Números triangulares, também denominados de números figurados ou geométricos, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas como triângulos.
O presente estudo demonstra que somas constantes de duplas de números triangulares consecutivos apresentam em seus resultados potências de um número natural.
Pode-se obter números triangulares através:
a) de arranjos de pontos;
b) da soma de números consecutivos.
progressão aritmética (razão 1): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
c) da fórmula algébrica
| n x ( n + 1) |
| _________ |
| 2 |
Pode-se obter números quadrados perfeitos através:
a) de arranjos de pontos;
b) da multiplicação de um número por ele mesmo;
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
c) da soma de números ímpares consecutivos.
progressão aritmética (razão 2): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...
1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
d) elevando-se um número ao expoente 2.
12 = 1
22 = 4
32 = 9
Pode-se também obter números quadrados perfeitos através da soma de dois números triangulares consecutivos.
1 + 3 = 4
3 + 6 = 9
6 + 10 = 16
Números quadrados perfeitos também podem ser obtidos por meio das soma de outros dois números naturais.
Interessante observar que as parcelas formam duplas de números correspondentes e, entre as duplas, números triangulares consecutivos.
a)
0 + 4 = 4
1 + 3 = 4 ( 1 e 3 são números triangulares )
2 + 2 = 4
b)
0 + 9 = 9
1 + 8 = 9
2 + 7 = 9
3 + 6 = 9 ( 3 e 6 são números triangulares )
b)
0 + 16 = 16
1 + 15 = 16
2 + 14 = 16
3 + 13 = 16
4 + 12 = 16
5 + 11 = 16
6 + 10 = 16 ( 6 e 10 são números triangulares )
7 + 9 = 16
8 + 8 + 16
Para mais informações, veja:
011-estudos-497-numeros-quadrados-perfeitos-e-numeros-atraentes
A soma de duplas com os números triangulares consecutivos 1 e 3 têm como resultados números pares e, entre eles, potências de base 2.
Interessante observar que quando a quantidade de duplas é uma potência de base 2, a soma de duplas com os triangulares consecutivos 1 e 3 é também uma potência de base 2.
| Potências de base 2 | |||||||||||||
| e os triangualres consecutivos 1 e 3 | |||||||||||||
| quantidade | |||||||||||||
| duplas | triangulares | soma | |||||||||||
| 1 | 1 | 3 | 4 | ||||||||||
| 2 | 1 | 3 | 1 | 3 | 8 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 12 | ||||||
| 4 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 16 | ||||
| 5 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 20 | ||
| 6 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 24 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||||||||||
Partindo-se das regularidades demonstradas na tabela acima, podemos formar expressões numéricas e obter potências de base 2 sequêncialmente.
(1 x 1) + (1 x 3) = 1 + 3 = 4
(2 x 1) + (2 x 3) = 2 + 6 = 8
(4 x 1) + (4 x 3) = 4 + 12 = 16
(8 x 1) + (8 x 3) = 8 + 24 = 32
(16 x 1) + (16 x 3) = 16 + 48 = 64
A soma de duplas com os números triangulares consecutivos 3 e 6 têm como resultados números ímpares e pares e, entre eles, potências de base 3.
Interessante observar que quando a quantidade de duplas é uma potência de base 3, a soma de duplas com os triangulares consecutivos 3 e 6 é também uma potência de base 3.
| Potências de base 3 | |||||||||||||||||||
| e os triangualres 3 e 6 | |||||||||||||||||||
| quantidade | soma | ||||||||||||||||||
| duplas | triangulares | ||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 6 | 9 | ||||||||||||||||
| 2 | 3 | 6 | 3 | 6 | 18 | ||||||||||||||
| 3 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 27 | ||||||||||||
| 4 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 36 | ||||||||||
| 5 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 45 | ||||||||
| 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 54 | ||||||
| 7 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 63 | ||||
| 8 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 72 | ||
| 9 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 81 |
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Partindo-se das regularidades demonstradas na tabela acima, podemos formar expressões numéricas e obter potências de base 3 sequêncialmente.
(1 x 3) + (1 x 6) = 3 + 6 = 9
(3 x 3) + (3 x 6) = 9 + 18 = 27
(9 x 3) + (9 x 6) = 27 + 54 = 81
Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - dezembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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