 1240 2010 5290
51 3291 4091 2881 3691 1241 4521 5291 2091
52 3292 4172 6081 411 4522 1160 2092 5372
53 3293 4253 2801 3773 1161 4441 5373 2173
54 3294 4334 6001 493 4442 1080 2174 5454
55 3295 4415 2721 3855 1081 4361 5455 2255
56 3296 4496 5921 575 4362 1000 2256 5536
57 3297 4577 2641 3937 1001 4281 5537 2337
58 3298 4658 5841 657 4282 920 2338 5618
59 3299 4739 2561 4019 921 4201 5619 2419
60 3300 4820 5761 739 4202 840 2420 5700
61 3301 4901 2481 4101 841 4121 5701 2501
62 3302 4982 5681 821 4122 760 2502 5782
63 3303 5063 2401 4183 761 4041 5783 2583
64 3304 5144 5601 903 4042 680 2584 5864
65 3305 5225 2321 4265 681 3961 5865 2665
66 3306 5306 5521 985 3962 600 2666 5946
67 3307 5387 2241 4347 601 3881 5947 2747
68 3308 5468 5441 1067 3882 520 2748 6028
69 3309 5549 2161 4429 521 3801 6029 2829
70 3310 5630 5361 1149 3802 440 2830 6110
71 3311 5711 2081 4511 441 3721 6111 2911
72 3312 5792 5281 1231 3722 360 2912 6192
73 3313 5873 2001 4593 361 3641 6193 2993
74 3314 5954 5201 1313 3642 280 2994 6274
75 3315 6035 1921 4675 281 3561 6275 3075
76 3316 6116 5121 1395 3562 200 3076 6356
77 3317 6197 1841 4757 201 3481 6357 3157
78 3318 6278 5041 1477 3482 120 3158 6438
79 3319 6359 1761 4839 121 3401 6439 3239
80 3320 6440 4961 1559 3402 40 3240 6520
81 3321 6521 1681 4921 41 3321 6521 3321
               
Constante Mágica
               
Soma 265761 265761 265761 265761 265761 265761 265761 265761
               
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Diagonais e Raízes Digitais

As raízes digitais dos números da Diagonal Principal apresenta sequências de dígitos de 1 a 9.

As raízes digitais dos números da Diagonal Secundária apresenta um único dígito, o 5.

As somas das raízes digitais têm como Constante Mágica o valor 405.

         
Ordem Diagonal Raiz Diagonal Raiz
principal Digital secundaria Digital
         
1 3241 1 41 5
2 3242 2 122 5
3 3243 3 203 5
4 3244 4 284 5
5 3245 5 365 5
6 3246 6 446 5
7 3247 7 527 5
8 3248 8 608 5
9 3249 9 689 5
10 3250 1 770 5
11 3251 2 851 5
12 3252 3 932 5
13 3253 4 1013 5
14 3254 5 1094 5
15 3255 6 1175 5
16 3256 7 1256 5
17 3257 8 1337 5
18 3258 9 1418 5
19 3259 1 1499 5
20 3260 2 1580 5
21 3261 3 1661 5
22 3262 4 1742 5
23 3263 5 1823 5
24 3264 6 1904 5
25 3265 7 1985 5
26 3266 8 2066 5
27 3267 9 2147 5
28 3268 1 2228 5
29 3269 2 2309 5
30 3270 3 2390 5
31 3271 4 2471 5
32 3272 5 2552 5
33 3273 6 2633 5
34 3274 7 2714 5
35 3275 8 2795 5
36 3276 9 2876 5
37 3277 1 2957 5
38 3278 2 3038 5
39 3279 3 3119 5
40 3280 4 3200 5
41 3281 5 3281 5
42 3282 6 3362 5
43 3283 7 3443 5
44 3284 8 3524 5
45 3285 9 3605 5
46 3286 1 3686 5
47 3287 2 3767 5
48 3288 3 3848 5
49 3289 4 3929 5
50 3290 5 4010 5
51 3291 6 4091 5
52 3292 7 4172 5
53 3293 8 4253 5
54 3294 9 4334 5
55 3295 1 4415 5
56 3296 2 4496 5
57 3297 3 4577 5
58 3298 4 4658 5
59 3299 5 4739 5
60 3300 6 4820 5
61 3301 7 4901 5
62 3302 8 4982 5
63 3303 9 5063 5
64 3304 1 5144 5
65 3305 2 5225 5
66 3306 3 5306 5
67 3307 4 5387 5
68 3308 5 5468 5
69 3309 6 5549 5
70 3310 7 5630 5
71 3311 8 5711 5
72 3312 9 5792 5
73 3313 1 5873 5
74 3314 2 5954 5
75 3315 3 6035 5
76 3316 4 6116 5
77 3317 5 6197 5
78 3318 6 6278 5
79 3319 7 6359 5
80 3320 8 6440 5
81 3321 9 6521 5
       
Soma 265761 405 265761 405
       
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Linha e Coluna Centrais e Raízes Digitais

As raízes digitais dos números das Linhas Horizontal e Vertical Centrais têm os mesmos dígitos.

As somas das raízes digitais têm como Constante Mágica o valor 405.

linha  linha 
Ordem  horizontal Raiz vertical Raiz
central Digital central Digital
         
1 4881 3 1641 3
2 1601 8 5003 8
3 4801 4 1723 4
4 1521 9 5085 9
5 4721 5 1805 5
6 1441 1 5167 1
7 4641 6 1887 6
8 1361 2 5249 2
9 4561 7 1969 7
10 1281 3 5331 3
11 4481 8 2051 8
12 1201 4 5413 4
13 4401 9 2133 9
14 1121 5 5495 5
15 4321 1 2215 1
16 1041 6 5577 6
17 4241 2 2297 2
18 961 7 5659 7
19 4161 3 2379 3
20 881 8 5741 8
21 4081 4 2461 4
22 801 9 5823 9
23 4001 5 2543 5
24 721 1 5905 1
25 3921 6 2625 6
26 641 2 5987 2
27 3841 7 2707 7
28 561 3 6069 3
29 3761 8 2789 8
30 481 4 6151 4
31 3681 9 2871 9
32 401 5 6233 5
33 3601 1 2953 1
34 321 6 6315 6
35 3521 2 3035 2
36 241 7 6397 7
37 3441 3 3117 3
38 161 8 6479 8
39 3361 4 3199 4
40 81 9 6561 9
41 3281 5 3281 5
42 6481 1 1 1
43 3201 6 3363 6
44 6401 2 83 2
45 3121 7 3445 7
46 6321 3 165 3
47 3041 8 3527 8
48 6241 4 247 4
49 2961 9 3609 9
50 6161 5 329 5
51 2881 1 3691 1
52 6081 6 411 6
53 2801 2 3773 2
54 6001 7 493 7
55 2721 3 3855 3
56 5921 8 575 8
57 2641 4 3937 4
58 5841 9 657 9
59 2561 5 4019 5
60 5761 1 739 1
61 2481 6 4101 6
62 5681 2 821 2
63 2401 7 4183 7
64 5601 3 903 3
65 2321 8 4265 8
66 5521 4 985 4
67 2241 9 4347 9
68 5441 5 1067 5
69 2161 1 4429 1
70 5361 6 1149 6
71 2081 2 4511 2
72 5281 7 1231 7
73 2001 3 4593 3
74 5201 8 1313 8
75 1921 4 4675 4
76 5121 9 1395 9
77 1841 5 4757 5
78 5041 1 1477 1
79 1761 6 4839 6
80 4961 2 1559 2
81 1681 7 4921 7
       
Soma 265761 405 265761 405
       
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Primeira e Última Linhas e Raízes Digitais

As raízes digitais dos números da Primeira Linha é idêntica à Primeira Coluna.

As raízes digitais dos números da Última Linha é idêntica à Última Coluna.

As somas das raízes digitais têm como Constante Mágica o valor 405.

Veja a próxima tabela.

primeira Raiz última Raiz
Ordem linha Digital linha Digital
         
1 3241 1 6521 5
2 6522 6 3160 1
3 3161 2 6441 6
4 6442 7 3080 2
5 3081 3 6361 7
6 6362 8 3000 3
7 3001 4 6281 8
8 6282 9 2920 4
9 2921 5 6201 9
10 6202 1 2840 5
11 2841 6 6121 1
12 6122 2 2760 6
13 2761 7 6041 2
14 6042 3 2680 7
15 2681 8 5961 3
16 5962 4 2600 8
17 2601 9 5881 4
18 5882 5 2520 9
19 2521 1 5801 5
20 5802 6 2440 1
21 2441 2 5721 6
22 5722 7 2360 2
23 2361 3 5641 7
24 5642 8 2280 3
25 2281 4 5561 8
26 5562 9 2200 4
27 2201 5 5481 9
28 5482 1 2120 5
29 2121 6 5401 1
30 5402 2 2040 6
31 2041 7 5321 2
32 5322 3 1960 7
33 1961 8 5241 3
34 5242 4 1880 8
35 1881 9 5161 4
36 5162 5 1800 9
37 1801 1 5081 5
38 5082 6 1720 1
39 1721 2 5001 6
40 5002 7 1640 2
41 1641 3 4921 7
42 4922 8 1560 3
43 1561 4 4841 8
44 4842 9 1480 4
45 1481 5 4761 9
46 4762 1 1400 5
47 1401 6 4681 1
48 4682 2 1320 6
49 1321 7 4601 2
50 4602 3 1240 7
51 1241 8 4521 3
52 4522 4 1160 8
53 1161 9 4441 4
54 4442 5 1080 9
55 1081 1 4361 5
56 4362 6 1000 1
57 1001 2 4281 6
58 4282 7 920 2
59 921 3 4201 7
60 4202 8 840 3
61 841 4 4121 8
62 4122 9 760 4
63 761 5 4041 9
64 4042 1 680 5
65 681 6 3961 1
66 3962 2 600 6
67 601 7 3881 2
68 3882 3 520 7
69 521 8 3801 3
70 3802 4 440 8
71 441 9 3721 4
72 3722 5 360 9
73 361 1 3641 5
74 3642 6 280 1
75 281 2 3561 6
76 3562 7 200 2
77 201 3 3481 7
78 3482 8 120 3
79 121 4 3401 8
80 3402 9 40 4
81 41 5 3321 9
       
Soma 265761 405 265761 405
       
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Primeira e Última Colunas e Raízes Digitais

As raízes digitais dos números da Primeira Coluna é idêntica à Primeira Linha.

As raízes digitais dos números da Última Coluna é idêntica à Última Linha.

As somas das raízes digitais têm como Constante Mágica o valor 405.

Veja a tabela acima.

primeira Raiz ultima Raiz
Ordem coluna Digital coluna Digital
         
1 3241 1 41 5
2 42 6 3322 1
3 3323 2 123 6
4 124 7 3404 2
5 3405 3 205 7
6 206 8 3486 3
7 3487 4 287 8
8 288 9 3568 4
9 3569 5 369 9
10 370 1 3650 5
11 3651 6 451 1
12 452 2 3732 6
13 3733 7 533 2
14 534 3 3814 7
15 3815 8 615 3
16 616 4 3896 8
17 3897 9 697 4
18 698 5 3978 9
19 3979 1 779 5
20 780 6 4060 1
21 4061 2 861 6
22 862 7 4142 2
23 4143 3 943 7
24 944 8 4224 3
25 4225 4 1025 8
26 1026 9 4306 4
27 4307 5 1107 9
28 1108 1 4388 5
29 4389 6 1189 1
30 1190 2 4470 6
31 4471 7 1271 2
32 1272 3 4552 7
33 4553 8 1353 3
34 1354 4 4634 8
35 4635 9 1435 4
36 1436 5 4716 9
37 4717 1 1517 5
38 1518 6 4798 1
39 4799 2 1599 6
40 1600 7 4880 2
41 4881 3 1681 7
42 1682 8 4962 3
43 4963 4 1763 8
44 1764 9 5044 4
45 5045 5 1845 9
46 1846 1 5126 5
47 5127 6 1927 1
48 1928 2 5208 6
49 5209 7 2009 2
50 2010 3 5290 7
51 5291 8 2091 3
52 2092 4 5372 8
53 5373 9 2173 4
54 2174 5 5454 9
55 5455 1 2255 5
56 2256 6 5536 1
57 5537 2 2337 6
58 2338 7 5618 2
59 5619 3 2419 7
60 2420 8 5700 3
61 5701 4 2501 8
62 2502 9 5782 4
63 5783 5 2583 9
64 2584 1 5864 5
65 5865 6 2665 1
66 2666 2 5946 6
67 5947 7 2747 2
68 2748 3 6028 7
69 6029 8 2829 3
70 2830 4 6110 8
71 6111 9 2911 4
72 2912 5 6192 9
73 6193 1 2993 5
74 2994 6 6274 1
75 6275 2 3075 6
76 3076 7 6356 2
77 6357 3 3157 7
78 3158 8 6438 3
79 6439 4 3239 8
80 3240 9 6520 4
81 6521 5 3321 9
       
Soma 265761 405 265761 405
       
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Conclusão

A construção do Quadrado Mágico 81x81, mesmo que parcialmente, provou-se que as sequências formadas por raízes digitais apresentam uniformidades como também Constantes Mágicas idênticas, diferentemente de testes realizados com Quadrados Mágicos de ordens: 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8 e 11x11 até o presente momento.

Testes realizados com Quadrado Mágico 3x3 convertido em raízes digitais e posteriormente utilizando-se do Método de La Hire com quadrados auxiliares, demonstrou-se que as sequências numéricas formadas não são nem progressão arimética (P.A) e nem progressão geométrica (P.G) e mesmo assim, foram possíveis de se contruirem quadrados mágicos e consequentemente formarem Constantes Mágicas.

 

Autor: Ricardo Silva - abril/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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