Números Perfeitos são números cujas soma de seus divisores próprios, exceto o próprio número, tem como resultado o próprio número.
Todo número perfeito é um número triangular, mas nem todo número triangular é número perfeito.
Números Perfeitos estão estritamente relacionados às potências de base 2 e a números primos.
O presente estudo demonstra um interessante método de se gerar números triangulares e, entre eles, números perfeitos por meio do dobro de um número quadrado perfeito menos a sua raiz quadrada.
Método este que apresenta relações diretas com ordens / posições de Números Primos de Mersenne, bem como, com potências de base, númereos retangulares, números triangulares, etc.
A tabela a seguir apresenta os 20 primeiros produtos de 2 números consecutivos.
O produto de 2 números consecutivos tem como resultado um número retangular.
Número retangular dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
O primeiro fator de dois números consecutivos é também a ordem / posição de um número triangular.
Número triangular cuja ordem / posição é ímpar é divisível por esta ordem / posição.
Exemplos:
1 : 1 = 1
6 : 3 = 2
15 : 5 = 3
Número triangular cuja ordem / posição é par não é divisível por esta ordem / posição.
Exemplos:
3 não é divisível por 2
10 não é divisível por 4
21 não é divisível por 6
Os números 6 e 28 são números triangulares e perfeitos e suas ordens / posições são ímpares e Primos de Mersenne, respectivamente 3 e 7.
| Produto de | ||||
| 2 números consecutivos | ||||
| quociente | ||||
| números | número | divisão | número | |
| consecutivos | retangular | por 2 | triangular | |
| 1 | 2 | 2 | 2 | 1 |
| 2 | 3 | 6 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 12 | 2 | 6 |
| 4 | 5 | 20 | 2 | 10 |
| 5 | 6 | 30 | 2 | 15 |
| 6 | 7 | 42 | 2 | 21 |
| 7 | 8 | 56 | 2 | 28 |
| 8 | 9 | 72 | 2 | 36 |
| 9 | 10 | 90 | 2 | 45 |
| 10 | 11 | 110 | 2 | 55 |
| 11 | 12 | 132 | 2 | 66 |
| 12 | 13 | 156 | 2 | 78 |
| 13 | 14 | 182 | 2 | 91 |
| 14 | 15 | 210 | 2 | 105 |
| 15 | 16 | 240 | 2 | 120 |
| 16 | 17 | 272 | 2 | 136 |
| 17 | 18 | 306 | 2 | 153 |
| 18 | 19 | 342 | 2 | 171 |
| 19 | 20 | 380 | 2 | 190 |
| 20 | 21 | 420 | 2 | 210 |
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A tabela a seguir apresenta os 20 primeiros dobros de números quadrados perfeitos menos suas raízes quadradas.
Os dobros de quadrados perfeitos menos a suas raízes quadradas geram sequencialmente números triangulares cujas ordens / posições são ímpares.
Os números triangulares e perfeitos 6, 28 e 496 são de ordens / posições ímpares e Primos de Mersenne, respectivamente 3, 7 e 31.
Interessante observar que raízes quadradas de potências de base 2 se alinham naturalmente com Números Primos de Mersenne.
2 se alinha com 3, veja que 2 x 3 = 6
4 se alinha com 7, veja que 4 x 7 = 28
16 se alinha com 31, veja que 16 x 31 = 496
| Dobro de um quadrado | |||||
| menos a sua raiz quadrada | |||||
| número | quadrado | dobro | raiz | diferença | ordem/ |
| raiz | perfeito | quadrado | quadrada | triangular | posição |
| 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 | 2 | 6 | 3 |
| 3 | 9 | 18 | 3 | 15 | 5 |
| 4 | 16 | 32 | 4 | 28 | 7 |
| 5 | 25 | 50 | 5 | 45 | 9 |
| 6 | 36 | 72 | 6 | 66 | 11 |
| 7 | 49 | 98 | 7 | 91 | 13 |
| 8 | 64 | 128 | 8 | 120 | 15 |
| 9 | 81 | 162 | 9 | 153 | 17 |
| 10 | 100 | 200 | 10 | 190 | 19 |
| 11 | 121 | 242 | 11 | 231 | 21 |
| 12 | 144 | 288 | 12 | 276 | 23 |
| 13 | 169 | 338 | 13 | 325 | 25 |
| 14 | 196 | 392 | 14 | 378 | 27 |
| 15 | 225 | 450 | 15 | 435 | 29 |
| 16 | 256 | 512 | 16 | 496 | 31 |
| 17 | 289 | 578 | 17 | 561 | 33 |
| 18 | 324 | 648 | 18 | 630 | 35 |
| 19 | 361 | 722 | 19 | 703 | 37 |
| 20 | 400 | 800 | 20 | 780 | 39 |
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A seguinte fórmula gera números triangulares cujas ordens / posição são ímpares.
| 2 x n2 - n |
A tabela a seguir apresenta os 20 primeiros dobros de quadrados perfeitos de potências de base 2.
Os dobros de quadrados perfeitos de potências de 2 menos suas raízes quadradas têm como resultados números triangulares e entre eles números triangulares perfeitos.
Interessante observar que os números triangulares perfeitos estão alinhados com raízes quadradas que quando multiplicadas por Números Primos de Mersenne geram estes próprios números triangulares perfeitos.
2 x 3 ( Primo de Mersenne ) = 6
4 x 7 ( Primo de Mersenne ) = 28
16 x 31 ( Primo de Mersenne ) = 496
64 x 127 ( Primo de Mersenne ) = 8128
4096 x 8191 ( Primo de Mersenne ) = 33550336
65536 x 131071 = ( Primo de Mersenne ) 8589869056
Observações importantes:
a) Número Primo de Mersenne é 1 unidade menor que uma potência de base 2;
4 - 1 = 3
8 - 1 = 7
32 - 1 = 31
b) Número Primo de Mersenne corresponde a soma dos divisores próprios de uma potência de base 2.
D(4): { 1, 2, 4 }
1 + 2 = 3
D(8): { 1, 2, 4, 8 }
1 + 2 + 4 = 7
D(32): { 1, 2, 4, 8, 16, 32 }
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
| Dobro de um quadrado | ||||
| de uma potência de base 2 | ||||
| menos a sua raiz quadrada | ||||
| ordem/ | número | quadrado | dobro | diferença |
| posição | raiz | potência de base 2 | quadrado | |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 6 |
| 2 | 4 | 16 | 32 | 28 |
| 3 | 8 | 64 | 128 | 120 |
| 4 | 16 | 256 | 512 | 496 |
| 5 | 32 | 1024 | 2048 | 2016 |
| 6 | 64 | 4096 | 8192 | 8128 |
| 7 | 128 | 16384 | 32768 | 32640 |
| 8 | 256 | 65536 | 131072 | 130816 |
| 9 | 512 | 262144 | 524288 | 523776 |
| 10 | 1024 | 1048576 | 2097152 | 2096128 |
| 11 | 2048 | 4194304 | 8388608 | 8386560 |
| 12 | 4096 | 16777216 | 33554432 | 33550336 |
| 13 | 8192 | 67108864 | 134217728 | 134209536 |
| 14 | 16384 | 268435456 | 536870912 | 536854528 |
| 15 | 32768 | 1073741824 | 2147483648 | 2147450880 |
| 16 | 65536 | 4294967296 | 8589934592 | 8589869056 |
| 17 | 131072 | 17179869184 | 34359738368 | 34359607296 |
| 18 | 262144 | 68719476736 | 1,37439E+11 | 1,37439E+11 |
| 19 | 524288 | 2,74878E+11 | 5,49756E+11 | 5,49755E+11 |
| 20 | 1048576 | 1,09951E+12 | 2,19902E+12 | 2,19902E+12 |
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A tabela a seguir demonstra o perfeito alinhamento de Potências de base 2 e Números Primos de Mersenne com os Números Perfeitos.
Interessante ressaltar novamente que:
a) Números de Mersenne são 1 unidade menor que uma potência de base 2;
b) Números de Mersenne corresponde ao dobro de uma potência de base 2 sucessora menos 1 unidade.
| Potências de base 2 | ||
| Primos de Mersenne e Números Perfeitos | ||
| Potências | Números | Triangulares |
| base 2 | de Mersenne | Perfeitos |
| 2 | 3 | 6 |
| 4 | 7 | 28 |
| 8 | 15 | 120 |
| 16 | 31 | 496 |
| 32 | 63 | 2016 |
| 64 | 127 | 8128 |
| 128 | 255 | 32640 |
| 256 | 511 | 130816 |
| 512 | 1023 | 523776 |
| 1024 | 2047 | 2096128 |
| 2048 | 4095 | 8386560 |
| 4096 | 8191 | 33550336 |
| 8192 | 16383 | 134209536 |
| 16384 | 32767 | 536854528 |
| 32768 | 65535 | 2147450880 |
| 65536 | 131071 | 8589869056 |
| 131072 | 262143 | 34359607296 |
| 262144 | 524287 | 1,37439E+11 |
| 524288 | 1048575 | 5,49755E+11 |
| 1048576 | 2097151 | 2,19902E+12 |
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Autor: Ari Costa e Ricardo Silva - março/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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