O presente estudo demonstra que determinados números quadrados perfeitos antecessores e sucessores a uma potência de base 3, subtraídos 1 unidade, divididos sucessivamente por 3, têm como quocientes um dos fatores que multiplicados por 3 resulta em números que são produtos de 2 números primos distintos.
O estudo aborda também outros números quadrados perfeitos, bem como, múltiplos de 3 que não são potências de base 3 e que apresentam propriedades semelhantes às citadas acima.
Números Quadrados Perfeitos subtraídos 1 unidade geram Números Quase Quadrados Perfeitos.
O produto de 2 números ímpares distintos tem como resultado um número (base) cuja quantidade de divisores são em números quadrados perfeitos.
Números (bases) e suas potências que possuem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos são possíveis de se contruirem quadrados mágicos multiplicativos sequenciais.[1]
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
A tabela a seguir apresenta alguns produtos de 2 números primos distintos e suas relações com números quase quadrados perfeitos, bem como, com números quadrados perfeitos.
| Produtos de 2 | |||
| Números Primos Distintos | |||
| 3 x 7 = 21 | 3 x 21 = 63 | 63 + 1 = 64 | √64 = 7 + 1 |
| 5 x 17 = 85 | 3 x 85 = 255 | 255 + 1 = 256 | √256 = 17 - 1 |
| 3 x 11 = 33 | 3 x 33 = 99 | 99 + 1 = 100 | √100 = 11 - 1 |
| 7 x 19 = 133 | 3 x 133 = 399 | 399 + 1 = 400 | √400 = 19 + 1 |
| 7 x 23 = 161 | 3 x 161 = 483 | 483 + 1 = 484 | √484 = 23 - 1 |
| 11 x 31 = 341 | 3 x 341 = 1.023 | 1023 + 1 = 1024 | √1024 = 31 + 1 |
| 13 x 37 = 481 | 3 x 481 = 1.443 | 1.443 +1 = 1.444 | √1.444 = 37 + 1 |
| 13 x 41 = 533 | 3 x 533 = 1.599 | 1.599 + 1 = 1600 | √1600 = 41 - 1 |
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A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros números quadrados perfeitos, subtraídos 1 unidade e divididos sucessivamente por 3.
| Números Quadrados Perfeitos | ||||||
| e | ||||||
| Múltiplos de 3 | ||||||
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 1 | 1 | 0 | ||||
| 2 | 4 | 3 | 1,000 | 0,333 | 0,111 | 0,037 |
| 3 | 9 | 8 | 2,667 | 0,889 | 0,296 | 0,099 |
| 4 | 16 | 15 | 5,000 | 1,667 | 0,556 | 0,185 |
| 5 | 25 | 24 | 8,000 | 2,667 | 0,889 | 0,296 |
| 6 | 36 | 35 | 11,667 | 3,889 | 1,296 | 0,432 |
| 7 | 49 | 48 | 16,000 | 5,333 | 1,778 | 0,593 |
| 8 | 64 | 63 | 21,000 | 7,000 | 2,333 | 0,778 |
| 9 | 81 | 80 | 26,667 | 8,889 | 2,963 | 0,988 |
| 10 | 100 | 99 | 33,000 | 11,000 | 3,667 | 1,222 |
| 11 | 121 | 120 | 40,000 | 13,333 | 4,444 | 1,481 |
| 12 | 144 | 143 | 47,667 | 15,889 | 5,296 | 1,765 |
| 13 | 169 | 168 | 56,000 | 18,667 | 6,222 | 2,074 |
| 14 | 196 | 195 | 65,000 | 21,667 | 7,222 | 2,407 |
| 15 | 225 | 224 | 74,667 | 24,889 | 8,296 | 2,765 |
| 16 | 256 | 255 | 85,000 | 28,333 | 9,444 | 3,148 |
| 17 | 289 | 288 | 96,000 | 32,000 | 10,667 | 3,556 |
| 18 | 324 | 323 | 107,667 | 35,889 | 11,963 | 3,988 |
| 19 | 361 | 360 | 120,000 | 40,000 | 13,333 | 4,444 |
| 20 | 400 | 399 | 133,000 | 44,333 | 14,778 | 4,926 |
| 21 | 441 | 440 | 146,667 | 48,889 | 16,296 | 5,432 |
| 22 | 484 | 483 | 161,000 | 53,667 | 17,889 | 5,963 |
| 23 | 529 | 528 | 176,000 | 58,667 | 19,556 | 6,519 |
| 24 | 576 | 575 | 191,667 | 63,889 | 21,296 | 7,099 |
| 25 | 625 | 624 | 208,000 | 69,333 | 23,111 | 7,704 |
| 26 | 676 | 675 | 225,000 | 75,000 | 25,000 | 8,333 |
| 27 | 729 | 728 | 242,667 | 80,889 | 26,963 | 8,988 |
| 28 | 784 | 783 | 261,000 | 87,000 | 29,000 | 9,667 |
| 29 | 841 | 840 | 280,000 | 93,333 | 31,111 | 10,370 |
| 30 | 900 | 899 | 299,667 | 99,889 | 33,296 | 11,099 |
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Determinada potência de base 2 que é quadrado perfeito, subtraída 1 unidade, dividida sucessivamente por 3, têm como último quociente, um número que é produto de 2 números primos distintos.
Exemplo1)
28 = 256
16 x 16 = 256
5 x 17 = 85
Observação: 17 é o sucessor de 16.
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 15 | 225 | 224 | 74,667 | 24,889 | 8,296 | 2,765 |
| 16 | 256 | 255 | 85,000 | 28,333 | 9,444 | 3,148 |
| 17 | 289 | 288 | 96,000 | 32,000 | 10,667 | 3,556 |
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Exemplo2)
210 = 1024
32 x 32 = 1024
11 x 31 = 341
Observação: 31 é o antecessor de 32
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 31 | 961 | 960 | 320,000 | 106,667 | 35,556 | 11,852 |
| 32 | 1024 | 1023 | 341,000 | 113,667 | 37,889 | 12,630 |
| 33 | 1089 | 1088 | 362,667 | 120,889 | 40,296 | 13,432 |
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202 = 400
20 x 20 = 400
7 x 19 = 133
Observação: 19 é o antecessor de 20.
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 19 | 361 | 360 | 120,000 | 40,000 | 13,333 | 4,444 |
| 20 | 400 | 399 | 133,000 | 44,333 | 14,778 | 4,926 |
| 21 | 441 | 440 | 146,667 | 48,889 | 16,296 | 5,432 |
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222 = 484
22 x 22 = 484
7 x 23 = 161
Observação: 23 é o sucessor de 22.
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 21 | 441 | 440 | 146,667 | 48,889 | 16,296 | 5,432 |
| 22 | 484 | 483 | 161,000 | 53,667 | 17,889 | 5,963 |
| 23 | 529 | 528 | 176,000 | 58,667 | 19,556 | 6,519 |
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Determinados números quadrados perfeitos antecessores e sucessores a uma potência de base 3, subtraídos 1 unidade, divididos sucessivamente por 3, têm como quocientes um dos fatores que multiplicados por 3 resulta em números que são produtos de 2 números primos distintos.
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 1 | 1 | 0 | ||||
| 2 | 4 | 3 | 1,000 | 0,333 | 0,111 | 0,037 |
| 3 | 9 | 8 | 2,667 | 0,889 | 0,296 | 0,099 |
| 4 | 16 | 15 | 5,000 | 1,667 | 0,556 | 0,185 |
| 5 | 25 | 24 | 8,000 | 2,667 | 0,889 | 0,296 |
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15 : 3 = 5
3 x 5 = 15
3 e 5 são números primos distintos.
D(15): { 1, 3, 5, 15 }
4 divisores, 4 é um número quadrado perfeito.
Interessante observar que o número 5 é sucessor do sucessor de 3, que é o número 4.
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 7 | 49 | 48 | 16,000 | 5,333 | 1,778 | 0,593 |
| 8 | 64 | 63 | 21,000 | 7,000 | 2,333 | 0,778 |
| 9 | 81 | 80 | 26,667 | 8,889 | 2,963 | 0,988 |
| 10 | 100 | 99 | 33,000 | 11,000 | 3,667 | 1,222 |
| 11 | 121 | 120 | 40,000 | 13,333 | 4,444 | 1,481 |
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21 : 7 = 3
3 x 7 = 21
3 e 7 são números primos distintos.
D(21): { 1, 3, 7, 21 }
4 divisores, 4 é um número quadrado perfeito.
Interessante observar que o número 7 é antecessor do antecessor de 9, que é o número 8.
33 : 11 = 3
3 x 11 = 33
3 e 11 são números primos distintos.
D(33): { 1, 3, 11, 33 }
4 divisores, 4 é um número quadrado perfeito.
Interessante observar que o número 11 é sucessor do sucessor de 9, que é o número 10.
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 25 | 625 | 624 | 208,000 | 69,333 | 23,111 | 7,704 |
| 26 | 676 | 675 | 225,000 | 75,000 | 25,000 | 8,333 |
| 27 | 729 | 728 | 242,667 | 80,889 | 26,963 | 8,988 |
| 28 | 784 | 783 | 261,000 | 87,000 | 29,000 | 9,667 |
| 29 | 841 | 840 | 280,000 | 93,333 | 31,111 | 10,370 |
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87 : 29 = 3
3 x 29 = 87
3 e 29 são números primos distintos.
D(87): { 1, 3, 29, 87 }
4 divisores, 4 é um número quadrado perfeito.
Interessante observar que o número 29 é sucessor do sucessor de 27, que é o número 28.
Determinados números Quadrados Múltiplos de 3 que não são potências de base 3, subtraídos 1 unidade, não são divisíveis por 3, mas as diferenças são produtos de números antecessores com os sucessores à raiz quadrada e que podem ser números primos distintos.
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 5 | 25 | 24 | 8,000 | 2,667 | 0,889 | 0,296 |
| 6 | 36 | 35 | 11,667 | 3,889 | 1,296 | 0,432 |
| 7 | 49 | 48 | 16,000 | 5,333 | 1,778 | 0,593 |
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36 - 1 = 35
5 x 7 = 35
5 e 7 são 2 números primos distintos.
D(35): { 1, 5, 7, 35 }
5 e 7 são respectivamente, antecessor e sucessor da raiz quadrada 6.
| primeira | segunda | terceira | quarta | |||
| número | quadrado | menos 1 | divisão | divisão | divisão | divisão |
| por 3 | por 3 | por 3 | por 3 | |||
| 11 | 121 | 120 | 40,000 | 13,333 | 4,444 | 1,481 |
| 12 | 144 | 143 | 47,667 | 15,889 | 5,296 | 1,765 |
| 13 | 169 | 168 | 56,000 | 18,667 | 6,222 | 2,074 |
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144 - 1 = 143
11 x 13 = 143
11 e 13 são 2 números primos distintos.
D(143): { 1, 11, 13, 143 }
11 e 13 são respectivamente, antecessor e sucessor da raiz quadrada 12.
Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - julho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
[1] SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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