Números de Fermat são números na forma de 2^2^n + 1, isto é, base 2 elevada a uma potência de 2 somada 1 unidade.
Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado, entusiasta matemático e cientista francês, em carta enviada a Marim Mersenne em 1640, o avisara da tal descoberta.
O presente estudo demonstra um curioso fato relacionado ao Número F5 de Fermat. O fator primo 641 do Número F5 de Fermat é a soma de 2 potências de base 2 de ordens / posições ímpares cuja soma é a metade da ordem / posição do próprio número F5 de Fermat, considerando a sequência de potências de base 2.
A seguir são apresentados cálculos utilizando congruência extraídos de livros e tese de mestrado em relação ao número primo 641:
a) Uma Introdução à Matemática - pág. 110 [1]
3.2.8 Exemplo
Dissemos no fim de 2.7 que Fermat conjeturou que todo número na forma de Fn = 2^2^n + 1 é primo, e que provou que isso é verdade para n = 0, 1, 2, 3, 4. Porém, a afirmação é falsa para n=5 já que Euler provou que F5 é divisível por 641. Veremos como isso pode ser feito usando congruências. Temos que
F5 = 2^2^5 + 1.
Agora,
2^2 = 4
2^4 = 16
2^8 = 256
2^16 = 65 536
Dividindo 65 536 por 641, obtemos um resto igual a 164. Podemos, então, escrever que
2^16 ≡ 154 (mod 641),
donde 2^32 ≡ 154^2 (mod 641).
Agora 154^2 = 23 716, e dividindo por 641 obtemos que 154^2 ≡ 640 (mod 641)
Logo,
2^32 ≡ 640 (mod641)
e
2^32 + 1 ≡ 641 (mod 641),
isto é, 641 (2^32 + 1)"
b) Iniciação à Aritimética, pág. 94 [2]
"6. Euler tinha razão, Fermat estava enganado!
Na Seção 2.4 nos perguntamos se o número 4 294 967 297 era primo ou composto?
De fato, esse número corresponde a n = 5 dos chamados números de Fermat que são da forma:
Fn = 2^2^n + 1
Fermat afirmou que esses números, para qualquer valor natural de n, eram primos e dava como exemplos F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 e F4 = 65 537, que são efetivamente primos.
No entanto, o número F5 = 2^2^5 + 1 = 4 294 967 297 era muito
grande para se poder verificar se era primo ou não.
Euler, estudando a forma dos divisores de um número do tipo de Fn, chegou à conclusão de que se F5 fosse composto, ele deveria ser divisível pelo primo 641.
Euler, um exímio calculista, mostrou que 641 divide F5 com uma verificação semelhante a que segue:1
Observemos inicialmente que 641 = 5 x 2^7 + 1, logo
5 x 2^7 ≡ -1 mod 64.
Elevando à quarta potência ambos os membros da congruência acima,
obtemos
5^4 x 2^28 ≡ 1 mod 641. (4.2)
Por outro lado, da igualdade 641 = 5^4 + 2^4 (verifique!), obtemos que
5^4 ≡ -2^4 mod 641. (4.3)
Juntando (4.2) e (4.3), obtemos que -2^32 ≡ 1 mod 641, o que
implica F5 = 2^32 + 1 ≡ 0 mod 641, donde 641 divide F5. Portanto,
F5 não é primo."
1Fizemos uma adaptação do argumento de Euler, pois no seu tempo ainda não existia a noção de congruência.
c) Números Primos, Monografia [3]
2^2^5 ≡ −1 (641)
641 ≡ 5^4 + 2^4 = 2^7.5 + 1
5^4 ≡ −24 . (641)
2^7 . 5 ≡ −1 (641)
2^28 . 5^4 ≡ (−1)^4 ≡ 1 (641)
−2^32 ≡ 1 (641)
(641) | 2^32 + 1
De fato, temos: F5 = 4.294.967.297 = 641 × 6.700.417
A tabela a seguir apresenta as 32 primeiras potências de base 2, bem como, os 6 primeiros Números de Fermat: 3, 5, 17, 257, 65 537 e 429 496 7297.
| Tabela 1 | ||||
| Potências de base 2 | ||||
| e Números de Fermat | ||||
| base 2 | expoente | potência | mais | Números de |
| base 2 | 1 | Fermat | ||
| 2 | 1 | 2 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 5 |
| 2 | 3 | 8 | 1 | 9 |
| 2 | 4 | 16 | 1 | 17 |
| 2 | 5 | 32 | 1 | 33 |
| 2 | 6 | 64 | 1 | 65 |
| 2 | 7 | 128 | 1 | 129 |
| 2 | 8 | 256 | 1 | 257 |
| 2 | 9 | 512 | 1 | 513 |
| 2 | 10 | 1024 | 1 | 1025 |
| 2 | 11 | 2048 | 1 | 2049 |
| 2 | 12 | 4096 | 1 | 4097 |
| 2 | 13 | 8192 | 1 | 8193 |
| 2 | 14 | 16384 | 1 | 16385 |
| 2 | 15 | 32768 | 1 | 32769 |
| 2 | 16 | 65536 | 1 | 65537 |
| 2 | 17 | 131072 | 1 | 131073 |
| 2 | 18 | 262144 | 1 | 262145 |
| 2 | 19 | 524288 | 1 | 524289 |
| 2 | 20 | 1048576 | 1 | 1048577 |
| 2 | 21 | 2097152 | 1 | 2097153 |
| 2 | 22 | 4194304 | 1 | 4194305 |
| 2 | 23 | 8388608 | 1 | 8388609 |
| 2 | 24 | 16777216 | 1 | 16777217 |
| 2 | 25 | 33554432 | 1 | 33554433 |
| 2 | 26 | 67108864 | 1 | 67108865 |
| 2 | 27 | 134217728 | 1 | 134217729 |
| 2 | 28 | 268435456 | 1 | 268435457 |
| 2 | 29 | 536870912 | 1 | 536870913 |
| 2 | 30 | 1073741824 | 1 | 1073741825 |
| 2 | 31 | 2147483648 | 1 | 2147483649 |
| 2 | 32 | 4294967296 | 1 | 4294967297 |
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A tabela a seguir apresenta a soma de duplas de potências de base 2 de ordens / posições ímpares.
A soma das potências de ordens / posições 7 e 9 respectivamente 2^7 = 128 e 2^9 = 512 é igual a 640.
640 + 1 = 641.
641 é um dos divisores do Número de Fermat F5.
2^32 = 4.294.967.297 (10 dígitos)
D(4.294.967.297)={1, 641, 6.700.417, 4.294.967.297}
A soma das posições 7 + 9 = 16 é a metade da ordem / posição 32 do Número de Fermat 4.294.967.297.
Observação importante:
641 - 1 = 640
640 : 10 = 64
64 é uma potência de base 2
2^6 = 64
| Tabela 2 | ||||||
| Somas de duplas de | ||||||
| potências de base 2 | ||||||
| de ordens / posições ímpares | ||||||
| potência | mais | Números de | soma de | mais | ||
| base 2 | 1 | Fermat | 2 potências | 1 | ||
| (p) primo | ||||||
| 2 | 1 | 3 | 1 | |||
| 4 | 1 | 5 | 10 | 11 | 2 | |
| 8 | 1 | 9 | 3 | |||
| 16 | 1 | 17 | 40 | 41 | 4 | |
| 32 | 1 | 33 | 5 | |||
| 64 | 1 | 65 | 160 | 161 | 6 | |
| 128 | 1 | 129 | 128 | 7 | ||
| 256 | 1 | 257 | 640 | 641 (p) | 8 | |
| 512 | 1 | 513 | 512 | 9 | ||
| 1024 | 1 | 1025 | 2560 | 2561 | 10 | |
| 2048 | 1 | 2049 | 11 | |||
| 4096 | 1 | 4097 | 10240 | 10241 | 12 | |
| 8192 | 1 | 8193 | 13 | |||
| 16384 | 1 | 16385 | 40960 | 40961(p) | 14 | |
| 32768 | 1 | 32769 | 15 | |||
| 65536 | 1 | 65537 | 163840 | 163841(p) | 16 | |
| 131072 | 1 | 131073 | 17 | |||
| 262144 | 1 | 262145 | 655360 | 655361 | 18 | |
| 524288 | 1 | 524289 | 19 | |||
| 1048576 | 1 | 1048577 | 2621440 | 2621441 | 20 | |
| 2097152 | 1 | 2097153 | 21 | |||
| 4194304 | 1 | 4194305 | 10485760 | 10485761 | 22 | |
| 8388608 | 1 | 8388609 | 23 | |||
| 16777216 | 1 | 16777217 | 41943040 | 41943041 | 24 | |
| 33554432 | 1 | 33554433 | 25 | |||
| 67108864 | 1 | 67108865 | 167772160 | 167772161(p) | 26 | |
| 134217728 | 1 | 134217729 | 27 | |||
| 268435456 | 1 | 268435457 | 671088640 | 671088641 | 28 | |
| 536870912 | 1 | 536870913 | 29 | |||
| 1073741824 | 1 | 1073741825 | 2684354560 | 2684354561 | 30 | |
| 2147483648 | 1 | 2147483649 | 31 | |||
| 4294967296 | 1 | 4294967297 | 10737418240 | 10737418241 | 32 | |
| 8589934592 | 8589934593 | 33 | ||||
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As somas de duplas de potências de base 2 de ordens / posições ímpares apresentam as seguintes regularidades numéricas:
a) as somas de duplas de potências de ordens / posições ímpares têm como resultados números terminados em 0 (zero);
b) a soma de duplas de potências de base 2 de ordem / posição ímpares dividida por 10 tem como resultado uma potência de base 2 (número quadrado perfeito);
10 : 10 = 1 (quadra perfeito)
40 : 10 = 4 (quadrado perfeito)
160 : 10 = 16 (quadrado perfeito)
c) as somas de duplas de potências de base 2 de ordens / posições ímpares somadas 1 unidade têm como resultados números ímpares e, entre eles, números primos.
d) as somas de duplas de potências de base 2 são 10 vezes uma potência de base 2, isto é, 10 vezes um quadrado perfeito de potência de base 2.
| Tabela 3 | ||||||
| Somas de duplas de | ||||||
| potências de base 2 | ||||||
| de ordens / posições ímpares | ||||||
| potência | mais | Números de | soma de | mais | ||
| base 2 | 1 | Fermat | 2 potências | 1 | ||
| (p) primo | ||||||
| 2 | 1 | 3 | 1 | |||
| 4 | 1 | 5 | 10 | 11 | 2 | |
| 8 | 1 | 9 | 3 | |||
| 16 | 1 | 17 | 40 | 41 | 4 | |
| 32 | 1 | 33 | 5 | |||
| 64 | 1 | 65 | 160 | 161 | 6 | |
| 128 | 1 | 129 | 128 | 7 | ||
| 256 | 1 | 257 | 640 | 641 (p) | 8 | |
| 512 | 1 | 513 | 512 | 9 | ||
| 1024 | 1 | 1025 | 2560 | 2561 | 10 | |
| 2048 | 1 | 2049 | 11 | |||
| 4096 | 1 | 4097 | 10240 | 10241 | 12 | |
| 8192 | 1 | 8193 | 13 | |||
| 16384 | 1 | 16385 | 40960 | 40961(p) | 14 | |
| 32768 | 1 | 32769 | 15 | |||
| 65536 | 1 | 65537 | 163840 | 163841(p) | 16 | |
| 131072 | 1 | 131073 | 17 | |||
| 262144 | 1 | 262145 | 655360 | 655361 | 18 | |
| 524288 | 1 | 524289 | 19 | |||
| 1048576 | 1 | 1048577 | 2621440 | 2621441 | 20 | |
| 2097152 | 1 | 2097153 | 21 | |||
| 4194304 | 1 | 4194305 | 10485760 | 10485761 | 22 | |
| 8388608 | 1 | 8388609 | 23 | |||
| 16777216 | 1 | 16777217 | 41943040 | 41943041 | 24 | |
| 33554432 | 1 | 33554433 | 25 | |||
| 67108864 | 1 | 67108865 | 167772160 | 167772161(p) | 26 | |
| 134217728 | 1 | 134217729 | 27 | |||
| 268435456 | 1 | 268435457 | 671088640 | 671088641 | 28 | |
| 536870912 | 1 | 536870913 | 29 | |||
| 1073741824 | 1 | 1073741825 | 2684354560 | 2684354561 | 30 | |
| 2147483648 | 1 | 2147483649 | 31 | |||
| 4294967296 | 1 | 4294967297 | 10737418240 | 10737418241 | 32 | |
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As somas de duplas de potências de base 2 de ordens / posições pares apresentam as seguintes regularidades numéricas:
a) as somas de duplas de potências de base 2 de ordens / posições pares têm como resultados números terminados em 0 (zero);
b) a soma de duplas de potências de base 2 de ordem / posição par dividida por 10 tem como resultado uma potência de base 2 (número não quadrado perfeito);
20 : 10 = 2
80 : 10 = 8
320 : 10 = 32
c) as somas de duplas de potências de base 2 de ordens / posições pares somadas 1 unidade têm como resultados números múltiplos de 3.
| Tabela 4 | ||||||
| Soma de duplas de | ||||||
| potências de base 2 | ||||||
| de ordens / posições pares | ||||||
| potência | mais | Números de | soma de | mais | ||
| base 2 | 1 | Fermat | 2 potências | 1 | ||
| 2 | 1 | 3 | 1 | |||
| 4 | 1 | 5 | 2 | |||
| 8 | 1 | 9 | 20 | 21 (3x7) | 3 | |
| 16 | 1 | 17 | 4 | |||
| 32 | 1 | 33 | 80 | 81 (3x27) | 5 | |
| 64 | 1 | 65 | 6 | |||
| 128 | 1 | 129 | x | 320 | 321 (3x107) | 7 |
| 256 | 1 | 257 | 8 | |||
| 512 | 1 | 513 | x | 1280 | 1281 | 9 |
| 1024 | 1 | 1025 | 10 | |||
| 2048 | 1 | 2049 | 5120 | 5121 | 11 | |
| 4096 | 1 | 4097 | 12 | |||
| 8192 | 1 | 8193 | 20480 | 20481 | 13 | |
| 16384 | 1 | 16385 | 14 | |||
| 32768 | 1 | 32769 | 81920 | 81921 | 15 | |
| 65536 | 1 | 65537 | 16 | |||
| 131072 | 1 | 131073 | 327680 | 327681 | 17 | |
| 262144 | 1 | 262145 | 18 | |||
| 524288 | 1 | 524289 | 1310720 | 1310721 | 19 | |
| 1048576 | 1 | 1048577 | 20 | |||
| 2097152 | 1 | 2097153 | 5242880 | 5242881 | 21 | |
| 4194304 | 1 | 4194305 | 22 | |||
| 8388608 | 1 | 8388609 | 20971520 | 20971521 | 23 | |
| 16777216 | 1 | 16777217 | 24 | |||
| 33554432 | 1 | 33554433 | 83886080 | 83886081 | 25 | |
| 67108864 | 1 | 67108865 | 26 | |||
| 134217728 | 1 | 134217729 | 335544320 | 335544321 | 27 | |
| 268435456 | 1 | 268435457 | 28 | |||
| 536870912 | 1 | 536870913 | 1342177280 | 1342177281 | 29 | |
| 1073741824 | 1 | 1073741825 | 30 | |||
| 2147483648 | 1 | 2147483649 | 5368709120 | 5368709121 | 31 | |
| 4294967296 | 1 | 4294967297 | 32 | |||
| 8589934592 | 8589934593 | 21474836480 | 21474836481 | 33 | ||
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F6 = 2^64 = 18.446.744.073.709.551.616 (20 dígitos)
O número de Fermat F6 é composto:
2^64 + 1 = 18.446.744.073.709.551 617
e é produto de 2 número primos:
274 177 x 67 280 421 310 721
Elaborando-se multiplicações dos 6 primeiros números de Fermat e somando 2:
3 x 5 x 17 x 257 x 65.537 x 4.294.967.297 =
18.446.744.073.709.551.615 + 2 = 18 446 744 073 709 551 617, comprova-se o resultado anterior de 2^64+1.
a) subtraindo 1 unidade
67.280.421.310.721 - 1 = 67 280 421 310 720
b) dividindo por 10
67.280.421.310.720 : 10 = 6.728.042.131.072
c) não há quadrado perfeito terminado em 2
Observação: números extraídos do sistema Inteligência Artificial do Google.
F7 = 2^128 + 1 = 340.282.366.920.938.463.463.374.607 431.768.211.457 (39 dígitos)
O número de Fermat F7 é composto:
fatores primos
59.649.589.127.497.217
e
5.704.689.200.685.129.054.721
a) subtraindo 1 unidade
5.704.689.200.685.129.054.721 - 1 = 5.704.689.200.685.129.054.720
b) dividindo por 10
5.704.689.200.685.129.054.720 : 10 = 570.468.920.068.512.905.472
c) não há quadrado perfeito terminado em 2
Observação: números extraídos do sistema Inteligência Artificial do Google.
F7 = 2^128 + 1
Fatores primos:
1.238.926.361.552.897
e
93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051. 237.541.638.188.580.280.321 (66 dígitos)
Subtriando 1 unidade e divindo por 10, tem-se um número terminado em 2.
Não há quadrado perfeito terminado em 2
A pergunta que se faz e a seguinte, haverá outros números de Fermat compostos em que um dos fatores primos é a soma de 2 potências de base 2 somada 1 unidade, isto é, com as mesmas características do número de Fermat F5 ?
Lembrando que os fatores primos devem necessariamente ter os dois últimos algarismos terminados em 41 ou 61
a) o produto de números consecutivos de Fermat + 2 é um número de Fermat;
3 + 2 = 5
3 x 5 + 2 = 17
3 x 5 x 17 + 2 = 257
b) dois números consecutivos de Fermat são primos entre si, isto é, o mdc = 1;
Observação: número que não é múltiplo e nem divisor de um outro número ou vice-versa, o mdc (máximo divisor comum) é 1. Números consecutivos o mdc é 1.
O mdc (5,3) = 1, o mmc (5,3) = 15
O mmc (mínino múltiplo comum) de dois números cujo o mdc=1 é o produto desses dois números.
c) todo número de Fermat maior que 3 é da forma 6n - 1;
d) o algarismo das unidades do número de Fermat é 7 para todo n igual ou maior que 2.
A tabela a seguir se encontra em artigo publicado na RPM-07 (Revista do Professor de Matemática) sob o título Números de Fermat cujo autor Paulo Ferreira Leite.[4]
A tabela apresenta em ordem cronológica, os nomes de matemáticos e estudiosos que descobriram fatores primos de Números de Fermat.
Autor: Ricardo Silva - abril/2025
[2] HEFEZ, Abramo. Iniciação à Aritmética. OBMEP. Niterói, 2009
[4]LEITE, Paulo Ferreira. Números de Fermat. RPM-07
[1] MILIES, Francisco César Polcino. Número: Uma Introdução à Matemática / Francisco César Polcino Milies, Sônia Pitta Coelho - 3. ed - São Paulo. Editora da Universidade de São Paulo, 2001. (Acadêmica: 20)
[3] RIZEL, Ary Camargo. Números Primos. Monografia. Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas (ICEX). Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte, 2014
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[4] TEIXEIRA, WESLEY CASTRO. Fermat e os número primos. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Cariri. Centro de Ciências e Tecnologia. Juazeiro do Norte, 2017
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