O presente estudo demonstra que partir da soma de 2 números consecutivos e da soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos são possíveis de gerarem ternos pitagóricos primitivos.
Neste estudo também são apresentadas e demonstradas novas fórmulas geradoras de ternos pitagóricos primitivos.
Por meio das Fórmulas de Euclides:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n)
m e n tem que ser primos entre si
podem ser gerados infinitos ternos pitagóricos.
Ternos Pitagóricos são sequências de 3 números inteiros que formam lados de um triângulo retângulo, denominado de Triângulo Retângulo Pitagórico.
As Fórmulas de Euclides geram dobro, de dobro, do dobro ..., de ternos a partir de ternos pitagóricos primitivos
Escolhendo-se dois números, por exemplo, o 2 e 1, sendo um maior que outro e aplicando as Fórmulas:
i)
a = 2² - 1²
a = 4 - 1
a = 3
ii)
b = 2.2.1
b = 4
ii)
c = 2² + 1²
c = 4 + 1
c = 5
... obtêm-se o Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 e elevando-se cada um dos resultados ao quadrado:
a² = 3² = 9
b² = 4² = 16
c² = 5² = 25
... obtêm-se os quadrados de cada termo do Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5.
A seguinte tabela apresenta os 10 primeiros ternos pitagóricos primitivos e derivados gerados pelas Fórmulas de Euclides.
| Fórmulas de Euclides e | ||||||||||||||
| Ternos Pitagóricos | ||||||||||||||
| ordem/ | -x- | m | n | -x- | m² | n² | -x- | a | b | c | -x- | a² | b² | c² |
| posição | ||||||||||||||
| 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 3 | 4 | 5 | 9 | 16 | 25 | ||||
| 2 | 3 | 1 | 9 | 1 | 8 | 6 | 10 | 64 | 36 | 100 | ||||
| 3 | 3 | 2 | 9 | 4 | 5 | 12 | 13 | 25 | 144 | 169 | ||||
| 4 | 4 | 1 | 16 | 1 | 15 | 8 | 17 | 225 | 64 | 289 | ||||
| 5 | 4 | 2 | 16 | 4 | 12 | 16 | 20 | 144 | 256 | 400 | ||||
| 6 | 4 | 3 | 16 | 9 | 7 | 24 | 25 | 49 | 576 | 625 | ||||
| 7 | 5 | 1 | 25 | 1 | 24 | 10 | 26 | 576 | 100 | 676 | ||||
| 8 | 5 | 2 | 25 | 4 | 21 | 20 | 29 | 441 | 400 | 841 | ||||
| 9 | 5 | 3 | 25 | 9 | 16 | 30 | 34 | 256 | 900 | 1156 | ||||
| 10 | -x- | 5 | 4 | -x- | 25 | 16 | -x- | 9 | 40 | 41 | -x- | 81 | 1600 | 1681 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||||||||||
A soma de 2 números consecutivos têm como resultados números ímpares.
A soma de 2 números consecutivos é também a diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.
| Soma de 2 | |||
| números consecutivos | |||
| ordem / | números | soma de | |
| posição | consecutivos | 2 consecutivos | |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 3 | 5 |
| 3 | 3 | 4 | 7 |
| 4 | 4 | 5 | 9 |
| 5 | 5 | 6 | 11 |
| 6 | 6 | 7 | 13 |
| 7 | 7 | 8 | 15 |
| 8 | 8 | 9 | 17 |
| 9 | 9 | 10 | 19 |
| 10 | 10 | 11 | 21 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultados números ímpares.
A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos é também a soma de dois números consecutivos.
| Diferença entre de | |||
| 2 números quadrados consecutivos | |||
| ordem / | quadrados | diferença entre | |
| posição | consecutivos | 2 quadrados | |
| 1 | 4 | 1 | 3 |
| 2 | 9 | 4 | 5 |
| 3 | 16 | 9 | 7 |
| 4 | 25 | 16 | 9 |
| 5 | 36 | 25 | 11 |
| 6 | 49 | 36 | 13 |
| 7 | 64 | 49 | 15 |
| 8 | 81 | 64 | 17 |
| 9 | 100 | 81 | 19 |
| 10 | 121 | 100 | 21 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultados números ímpares.
A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos é também um número sucessor que somado com o seu antecessor (par) têm como resultado um número quadrado perfeito.
| Soma de 2 quadrados consecutivos | |||
| ordem / | quadrados | soma de | |
| posição | consecutivos | 2 quadrados | |
| 1 | 1 | 4 | 5 |
| 2 | 4 | 9 | 13 |
| 3 | 9 | 16 | 25 |
| 4 | 16 | 25 | 41 |
| 5 | 25 | 36 | 61 |
| 6 | 36 | 49 | 85 |
| 7 | 49 | 64 | 113 |
| 8 | 64 | 81 | 145 |
| 9 | 81 | 100 | 181 |
| 10 | 100 | 121 | 221 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos somado com seu antecessor (par) têm como resultado um número quadrado perfeito ímpar.
| Soma de 2 quadrados e seu antecessor | |||
| ordem / | antecessor | soma de | quadrado |
| posição | par | 2 quadrados | perfeito |
| ímpar | |||
| 1 | 4 | 5 | 9 |
| 2 | 12 | 13 | 25 |
| 3 | 24 | 25 | 49 |
| 4 | 40 | 41 | 81 |
| 5 | 60 | 61 | 121 |
| 6 | 84 | 85 | 169 |
| 7 | 112 | 113 | 225 |
| 8 | 144 | 145 | 289 |
| 9 | 180 | 181 | 361 |
| 10 | 220 | 221 | 441 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos somado com seu antecessor (par) têm como resultado um número quadrado perfeito ímpar.
A raiz quadrada da soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos somado com seu antecessor (par) é também a soma de dois números consecutivos.
| Raiz Quadrada | ||
| ordem / | soma de 2 | quadrado |
| posição | consecutivos | perfeito |
| ímpar | ||
| 1 | 3 | 9 |
| 2 | 5 | 25 |
| 3 | 7 | 49 |
| 4 | 9 | 81 |
| 5 | 11 | 121 |
| 6 | 13 | 169 |
| 7 | 15 | 225 |
| 8 | 17 | 289 |
| 9 | 19 | 361 |
| 10 | 21 | 441 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
A tabela seguir apresenta de forma geral as relações numéricas das etapas acima demonstradas.
| Soma de 2 Números Consecutivos | ||||||||
| e | ||||||||
| Soma de 2 Quadrados Consecutivos | ||||||||
| (raiz) | ||||||||
| ordem/ | números | soma de 2 | quadrados | soma de | ante- | quadrado | ||
| posição | conse- | conse- | conse- | 2 | -cessor | perfeito | ||
| -cutivos | -cutivos | -cutivos | quadrados | da soma | ímpar | |||
| 1 | 1 | 2 | 3 | 1 | 4 | 5 | 4 | 9 |
| 2 | 2 | 3 | 5 | 4 | 9 | 13 | 12 | 25 |
| 3 | 3 | 4 | 7 | 9 | 16 | 25 | 24 | 49 |
| 4 | 4 | 5 | 9 | 16 | 25 | 41 | 40 | 81 |
| 5 | 5 | 6 | 11 | 25 | 36 | 61 | 60 | 121 |
| 6 | 6 | 7 | 13 | 36 | 49 | 85 | 84 | 169 |
| 7 | 7 | 8 | 15 | 49 | 64 | 113 | 112 | 225 |
| 8 | 8 | 9 | 17 | 64 | 81 | 145 | 144 | 289 |
| 9 | 9 | 10 | 19 | 81 | 100 | 181 | 180 | 361 |
| 10 | 10 | 11 | 21 | 100 | 121 | 221 | 220 | 441 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||||
A soma de 2 números consecutivos e a soma de 2 números quadrados consecutivos geram ternos pitagóricos (células coloridas)...
| Soma de 2 Números Consecutivos | ||||||||
| e | ||||||||
| Soma de 2 Quadrados Consecutivos | ||||||||
| (raiz) | ||||||||
| ordem/ | números | soma de 2 | quadrados | soma de | ante- | quadrado | ||
| posição | conse- | conse- | conse- | 2 | -cessor | perfeito | ||
| -cutivos | -cutivos | -cutivos | quadrados | da soma | ímpar | |||
| 1 | 1 | 2 | 3 | 1 | 4 | 5 | 4 | 9 |
| 2 | 2 | 3 | 5 | 4 | 9 | 13 | 12 | 25 |
| 3 | 3 | 4 | 7 | 9 | 16 | 25 | 24 | 49 |
| 4 | 4 | 5 | 9 | 16 | 25 | 41 | 40 | 81 |
| 5 | 5 | 6 | 11 | 25 | 36 | 61 | 60 | 121 |
| 6 | 6 | 7 | 13 | 36 | 49 | 85 | 84 | 169 |
| 7 | 7 | 8 | 15 | 49 | 64 | 113 | 112 | 225 |
| 8 | 8 | 9 | 17 | 64 | 81 | 145 | 144 | 289 |
| 9 | 9 | 10 | 19 | 81 | 100 | 181 | 180 | 361 |
| 10 | 10 | 11 | 21 | 100 | 121 | 221 | 220 | 441 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||||
... de onde se deduziram as seguintes fórmulas algébricas:
| a = n + ( n + 1 ) |
| b = n² + ( n + 1)² |
| c = [ n² + ( n + 1 )² ] - 1 |
Exemplo:
Número escolhido, o 1.
i)
| a = n + ( n + 1 ) |
a = 1 + ( 1 + 1)
a = 1 + 2
a = 3
ii)
| b = n² + ( n + 1)² |
b = 1² + (1 + 1)²
b = 1 + (1 + 2 . 1. 1 + 1)
b = 1 + 4
b = 5
iii)
| c = [ n² + ( n + 1 )² ] - 1 |
c = [ 1² + (1 + 1)² ] - 1
c = [ 1 + (1 + 2 . 1. 1 + 1) ] - 1
c = [ 1 + 4 ] - 1
c = 5 - 1
c = 4
Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - junho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
