A operação matemática Potenciação / Exponenciação representa uma multiplicação em que os fatores são iguais, isto é, quando temos que multiplicar um numero por ele mesmo tantas vezes o necessário.
O presente estudo demonstra que as diferenças entre números quadrados perfeitos de termos de Progressão Geométrica de razão 2 e primeiro termo 3 e potências de base 2 de expoentes ímpares são também quadrados perfeitos de potência de base 2.
a) multiplicação em que os fatores são iguais
2 x 2 = 4
2 x 2 x 2 = 8
b) potênciação / exponenciação sintetiza uma multiplicação em que os fatores são iguais.
22 = 4
23 = 8
c) termos de uma potenciação / exponenciação
2³ = 8
2: base
3: expoente
8: potência
Exemplos de potências de base 2.
Toda base elevada a expoente par tem como resultado um número quadrado perfeito.
20 = 1 (quadrado perfeito)
21 = 2
22 = 4 (quadrado perfeito)
23 = 8
24 = 16 (quadrado perfeito)
Exemplos de potências de base 3.
Toda base elevada a expoente par tem como resultado um número quadrado perfeito
30 = 1 (quadrado perfeito)
31 = 3
32 = 9 (quadrado perfeito)
33 = 27
34 = 81 (quadrado perfeito)
Toda base elevada a expoente ímpar não tem como resultado um número quadrado perfeito.
A presente tabela apresenta as 25 primeiras potências de base 2 elevadas a expoentes ímpares.
| Potências de Base 2 | ||||
| de expoentes ímpares | ||||
| ordem / | base | expoente | potência | |
| posição | 2 | ímpar | ||
| 1 | 2 | 1 | = | 2 |
| 2 | 2 | 3 | = | 8 |
| 3 | 2 | 5 | = | 32 |
| 4 | 2 | 7 | = | 128 |
| 5 | 2 | 9 | = | 512 |
| 6 | 2 | 11 | = | 2048 |
| 7 | 2 | 13 | = | 8192 |
| 8 | 2 | 15 | = | 32768 |
| 9 | 2 | 17 | = | 131072 |
| 10 | 2 | 19 | = | 524288 |
| 11 | 2 | 21 | = | 2097152 |
| 12 | 2 | 23 | = | 8388608 |
| 13 | 2 | 25 | = | 33554432 |
| 14 | 2 | 27 | = | 134217728 |
| 15 | 2 | 29 | = | 536870912 |
| 16 | 2 | 31 | = | 2147483648 |
| 17 | 2 | 33 | = | 8589934592 |
| 18 | 2 | 35 | = | 34359738368 |
| 19 | 2 | 37 | = | 1,37439E+11 |
| 20 | 2 | 39 | = | 5,49756E+11 |
| 21 | 2 | 41 | = | 2,19902E+12 |
| 22 | 2 | 43 | = | 8,79609E+12 |
| 23 | 2 | 45 | = | 3,51844E+13 |
| 24 | 2 | 47 | 1,40737E+14 | |
| 25 | 2 | 49 | 5,6295E+14 | |
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Partindo-se de:
a) 23 = 8
A potência 8 está a 1 unidade do quadrado perfeito 9.
b) 25 = 32
A potência 32 está a 4 unidades do quadrado perfeito 36.
c) 27 = 128
A potência 128 está a 16 unidades do quadrado perfeito 144.
Observa-se 1, 4, 16,... são potências de base 2 e também números quadrados perfeitos.
| Potências de Base 2 | ||||
| de expoentes ímpares | ||||
| ordem / | base | expoente | potência | |
| posição | 2 | ímpar | ||
| 1 | 2 | 1 | = | 2 |
| 2 | 2 | 3 | = | 8 |
| 3 | 2 | 5 | = | 32 |
| 4 | 2 | 7 | = | 128 |
| 5 | 2 | 9 | = | 512 |
| 6 | 2 | 11 | = | 2048 |
| 7 | 2 | 13 | = | 8192 |
| 8 | 2 | 15 | = | 32768 |
| 9 | 2 | 17 | = | 131072 |
| 10 | 2 | 19 | = | 524288 |
| 11 | 2 | 21 | = | 2097152 |
| 12 | 2 | 23 | = | 8388608 |
| 13 | 2 | 25 | = | 33554432 |
| 14 | 2 | 27 | = | 134217728 |
| 15 | 2 | 29 | = | 536870912 |
| 16 | 2 | 31 | = | 2147483648 |
| 17 | 2 | 33 | = | 8589934592 |
| 18 | 2 | 35 | = | 34359738368 |
| 19 | 2 | 37 | = | 1,37439E+11 |
| 20 | 2 | 39 | = | 5,49756E+11 |
| 21 | 2 | 41 | = | 2,19902E+12 |
| 22 | 2 | 43 | = | 8,79609E+12 |
| 23 | 2 | 45 | = | 3,51844E+13 |
| 24 | 2 | 47 | 1,40737E+14 | |
| 25 | 2 | 49 | 5,6295E+14 | |
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A presenta tabela apresenta os 18 primeiros termos de Progressão Geométrica de razão 2 e primeiro termo 3 e seus respectivos quadrados perfeitos com as seguintes regularidades numéricas com potências de base 2 de expoentes ímpares:
| (diferença) | ||||
| ordem / | P.G. | Quadrado | Potência de | Potência de |
| posição | razão | Perfeito | Base 2 | Base 2 |
| 2 | (quadrados | |||
| perfeitos) | ||||
| 1 | 3 | 9 | 8 | 1 |
| 2 | 6 | 36 | 32 | 4 |
| 3 | 12 | 144 | 128 | 16 |
| 4 | 24 | 576 | 512 | 64 |
| 5 | 48 | 2304 | 2048 | 256 |
| 6 | 96 | 9216 | 8192 | 1024 |
| 7 | 192 | 36864 | 32768 | 4096 |
| 8 | 384 | 147456 | 131072 | 16384 |
| 9 | 768 | 589824 | 524288 | 65536 |
| 10 | 1536 | 2359296 | 2097152 | 262144 |
| 11 | 3072 | 9437184 | 8388608 | 1048576 |
| 12 | 6144 | 37748736 | 33554432 | 4194304 |
| 13 | 12288 | 150994944 | 134217728 | 16777216 |
| 14 | 24576 | 603979776 | 536870912 | 67108864 |
| 15 | 49152 | 2415919104 | 2147483648 | 268435456 |
| 16 | 98304 | 9663676416 | 8589934592 | 1073741824 |
| 17 | 196608 | 38654705664 | 34359738368 | 4294967296 |
| 18 | 393216 | 1,54619E+11 | 1,37439E+11 | 17179869184 |
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a) cada termo da P.G. é produto do número 3 por uma potência de base 2;
Exemplos:
1 x 3 = 3
2 x 3 = 6
4 x 3 = 12
b) cada termos da P.G dividido por 3 tem como resultado uma potência de base 2
Exemplos:
3 : 3 = 1
6 : 3 = 2
12 : 3 = 4
c) a diferença entre um quadrado perfeito gerado de uma (PG de razão 2 - primeiro termo 3) e uma potência de base 2 de expoente ímpar é um quadrado perfeito de potência de base 2.
Exemplos:
9 - 8 = 1 (potência de base 2)
36 - 32 = 4 (potência de base 2)
144 - 128 = 16 (potência de base 2)
Autor: Ricardo Silva - novembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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