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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Quadrados Perfeitos e Múltiplos de 3 - 505

O presente estudo demonstra que determinados números quadrados perfeitos antecessores e sucessores a uma potência de base 3, subtraídos 1 unidade, divididos sucessivamente por 3, têm como quocientes um dos fatores que multiplicados por 3 resulta em números que são produtos de 2 números primos distintos.

Números Quadrados Perfeitos e Múltiplos de 3

O estudo aborda também outros números quadrados perfeitos, bem como, múltiplos de 3 que não são potências de base 3 e que apresentam propriedades semelhantes às citadas acima.

Números Quadrados Perfeitos subtraídos 1 unidade geram Números Quase Quadrados Perfeitos.

O produto de 2 números ímpares distintos tem como resultado um número (base) cuja quantidade de divisores são em números quadrados perfeitos.

Números (bases) e suas potências que possuem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos são possíveis de se contruirem quadrados mágicos multiplicativos sequenciais.[1]

Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!

A tabela a seguir apresenta alguns produtos de 2 números primos distintos e suas relações com números quase quadrados perfeitos, bem como, com números quadrados perfeitos.

Produtos de 2
Números Primos Distintos
       
3 x 7 = 21 3 x 21 = 63 63 + 1 = 64 √64 = 7 + 1
       
5 x 17 = 85 3 x 85 = 255 255 + 1 = 256 √256 = 17 - 1
       
3 x 11 = 33 3 x 33 = 99 99 + 1 = 100 √100 = 11 - 1
       
7 x 19 = 133 3 x 133 = 399 399 + 1 = 400 √400 = 19 + 1
       
7 x 23 = 161 3 x 161 = 483 483 + 1 = 484 √484 = 23 - 1
       
11 x 31 = 341 3 x 341 = 1.023 1023 + 1 = 1024 √1024 = 31 + 1
       
13 x 37 = 481 3 x 481 = 1.443 1.443 +1 = 1.444 √1.444 = 37 + 1
       
13 x 41 = 533 3 x 533 = 1.599 1.599 + 1 = 1600 √1600 = 41 - 1
       
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Tabela de Números Quadrados Perfeitos e Múltiplos de 3

A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros números quadrados perfeitos, subtraídos 1 unidade e divididos sucessivamente por 3.

Números Quadrados Perfeitos
e
Múltiplos de 3
             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
     
1 1 0
2 4 3 1,000 0,333 0,111 0,037
3 9 8 2,667 0,889 0,296 0,099
4 16 15 5,000 1,667 0,556 0,185
5 25 24 8,000 2,667 0,889 0,296
6 36 35 11,667 3,889 1,296 0,432
7 49 48 16,000 5,333 1,778 0,593
8 64 63 21,000 7,000 2,333 0,778
9 81 80 26,667 8,889 2,963 0,988
10 100 99 33,000 11,000 3,667 1,222
11 121 120 40,000 13,333 4,444 1,481
12 144 143 47,667 15,889 5,296 1,765
13 169 168 56,000 18,667 6,222 2,074
14 196 195 65,000 21,667 7,222 2,407
15 225 224 74,667 24,889 8,296 2,765
16 256 255 85,000 28,333 9,444 3,148
17 289 288 96,000 32,000 10,667 3,556
18 324 323 107,667 35,889 11,963 3,988
19 361 360 120,000 40,000 13,333 4,444
20 400 399 133,000 44,333 14,778 4,926
21 441 440 146,667 48,889 16,296 5,432
22 484 483 161,000 53,667 17,889 5,963
23 529 528 176,000 58,667 19,556 6,519
24 576 575 191,667 63,889 21,296 7,099
25 625 624 208,000 69,333 23,111 7,704
26 676 675 225,000 75,000 25,000 8,333
27 729 728 242,667 80,889 26,963 8,988
28 784 783 261,000 87,000 29,000 9,667
29 841 840 280,000 93,333 31,111 10,370
30 900 899 299,667 99,889 33,296 11,099
             
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Potências de base 2

Determinada potência de base 2 que é quadrado perfeito, subtraída 1 unidade, dividida sucessivamente por 3, têm como último quociente, um número que é produto de 2 números primos distintos.

Exemplo1)

28 = 256

16 x 16 = 256

5 x 17 = 85

Observação: 17 é o sucessor de 16.

             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
     
15 225 224 74,667 24,889 8,296 2,765
16 256 255 85,000 28,333 9,444 3,148
17 289 288 96,000 32,000 10,667 3,556
             
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Exemplo2)

210 = 1024

32 x 32 = 1024

11 x 31 = 341

Observação: 31 é o antecessor de 32

             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
     
31 961 960 320,000 106,667 35,556 11,852
32 1024 1023 341,000 113,667 37,889 12,630
33 1089 1088 362,667 120,889 40,296 13,432
             
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Outros números quadrados perfeitos

Quadrado perfeito 400

202 = 400

20 x 20 = 400

7 x 19 = 133

Observação: 19 é o antecessor de 20.

             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
     
19 361 360 120,000 40,000 13,333 4,444
20 400 399 133,000 44,333 14,778 4,926
21 441 440 146,667 48,889 16,296 5,432
             
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Quadrado perfeito 484

222 = 484

22 x 22 = 484

7 x 23 = 161

Observação: 23 é o sucessor de 22.

             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
     
21 441 440 146,667 48,889 16,296 5,432
22 484 483 161,000 53,667 17,889 5,963
23 529 528 176,000 58,667 19,556 6,519
             
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Potências de base 3

Determinados números quadrados perfeitos antecessores e sucessores a uma potência de base 3, subtraídos 1 unidade, divididos sucessivamente por 3, têm como quocientes um dos fatores que multiplicados por 3 resulta em números que são produtos de 2 números primos distintos.

Potência 9

             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
     
1 1 0
2 4 3 1,000 0,333 0,111 0,037
3 9 8 2,667 0,889 0,296 0,099
4 16 15 5,000 1,667 0,556 0,185
5 25 24 8,000 2,667 0,889 0,296
             
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15 : 3 = 5

3 x 5 = 15

3 e 5 são números primos distintos.

D(15): { 1, 3, 5, 15 }

4 divisores, 4 é um número quadrado perfeito.

Interessante observar que o número 5 é sucessor do sucessor de 3, que é o número 4.

Potência 81

             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
     
7 49 48 16,000 5,333 1,778 0,593
8 64 63 21,000 7,000 2,333 0,778
9 81 80 26,667 8,889 2,963 0,988
10 100 99 33,000 11,000 3,667 1,222
11 121 120 40,000 13,333 4,444 1,481
             
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21 : 7 = 3

3 x 7 = 21

3 e 7 são números primos distintos.

D(21): { 1, 3, 7, 21 }

4 divisores, 4 é um número quadrado perfeito.

Interessante observar que o número 7 é antecessor do antecessor de 9, que é o número 8.

 

33 : 11 = 3

3 x 11 = 33

3 e 11 são números primos distintos.

D(33): { 1, 3, 11, 33 }

4 divisores, 4 é um número quadrado perfeito.

Interessante observar que o número 11 é sucessor do sucessor de 9, que é o número 10.

 

Potência 729

             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
     
25 625 624 208,000 69,333 23,111 7,704
26 676 675 225,000 75,000 25,000 8,333
27 729 728 242,667 80,889 26,963 8,988
28 784 783 261,000 87,000 29,000 9,667
29 841 840 280,000 93,333 31,111 10,370
             
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87 : 29 = 3

3 x 29 = 87

3 e 29 são números primos distintos.

D(87): { 1, 3, 29, 87 }

4 divisores, 4 é um número quadrado perfeito.

Interessante observar que o número 29 é sucessor do sucessor de 27, que é o número 28.

Números Quadrados Múltiplos de 3

Determinados números Quadrados Múltiplos de 3 que não são potências de base 3, subtraídos 1 unidade, não são divisíveis por 3, mas as diferenças são produtos de números antecessores com os sucessores à raiz quadrada e que podem ser números primos distintos.

Número 6

             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
             
5 25 24 8,000 2,667 0,889 0,296
6 36 35 11,667 3,889 1,296 0,432
7 49 48 16,000 5,333 1,778 0,593
 
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36 - 1 = 35

5 x 7 = 35

5 e 7 são 2 números primos distintos.

D(35): { 1, 5, 7, 35 }

5 e 7 são respectivamente, antecessor e sucessor da raiz quadrada 6.

             
      primeira segunda terceira quarta
número quadrado menos 1 divisão divisão divisão divisão
por 3 por 3 por 3 por 3
     
11 121 120 40,000 13,333 4,444 1,481
12 144 143 47,667 15,889 5,296 1,765
13 169 168 56,000 18,667 6,222 2,074
             
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144 - 1 = 143

11 x 13 = 143

11 e 13 são 2 números primos distintos.

D(143): { 1, 11, 13, 143 }

11 e 13 são respectivamente, antecessor e sucessor da raiz quadrada 12.

 

Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - julho/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

[1] SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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