O presente estudo demonstra que quadrados mágicos de ordem ímpar construídos com sequências de múltiplos de potências de base 3 convertidos em raízes digitais apresentam uma propriedade especial que os diferenciam de quadrados mágicos construídos com números que não são múltiplos de 3 e de números que são múltiplos de 3 mas não potências de base 3.
Quadrados mágicos de ordem ímpar de números que são múltiplos e ao mesmo potências de base 3 convertidos em raízes digitais e que somados com quadrados auxiliares construídos com as respectivas sequências de múltiplos dessas potências produzem outros quadrados mágicos.
Para mais informações, veja abaixo, matérias relacionadas.
Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por matrizes quadriculadas nas quais são dispostas sequências numéricas em certa ordem de forma que as somas ou multiplicações das diagonais, das linhas e das colunas tenham como resultado Constante Mágica.
Diversos são os tipos de dispositivos numéricos que se assemelham a quadrados mágicos e que podem ser construídos com as mais diversas figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais, como também, com desenhos, figuras, símbolos, palavras, etc.
Como demonstrado aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, quadrados mágicos também podem ser construídos com divisores de determinados números quadrados perfeitos, sequências estas de divisores que não formam nem progressão aritmética (P.A.) e nem progressão geométrica (P.G.).
Quadrados Semi-Mágicos / Quadrados Naturais são quadrados construídos com números consecutivos de 1 a n², isto é, de 1 a 9 - ordem 3, de 1 a 16 - ordem 4, de 1 a 25 - ordem 5, de 1 a 36 - ordem 6, e assim sucessivamente.
Diferentemente de Quadrado Mágico Puro, Elementar ou Normal, Quadrado Semi-Mágico / Quadrado Natural de ordem ímpar é o quadrado que apresenta Constante Mágica somente nas diagonais e nas linha e coluna centrais e no quadrado de ordem par, somente nas diagonais.
Nos livros digitais: Números Triangulares e Sequências Numéricas e Estudos de Sequências Numéricas são abordadas outras interessantes características e propriedades sobre Quadrados Naturais.
A raiz digital de um número são adições sucessivas dos algarismos de um número até se ter como resultado um número de único algarismo.
Exemplo:
123456789
passo 1)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
passo 2)
4 + 5 = 9
9 é a raiz digital do número 123456789
O Quadrado Semi-Mágico 3x3 é um quadrado diferenciado pois seus números já são formados por 1 só digito.
O Quadrado Semi-Mágico 3x3 é ao mesmo tempo Semi-Mágico e auto-convertido em raizes digitais.
A Constante Mágica aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais.
O interessante dessa diferenciação é que o Quadrado Semi-Mágico 3x3 somado com múltiplos de 3, utilizando-se quadrados auxiliares do Método De La Hire, formam quadrados mágicos cujas sequências numéricas não são nem progressões aritméticas (P.As) e nem progressões geométricas (P.Gs).
Para mais informações, veja:
011-estudos-488-quadrados-magicos-raizes-digitais
| Quadrado Semi-Mágico 3x3 | ||||
| auto-convertido em raízes digitais | ||||
| 15 | ||||
| 1 | 2 | 3 | 6 | |
| 4 | 5 | 6 | 15 | |
| 7 | 8 | 9 | 24 | |
| 12 | 15 | 18 | 15 | |
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No Quadrado Semi-Mágico 4x4, que é de ordem par, a Constante Mágica 34 aparece nas diagonais.
| Quadrado Semi-Mágico 4x4 | |||||
| 34 | |||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 26 | |
| 9 | 10 | 11 | 12 | 42 | |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 58 | |
| 28 | 32 | 36 | 40 | 34 | |
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No Quadrado Semi-Mágico 4x4 convertido em raízes digitais, a Constante Mágica 16 aparece nas diagonais.
| Quadrado Semi-Mágico 4x4 | |||||
| convertido em raízes digitais | |||||
| 16 | |||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 26 | |
| 9 | 1 | 2 | 3 | 15 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 22 | |
| 19 | 14 | 18 | 22 | 16 | |
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No Quadrado Semi-Mágico 5x5, que é de ordem ímpar, a Constante Mágica 65 aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais.
| Quadrado Semi-Mágico 5x5 | ||||||
| 65 | ||||||
| 0 | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 15 | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 40 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 65 | |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 90 | |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 115 | |
| 0 | ||||||
| 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 65 | |
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No Quadrado Semi-Mágico 5x5 convertido em raízes digitais, não forma Constante Mágica uniforme em linhas, colunas e diagonais.
| Quadrado Semi-Mágico 5x5 | ||||||
| convertido em raízes digitais | ||||||
| 29 | ||||||
| 0 | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 15 | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 1 | 31 | |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 20 | |
| 7 | 8 | 9 | 1 | 2 | 27 | |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 25 | |
| 0 | ||||||
| 19 | 24 | 29 | 25 | 21 | 20 | |
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No Quadrado Semi-Mágico 6x6, que é de ordem par, a Constante Mágica 111 aparece nas diagonais.
O número 6 é um múltiplo de 3, mas não potência de base 3.
| Quadrado Semi-Mágico 6x6 | |||||||
| 111 | |||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 21 | |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 57 | |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 93 | |
| 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 129 | |
| 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 165 | |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 201 | |
| 0 | |||||||
| 96 | 102 | 108 | 114 | 120 | 126 | 111 | |
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No Quadrado Semi-Mágico 6x6 convertido em raízes digitais, não forma Constante Mágica nas diagonais.
| Quadrado Semi-Mágico 6x6 | |||||||
| convertido em raízes digitais | |||||||
| 30 | |||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 21 | |
| 7 | 8 | 9 | 1 | 2 | 3 | 30 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 39 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 21 | |
| 7 | 8 | 9 | 1 | 11 | 3 | 39 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 39 | |
| 0 | |||||||
| 24 | 30 | 36 | 24 | 39 | 36 | 39 | |
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No Quadrado Semi-Mágico 9x9, que é de ordem ímpar, a Constante Mágica 369 aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais.
Importantíssimo observar que:
a) 9 é um múltiplo de 3;
b) 9 é uma potência de base 3, pois, 3² = 9;
c) 9 é um quadrado perfeito ímpar.
d) a sequência (37, 38,..., 44, 55) que está na linha central aparecerá na diagonal principal de Quadrado Mágico 9x9 construído como os Métodos de Yang Hui, Ibn Al–Haytham [1][2] e de um outro método de autor desconhecido [1][2], Moschopulos [3], bem como, com o Método Múltiplos em Diagonal;
e) a sequência que está na coluna central (5, 14,..., 68, 77) aparecerá na diagonal secundária de Quadrado Mágico 9x9 construído como os Métodos de Yang Hui, Ibn Al–Haytham [1][2] e de um outro método de autor desconhecido [1][2], Moschopulos [3], bem como, com o Método Múltiplos em Diagonal;
Para mais informações, veja:
011-estudos-488-quadrados-magicos-raizes-digitais
| Quadrado Semi-Mágico 9x9 | ||||||||||
| 369 | ||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 126 | |
| 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 207 | |
| 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 288 | |
| 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 369 | |
| 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 450 | |
| 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 531 | |
| 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 612 | |
| 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 693 | |
| 0 | ||||||||||
| 333 | 342 | 351 | 360 | 369 | 378 | 387 | 396 | 405 | 369 | |
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No Quadrado Semi-Mágico 9x9 convertido em raízes digitais, a Constante Mágica 45 aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais, bem como, nas demais linhas.
Interessante observar que:
a) as linhas são formadas por dígitos de 1 a 9 e as colunas por um mesmo dígito;
b) a coluna central é formada somente por dígitos 5.
c) a linha central é formada por dígitos equidistantes correspondentes, isto é, a soma de 2 dígitos equidistantes é 10.
| Quadrado Semi-Mágico 9x9 | ||||||||||
| convertido em raízes digitais | ||||||||||
| 45 | ||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 45 | |
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| Quadrado Mágico 9x9 | ||||||||||
| 369 | ||||||||||
| 37 | 78 | 29 | 70 | 21 | 62 | 13 | 54 | 5 | 369 | |
| 6 | 38 | 79 | 30 | 71 | 22 | 63 | 14 | 46 | 369 | |
| 47 | 7 | 39 | 80 | 31 | 72 | 23 | 55 | 15 | 369 | |
| 16 | 48 | 8 | 40 | 81 | 32 | 64 | 24 | 56 | 369 | |
| 57 | 17 | 49 | 9 | 41 | 73 | 33 | 65 | 25 | 369 | |
| 26 | 58 | 18 | 50 | 1 | 42 | 74 | 34 | 66 | 369 | |
| 67 | 27 | 59 | 10 | 51 | 2 | 43 | 75 | 35 | 369 | |
| 36 | 68 | 19 | 60 | 11 | 52 | 3 | 44 | 76 | 369 | |
| 77 | 28 | 69 | 20 | 61 | 12 | 53 | 4 | 45 | 369 | |
| 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | |
No Quadrado Semi-Mágico 15x15, que é de ordem ímpar, a Constante Mágica 1695 aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais.
O número 15 é múltiplo de 3, mas não uma potência de base 3.
| Quadrado Semi-Mágico 15x15 | ||||||||||||||||
| 1695 | ||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | ||
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | ||
| 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | ||
| 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | ||
| 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | ||
| 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | ||
| 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 1695 | |
| 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | ||
| 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | ||
| 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | ||
| 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | ||
| 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 | 194 | 195 | ||
| 196 | 197 | 198 | 199 | 200 | 201 | 202 | 203 | 204 | 205 | 206 | 207 | 208 | 209 | 210 | ||
| 211 | 212 | 213 | 214 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 220 | 221 | 222 | 223 | 224 | 225 | ||
| 1695 | ||||||||||||||||
| 1695 | ||||||||||||||||
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No Quadrado Semi-Mágico 15x15 convertido em raízes digitais, a Constante Mágica 75 aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais.
A coluna central é formada somente pelos digítos equidistantes 2, 5 e 8;
| Quadrado Semi-Mágico 15x15 | ||||||||||||||||
| convertido em raízes digitais | ||||||||||||||||
| 75 | ||||||||||||||||
| 1 | 8 | 6 | ||||||||||||||
| 8 | 5 | 2 | ||||||||||||||
| 6 | 2 | 7 | ||||||||||||||
| 4 | 8 | 3 | ||||||||||||||
| 2 | 5 | 8 | ||||||||||||||
| 9 | 2 | 4 | ||||||||||||||
| 7 | 8 | 9 | ||||||||||||||
| 7 | 8 | 9 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 1 | 2 | 3 | 75 | |
| 1 | 2 | 3 | ||||||||||||||
| 6 | 8 | 1 | ||||||||||||||
| 2 | 5 | 8 | ||||||||||||||
| 7 | 2 | 6 | ||||||||||||||
| 3 | 8 | 4 | ||||||||||||||
| 8 | 5 | 2 | ||||||||||||||
| 4 | 2 | 9 | ||||||||||||||
| 75 | 75 | |||||||||||||||
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No Quadrado Semi-Mágico 21x21, que é de ordem ímpar, a Constante Mágica 4641 aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais.
O número 21 é múltiplo de 3, mas não uma potência de base 3.
| Quadrado Semi-Mágico 21x21 | ||||||||||||||||||||||
| 4641 | ||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ||
| 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | ||
| 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | ||
| 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | ||
| 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | ||
| 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | ||
| 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | ||
| 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | ||
| 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | ||
| 190 | 191 | 192 | 193 | 194 | 195 | 196 | 197 | 198 | 199 | 200 | 201 | 202 | 203 | 204 | 205 | 206 | 207 | 208 | 209 | 210 | ||
| 211 | 212 | 213 | 214 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 220 | 221 | 222 | 223 | 224 | 225 | 226 | 227 | 228 | 229 | 230 | 231 | 4641 | |
| 232 | 233 | 234 | 235 | 236 | 237 | 238 | 239 | 240 | 241 | 242 | 243 | 244 | 245 | 246 | 247 | 248 | 249 | 250 | 251 | 252 | ||
| 253 | 254 | 255 | 256 | 257 | 258 | 259 | 260 | 261 | 262 | 263 | 264 | 265 | 266 | 267 | 268 | 269 | 270 | 271 | 272 | 273 | ||
| 274 | 275 | 276 | 277 | 278 | 279 | 280 | 281 | 282 | 283 | 284 | 285 | 286 | 287 | 288 | 289 | 290 | 291 | 292 | 293 | 294 | ||
| 295 | 296 | 297 | 298 | 299 | 300 | 301 | 302 | 303 | 304 | 305 | 306 | 307 | 308 | 309 | 310 | 311 | 312 | 313 | 314 | 315 | ||
| 316 | 317 | 318 | 319 | 320 | 321 | 322 | 323 | 324 | 325 | 326 | 327 | 328 | 329 | 330 | 331 | 332 | 333 | 334 | 335 | 336 | ||
| 337 | 338 | 339 | 340 | 341 | 342 | 343 | 344 | 345 | 346 | 347 | 348 | 349 | 350 | 351 | 352 | 353 | 354 | 355 | 356 | 357 | ||
| 358 | 359 | 360 | 361 | 362 | 363 | 364 | 365 | 366 | 367 | 368 | 369 | 370 | 371 | 372 | 373 | 374 | 375 | 376 | 377 | 378 | ||
| 379 | 380 | 381 | 382 | 383 | 384 | 385 | 386 | 387 | 388 | 389 | 390 | 391 | 392 | 393 | 394 | 395 | 396 | 397 | 398 | 399 | ||
| 400 | 401 | 402 | 403 | 404 | 405 | 406 | 407 | 408 | 409 | 410 | 411 | 412 | 413 | 414 | 415 | 416 | 417 | 418 | 419 | 420 | ||
| 421 | 422 | 423 | 424 | 425 | 426 | 427 | 428 | 429 | 430 | 431 | 432 | 433 | 434 | 435 | 436 | 437 | 438 | 439 | 440 | 441 | ||
| 4641 | 4641 | |||||||||||||||||||||
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No Quadrado Semi-Mágico 21x21 convertido em raízes digitais, a Constante Mágica 105 aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais.
A coluna central é formada somente pelos digítos equidistantes 2, 5 e 8.
| Quadrado Semi-Mágico 21x21 | ||||||||||||||||||||||
| convertido em raízes digitais | ||||||||||||||||||||||
| 105 | ||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | ||||||||||||||||||||
| 5 | 5 | 5 | ||||||||||||||||||||
| 9 | 8 | 7 | ||||||||||||||||||||
| 4 | 2 | 9 | ||||||||||||||||||||
| 8 | 5 | 2 | ||||||||||||||||||||
| 3 | 8 | 4 | ||||||||||||||||||||
| 7 | 2 | 6 | ||||||||||||||||||||
| 2 | 5 | 8 | ||||||||||||||||||||
| 6 | 8 | 1 | ||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | ||||||||||||||||||||
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 105 | |
| 7 | 8 | 9 | ||||||||||||||||||||
| 9 | 2 | 4 | ||||||||||||||||||||
| 2 | 5 | 8 | ||||||||||||||||||||
| 4 | 8 | 3 | ||||||||||||||||||||
| 6 | 2 | 7 | ||||||||||||||||||||
| 8 | 5 | 2 | ||||||||||||||||||||
| 1 | 8 | 6 | ||||||||||||||||||||
| 3 | 2 | 1 | ||||||||||||||||||||
| 5 | 5 | 5 | ||||||||||||||||||||
| 7 | 8 | 9 | ||||||||||||||||||||
| 0 | ||||||||||||||||||||||
| 105 | 105 | |||||||||||||||||||||
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No Quadrado Semi-Mágico 27x27, que é de ordem ímpar, a Constante Mágica 9855 aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais.
Importantíssimo observar que:
a) 27 é um múltiplo de 3;
b) 27 é uma potência de base 3, pois, 33 = 27;
c) 27 é um número cúbico.
| Quadrado Semi-Mágico 27x27 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 9855 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | ||
| 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | ||
| 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | ||
| 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | ||
| 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | ||
| 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | ||
| 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | ||
| 190 | 191 | 192 | 193 | 194 | 195 | 196 | 197 | 198 | 199 | 200 | 201 | 202 | 203 | 204 | 205 | 206 | 207 | 208 | 209 | 210 | 211 | 212 | 213 | 214 | 215 | 216 | ||
| 217 | 218 | 219 | 220 | 221 | 222 | 223 | 224 | 225 | 226 | 227 | 228 | 229 | 230 | 231 | 232 | 233 | 234 | 235 | 236 | 237 | 238 | 239 | 240 | 241 | 242 | 243 | ||
| 244 | 245 | 246 | 247 | 248 | 249 | 250 | 251 | 252 | 253 | 254 | 255 | 256 | 257 | 258 | 259 | 260 | 261 | 262 | 263 | 264 | 265 | 266 | 267 | 268 | 269 | 270 | ||
| 271 | 272 | 273 | 274 | 275 | 276 | 277 | 278 | 279 | 280 | 281 | 282 | 283 | 284 | 285 | 286 | 287 | 288 | 289 | 290 | 291 | 292 | 293 | 294 | 295 | 296 | 297 | ||
| 298 | 299 | 300 | 301 | 302 | 303 | 304 | 305 | 306 | 307 | 308 | 309 | 310 | 311 | 312 | 313 | 314 | 315 | 316 | 317 | 318 | 319 | 320 | 321 | 322 | 323 | 324 | ||
| 325 | 326 | 327 | 328 | 329 | 330 | 331 | 332 | 333 | 334 | 335 | 336 | 337 | 338 | 339 | 340 | 341 | 342 | 343 | 344 | 345 | 346 | 347 | 348 | 349 | 350 | 351 | ||
| 352 | 353 | 354 | 355 | 356 | 357 | 358 | 359 | 360 | 361 | 362 | 363 | 364 | 365 | 366 | 367 | 368 | 369 | 370 | 371 | 372 | 373 | 374 | 375 | 376 | 377 | 378 | 9855 | |
| 379 | 380 | 381 | 382 | 383 | 384 | 385 | 386 | 387 | 388 | 389 | 390 | 391 | 392 | 393 | 394 | 395 | 396 | 397 | 398 | 399 | 400 | 401 | 402 | 403 | 404 | 405 | ||
| 406 | 407 | 408 | 409 | 410 | 411 | 412 | 413 | 414 | 415 | 416 | 417 | 418 | 419 | 420 | 421 | 422 | 423 | 424 | 425 | 426 | 427 | 428 | 429 | 430 | 431 | 432 | ||
| 433 | 434 | 435 | 436 | 437 | 438 | 439 | 440 | 441 | 442 | 443 | 444 | 445 | 446 | 447 | 448 | 449 | 450 | 451 | 452 | 453 | 454 | 455 | 456 | 457 | 458 | 459 | ||
| 460 | 461 | 462 | 463 | 464 | 465 | 466 | 467 | 468 | 469 | 470 | 471 | 472 | 473 | 474 | 475 | 476 | 477 | 478 | 479 | 480 | 481 | 482 | 483 | 484 | 485 | 486 | ||
| 487 | 488 | 489 | 490 | 491 | 492 | 493 | 494 | 495 | 496 | 497 | 498 | 499 | 500 | 501 | 502 | 503 | 504 | 505 | 506 | 507 | 508 | 509 | 510 | 511 | 512 | 513 | ||
| 514 | 515 | 516 | 517 | 518 | 519 | 520 | 521 | 522 | 523 | 524 | 525 | 526 | 527 | 528 | 529 | 530 | 531 | 532 | 533 | 534 | 535 | 536 | 537 | 538 | 539 | 540 | ||
| 541 | 542 | 543 | 544 | 545 | 546 | 547 | 548 | 549 | 550 | 551 | 552 | 553 | 554 | 555 | 556 | 557 | 558 | 559 | 560 | 561 | 562 | 563 | 564 | 565 | 566 | 567 | ||
| 568 | 569 | 570 | 571 | 572 | 573 | 574 | 575 | 576 | 577 | 578 | 579 | 580 | 581 | 582 | 583 | 584 | 585 | 586 | 587 | 588 | 589 | 590 | 591 | 592 | 593 | 594 | ||
| 595 | 596 | 597 | 598 | 599 | 600 | 601 | 602 | 603 | 604 | 605 | 606 | 607 | 608 | 609 | 610 | 611 | 612 | 613 | 614 | 615 | 616 | 617 | 618 | 619 | 620 | 621 | ||
| 622 | 623 | 624 | 625 | 626 | 627 | 628 | 629 | 630 | 631 | 632 | 633 | 634 | 635 | 636 | 637 | 638 | 639 | 640 | 641 | 642 | 643 | 644 | 645 | 646 | 647 | 648 | ||
| 649 | 650 | 651 | 652 | 653 | 654 | 655 | 656 | 657 | 658 | 659 | 660 | 661 | 662 | 663 | 664 | 665 | 666 | 667 | 668 | 669 | 670 | 671 | 672 | 673 | 674 | 675 | ||
| 676 | 677 | 678 | 679 | 680 | 681 | 682 | 683 | 684 | 685 | 686 | 687 | 688 | 689 | 690 | 691 | 692 | 693 | 694 | 695 | 696 | 697 | 698 | 699 | 700 | 701 | 702 | ||
| 703 | 704 | 705 | 706 | 707 | 708 | 709 | 710 | 711 | 712 | 713 | 714 | 715 | 716 | 717 | 718 | 719 | 720 | 721 | 722 | 723 | 724 | 725 | 726 | 727 | 728 | 729 | ||
| 9855 | ||||||||||||||||||||||||||||
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No Quadrado Semi-Mágico 27x27 convertido em raízes digitais, a Constante Mágica 135 aparece nas diagonais e nas linha e coluna centrais.
Interessante observar que:
a) a coluna central é formada somente pelo dígito 5;
b) a linha central é formada por dígitos equidistantes correspondentes, isto é, a soma de 2 dígitos equidistantes é 10.
| Quadrado Semi-Mágico 27x27 | ||||||||||||||||||||||||||||
| convertido em raízes digitais | ||||||||||||||||||||||||||||
| 135 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 5 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 5 | 8 | ||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 5 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||
| 4 | 5 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 5 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 5 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||
| 7 | 5 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||
| 8 | 5 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 5 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 5 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 5 | 8 | ||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 5 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||
| 4 | 5 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 135 | |
| 4 | 5 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 5 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 5 | 8 | ||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 5 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 5 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| 8 | 5 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||
| 7 | 5 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 5 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 5 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||
| 4 | 5 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 5 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 5 | 8 | ||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 5 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||
| 135 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 135 | ||||||||||||||||||||||||||||
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Autor: Ricardo Silva - abril/2024
[ 1 ] ARSIE, Karla Cristiane. Jogos Sudoku e Quadrado Mágico. Monografia. 2010. Universidade Federal do Paraná, Curitiba
[ 3 ] DANIELSSON, Holger. Magic Squares. Version 2.12 (date: 05. Mar 2022)
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
[ 2 ] SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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