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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potências de Base 2 de Expoentes Ímpares e Números Quadrados Perfeitos - 520

A operação matemática Potenciação / Exponenciação representa uma multiplicação em que os fatores são iguais, isto é, quando temos que multiplicar um numero por ele mesmo tantas vezes o necessário.

O presente estudo demonstra que as diferenças entre números quadrados perfeitos de termos de Progressão Geométrica de razão 2 e primeiro termo 3 e potências de base 2 de expoentes ímpares são também quadrados perfeitos de potência de base 2.

Potências de Base 2 de Expoentes Ímpares e Números Quadrados Perfeitos

Potênciação / Exponenciação

a) multiplicação em que os fatores são iguais

2 x 2 = 4

2 x 2 x 2 = 8

b) potênciação / exponenciação sintetiza uma multiplicação em que os fatores são iguais.

22 = 4

23 = 8

c) termos de uma potenciação / exponenciação

2³ = 8

2: base

3: expoente

8: potência

Potências de base 2

Exemplos de potências de base 2.

Toda base elevada a expoente par tem como resultado um número quadrado perfeito.

20 = 1 (quadrado perfeito)

 

21 = 2

 

22 = 4 (quadrado perfeito)

 

23 = 8

 

24 = 16 (quadrado perfeito)

Potências de base 3

Exemplos de potências de base 3.

Toda base elevada a expoente par tem como resultado um número quadrado perfeito

30 = 1 (quadrado perfeito)

 

31 = 3

 

32 = 9 (quadrado perfeito)

 

33 = 27

 

34 = 81 (quadrado perfeito)

Potências de base 2 de expoentes ímpares

Toda base elevada a expoente ímpar não tem como resultado um número quadrado perfeito.

A presente tabela apresenta as 25 primeiras potências de base 2 elevadas a expoentes ímpares.

Potências de Base 2
de expoentes ímpares
         
ordem / base expoente   potência
posição 2 ímpar    
         
1 2 1 = 2
2 2 3 = 8
3 2 5 = 32
4 2 7 = 128
5 2 9 = 512
6 2 11 = 2048
7 2 13 = 8192
8 2 15 = 32768
9 2 17 = 131072
10 2 19 = 524288
11 2 21 = 2097152
12 2 23 = 8388608
13 2 25 = 33554432
14 2 27 = 134217728
15 2 29 = 536870912
16 2 31 = 2147483648
17 2 33 = 8589934592
18 2 35 = 34359738368
19 2 37 = 1,37439E+11
20 2 39 = 5,49756E+11
21 2 41 = 2,19902E+12
22 2 43 = 8,79609E+12
23 2 45 = 3,51844E+13
24 2 47 1,40737E+14
25 2 49 5,6295E+14
       
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Partindo-se de:

a) 23 = 8

A potência 8 está a 1 unidade do quadrado perfeito 9.

 

b) 25 = 32

A potência 32 está a 4 unidades do quadrado perfeito 36.

c) 27 = 128

A potência 128 está a 16 unidades do quadrado perfeito 144.

Observa-se 1, 4, 16,... são potências de base 2 e também números quadrados perfeitos.

Potências de Base 2
de expoentes ímpares
         
ordem / base expoente   potência
posição 2 ímpar    
         
1 2 1 = 2
2 2 3 = 8
3 2 5 = 32
4 2 7 = 128
5 2 9 = 512
6 2 11 = 2048
7 2 13 = 8192
8 2 15 = 32768
9 2 17 = 131072
10 2 19 = 524288
11 2 21 = 2097152
12 2 23 = 8388608
13 2 25 = 33554432
14 2 27 = 134217728
15 2 29 = 536870912
16 2 31 = 2147483648
17 2 33 = 8589934592
18 2 35 = 34359738368
19 2 37 = 1,37439E+11
20 2 39 = 5,49756E+11
21 2 41 = 2,19902E+12
22 2 43 = 8,79609E+12
23 2 45 = 3,51844E+13
24 2 47 1,40737E+14
25 2 49 5,6295E+14
       
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P.G. de razão 2 e primeiro termo 3

A presenta tabela apresenta os 18 primeiros termos de Progressão Geométrica de razão 2 e primeiro termo 3 e seus respectivos quadrados perfeitos com as seguintes regularidades numéricas com potências de base 2 de expoentes ímpares:

         
        (diferença)
         
ordem / P.G. Quadrado Potência de Potência de
posição razão Perfeito Base 2 Base 2
  2     (quadrados
        perfeitos)
         
1 3 9 8 1
2 6 36 32 4
3 12 144 128 16
4 24 576 512 64
5 48 2304 2048 256
6 96 9216 8192 1024
7 192 36864 32768 4096
8 384 147456 131072 16384
9 768 589824 524288 65536
10 1536 2359296 2097152 262144
11 3072 9437184 8388608 1048576
12 6144 37748736 33554432 4194304
13 12288 150994944 134217728 16777216
14 24576 603979776 536870912 67108864
15 49152 2415919104 2147483648 268435456
16 98304 9663676416 8589934592 1073741824
17 196608 38654705664 34359738368 4294967296
18 393216 1,54619E+11 1,37439E+11 17179869184
         
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a) cada termo da P.G. é produto do número 3 por uma potência de base 2;

Exemplos:

1 x 3 = 3

2 x 3 = 6

4 x 3 = 12

b) cada termos da P.G dividido por 3 tem como resultado uma potência de base 2

Exemplos:

3 : 3 = 1

6 : 3 = 2

12 : 3 = 4

c) a diferença entre um quadrado perfeito gerado de uma (PG de razão 2 - primeiro termo 3) e uma potência de base 2 de expoente ímpar é um quadrado perfeito de potência de base 2.

Exemplos:

9 - 8 = 1 (potência de base 2)

36 - 32 = 4 (potência de base 2)

144 - 128 = 16 (potência de base 2)

Autor: Ricardo Silva - novembro/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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