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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

A Soma de 2 Números Consecutivos e a Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos Consecutivos - 496

O presente estudo demonstra que partir da soma de 2 números consecutivos e da soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos são possíveis de gerarem ternos pitagóricos primitivos.

Neste estudo também são apresentadas e demonstradas novas fórmulas geradoras de ternos pitagóricos primitivos.

A Soma de 2 Números Consecutivos e a Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos Consecutivos

Fórmulas de Euclides

Por meio das Fórmulas de Euclides:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

podem ser gerados infinitos ternos pitagóricos.

Ternos Pitagóricos são sequências de 3 números inteiros que formam lados de um triângulo retângulo, denominado de Triângulo Retângulo Pitagórico.

As Fórmulas de Euclides geram dobro, de dobro, do dobro ..., de ternos a partir de ternos pitagóricos primitivos

Escolhendo-se dois números, por exemplo, o 2 e 1, sendo um maior que outro e aplicando as Fórmulas:

i)

a = 2² - 1²

a = 4 - 1

a = 3

ii)

b = 2.2.1

b = 4

ii)

c = 2² + 1²

c = 4 + 1

c = 5

... obtêm-se o Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 e elevando-se cada um dos resultados ao quadrado:

a² = 3² = 9

b² = 4² = 16

c² = 5² = 25

... obtêm-se os quadrados de cada termo do Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5.

Tabela de Ternos Pitagóricos

A seguinte tabela apresenta os 10 primeiros ternos pitagóricos primitivos e derivados gerados pelas Fórmulas de Euclides.

Fórmulas de Euclides e
Ternos Pitagóricos
                             
ordem/ -x- m n -x- m² n² -x- a b c -x- a² b² c²
posição                            
                             
1   2 1   4 1   3 4 5   9 16 25
2   3 1   9 1   8 6 10   64 36 100
3   3 2   9 4   5 12 13   25 144 169
4   4 1   16 1   15 8 17   225 64 289
5   4 2   16 4   12 16 20   144 256 400
6   4 3   16 9   7 24 25   49 576 625
7   5 1   25 1   24 10 26   576 100 676
8   5 2   25 4   21 20 29   441 400 841
9   5 3   25 9   16 30 34   256 900 1156
10 -x- 5 4 -x- 25 16 -x- 9 40 41 -x- 81 1600 1681
                             
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Soma de 2 números consecutivos

A soma de 2 números consecutivos têm como resultados números ímpares.

A soma de 2 números consecutivos é também a diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.

Soma de 2
números consecutivos
 
ordem / números soma de
posição consecutivos 2 consecutivos
       
1 1 2 3
2 2 3 5
3 3 4 7
4 4 5 9
5 5 6 11
6 6 7 13
7 7 8 15
8 8 9 17
9 9 10 19
10 10 11 21
       
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Diferença entre de 2 números quadrados consecutivos

A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultados números ímpares.

A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos é também a soma de dois números consecutivos.

Diferença entre de
2 números quadrados consecutivos
 
ordem / quadrados diferença entre
posição consecutivos 2 quadrados
       
1 4 1 3
2 9 4 5
3 16 9 7
4 25 16 9
5 36 25 11
6 49 36 13
7 64 49 15
8 81 64 17
9 100 81 19
10 121 100 21
       
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Soma de 2 quadrados consecutivos

A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultados números ímpares.

A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos é também um número sucessor que somado com o seu antecessor (par) têm como resultado um número quadrado perfeito.

Soma de 2 quadrados consecutivos
 
ordem / quadrados soma de
posição consecutivos 2 quadrados
       
1 1 4 5
2 4 9 13
3 9 16 25
4 16 25 41
5 25 36 61
6 36 49 85
7 49 64 113
8 64 81 145
9 81 100 181
10 100 121 221
       
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Soma de 2 quadrados consecutivos e seu antecessor

A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos somado com seu antecessor (par) têm como resultado um número quadrado perfeito ímpar.

Soma de 2 quadrados e seu antecessor
     
ordem / antecessor soma de quadrado
posição par 2 quadrados perfeito
      ímpar
       
1 4 5 9
2 12 13 25
3 24 25 49
4 40 41 81
5 60 61 121
6 84 85 169
7 112 113 225
8 144 145 289
9 180 181 361
10 220 221 441
       
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Raiz quadrada

A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos somado com seu antecessor (par) têm como resultado um número quadrado perfeito ímpar.

A raiz quadrada da soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos somado com seu antecessor (par) é também a soma de dois números consecutivos.

Raiz Quadrada
     
ordem / soma de 2 quadrado
posição consecutivos perfeito
    ímpar
     
1 3 9
2 5 25
3 7 49
4 9 81
5 11 121
6 13 169
7 15 225
8 17 289
9 19 361
10 21 441
     
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Tabela Geral (números e quadrados consecutivos)

A tabela seguir apresenta de forma geral as relações numéricas das etapas acima demonstradas.

Soma de 2 Números Consecutivos
e
Soma de 2 Quadrados Consecutivos
         
(raiz)        
ordem/ números soma de 2 quadrados soma de ante- quadrado
posição conse- conse- conse- 2 -cessor perfeito
  -cutivos -cutivos -cutivos quadrados da soma ímpar
                 
1 1 2 3 1 4 5 4 9
2 2 3 5 4 9 13 12 25
3 3 4 7 9 16 25 24 49
4 4 5 9 16 25 41 40 81
5 5 6 11 25 36 61 60 121
6 6 7 13 36 49 85 84 169
7 7 8 15 49 64 113 112 225
8 8 9 17 64 81 145 144 289
9 9 10 19 81 100 181 180 361
10 10 11 21 100 121 221 220 441
                 
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Ternos Pitagóricos Primitivos

A soma de 2 números consecutivos e a soma de 2 números quadrados consecutivos geram ternos pitagóricos (células coloridas)...

Soma de 2 Números Consecutivos
e
Soma de 2 Quadrados Consecutivos
         
(raiz)        
ordem/ números soma de 2 quadrados soma de ante- quadrado
posição conse- conse- conse- 2 -cessor perfeito
  -cutivos -cutivos -cutivos quadrados da soma ímpar
                 
1 1 2 3 1 4 5 4 9
2 2 3 5 4 9 13 12 25
3 3 4 7 9 16 25 24 49
4 4 5 9 16 25 41 40 81
5 5 6 11 25 36 61 60 121
6 6 7 13 36 49 85 84 169
7 7 8 15 49 64 113 112 225
8 8 9 17 64 81 145 144 289
9 9 10 19 81 100 181 180 361
10 10 11 21 100 121 221 220 441
                 
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... de onde se deduziram as seguintes fórmulas algébricas:

a = n + ( n + 1 )
b = n² + ( n + 1)²
c = [ n² + ( n + 1 )² ] - 1

Exemplo:

Número escolhido, o 1.

i)

a = n + ( n + 1 )

a = 1 + ( 1 + 1)

a = 1 + 2

a = 3

ii)

b = n² + ( n + 1)²

b = 1² + (1 + 1)²

b = 1 + (1 + 2 . 1. 1 + 1)

b = 1 + 4

b = 5

iii)

c = [ n² + ( n + 1 )² ] - 1

c = [ 1² + (1 + 1)² ] - 1

c = [ 1 + (1 + 2 . 1. 1 + 1) ] - 1

c = [ 1 + 4 ] - 1

c = 5 - 1

c = 4

Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - junho/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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