Decomposição em Fatores Primos é dividir um número sucessivamente por números primos até se ter como quociente final o número 1.
Com a Decomposição em Fatores Primos, pode-se saber, entre outras propriedades:
a) os fatores primos propriamente ditos;
b) se tal número é primo, composto, quadrado ou cúbico, etc.;
c) a quantidade de seus divisores;
d) os seus divisores (próprios e impróprio).
O presente estudo demonstra fórmulas algébricas para se saber a soma e produto de divisores, bem como, métodos práticos de cálculos numéricos.
Demonstra também que por meio da soma ou do produto de divisores é possível de se saber se um número é perfeito sem precisar utilizar as Fórmulas de Euclides ou de Mersenne.
| p1α1+1 - 1 | p2α2+1 - 1 | pkαk+1 - 1 | ||||
| Sn | = | ______ | x | ______ | ... | ______ |
| p1 - 1 | p2 - 1 | pk - 1 |
Fonte: THIAGO, Cícero . Aritmética: múltiplos e divisores.[1]
A Fórmula da Soma de Divisores de Número Natural é uma variante da Fórmula da Soma de Progressão Geométrica.
O número perfeito 6 é o primeiro número que é produto de 2 números primos distintos.
Para utilizar a Fórmula da Soma de Divisores, deve-se primeiro fazer a decomposição em fatores primos de um número.
| Número Perfeito 6 | |||
| Decomposição em fatores primos | |||
| Fatores Primos | Divisores | ||
| 1 | |||
| 6 | 2 | 2 | |
| 3 | 3 | 3 | 6 |
| 1 | |||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Através da decomposição em fatores primos obtêm-se:
a) os fatores primos, neste caso o 2 e 3;
b) quantidade de divisores: 4
c) D (6): { 1, 2, 3, 6 }
Soma dos divisores: 1 + 2 + 3 + 6 = 12
Divisores próprios: 1, 2, 3
Soma dos divisores próprios: 1 + 2 + 3 = 6
a) soma-se 1 unidade aos expoentes de cada fator primo e ...;
2 ( 1 + 1 ) x 3 ( 1 + 1 )
b) ... os multiplicam;
( 1 + 1 ) x ( 1 + 1 ) =
= 2 x 2 = 4
c) a quantidade de divisores do número 6 é 4.
a) subtitui a expressão 2 ( 1 + 1 ) x 3 ( 1 + 1 ) na fórmula e efetuam-se os cálculos;
i)
| 2 ( 1 + 1 ) - 1 | 3 ( 1 + 1 ) - 1 | |||
| S6 | = | ______ | x | ______ |
| 2 - 1 | 3 - 1 |
ii)
| 4 - 1 | 9 - 1 | |||
| S6 | = | ______ | x | ______ |
| 1 | 2 |
iii)
| 3 | 8 | |||
| S6 | = | ______ | x | ______ |
| 1 | 2 |
v)
Observação importantíssima: nesta etapa do cálculo o fator primo 2 "virou" 3 e o fator primo 3 "virou" 4. O que se constata é que se somou 1 unidade ao fator 2 e se somou 1 unidade ao fator 3.
| S6 | = | 3 | x | 4 |
vi)
| S6 | = | 12 |
Somando-se os divisores de 6...
1 + 2 + 3 + 6 = 12
... comprova-se os cálculos na fórmula.
Observação: a soma dos divisores de um número perfeito é o dobro da soma dos divisores próprios ou a soma dos divisores próprios é a metade da soma de todos os divisores de um número perfeito. Esta é uma propriedade instrínsica de números perfeitos.
Tendo-se como exemplo os fatores primos do número 6:
somam-se 1 unidade a cada fator primo e os multiplicam;
( 2 + 1 ) x ( 3 + 1 ) =
= 3 x 4
Observação: o 2 "virou" 3 e o 3 "virou" 4.
= 12
12 é a soma de todos os divisores quanto o dobro da soma dos divisores próprios de número perfeito 6.
O número 10 é o segundo número que é produto de 2 números primos distintos.
10 = 2 x 5
D (10) : { 1, 2, 5 , 10 }
Fatores primos: 2 e 5
Soma de todos divisores: 1 + 2 + 5 + 10 = 18
Divisores próprios: 1, 2, 5
Soma dos divisores próprios: 1 + 2 + 5 = 8
Neste exemplo 18 não é o dobro de 8 e nem 8 é a metade de 18, portanto o número 10 não é número perfeito.
Somam-se 1 unidade a cada fator primo e os multiplicam;
( 2 + 1 ) x ( 5 + 1 ) =
= 3 x 6 =
Observação: o 2 "virou" 3 e o 5 "virou" 6.
= 18
O número 30 é o primeiro número que é produto de 3 números primos distintos.
30 = 2 x 3 x 5
D (30) : { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }
Fatores primos 2, 3, 5
Soma de todos divisores: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 = 72
Divisores próprios: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15
Soma dos divisores próprios: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 = 42
Neste exemplo 72 não é o dobro de 42 e nem 42 é a metade de 72, portanto o número 30 não é número perfeito.
Somam-se 1 unidade a cada fator primo e os multiplicam;
( 2 + 1 ) x ( 3 + 1 ) x ( 5 + 1 )=
= 3 x 4 x 6 =
Observação: o 2 "virou" 3, o 3 "virou" 4 e o 5 "virou" 6.
= 72
| d ( n ) | |||
| _______ | |||
| p (n) | = | n ^ | 2 |
Fonte: THIAGO, Cícero . Aritmética: múltiplos e divisores.[1]
onde:
n - número natural
p (n) - produto do divisores de n
d (n) - quantidade de divisores de n
a) D (6): { 1, 2, 3, 6 }
b) quantidade de divisores: 4
i) aplicando a fórmula;
| 4 | |||
| ___ | |||
| p ( 6 ) | = | 6 ^ | 2 |
ii)
| p ( 6 ) | = | 6 ^ 2 |
ii) obtem-se o produto de todos os divisores do número 6.
| p (6) | = | 36 |
O número 6 é produto de 2 números primos distintos.
6 = 2 x 3
Todo número composto, exceto os números quadrados perfeito, possuem quantidades pares de divisores.
O número 6 possui 4 divisores.
D (6): { 1, 2, 3, 6 }
O número 6 possui 2 pares multiplicativos.
1 x 6 = 6
2 x 3 = 6
O Produto de divisores próprios de números que são produtos de 2 números primos distintos tem como resultado o divisor impróprio.
1 x 2 x 3 = 6
O produto dos divisores de números que são produtos de 2 números primos distintos têm como resultado o quadrado perfeito do divisor impróprio.
1 x 2 x 3 x 6 = 36
O número composto 6 elevado ao expoente 2 (metade da quantidade de divisores / quantidade de pares multiplicativos) tem como resultado o produto de seus divisores.
62 = 36
O quadrado perfeito 36 dividido pela metade de 6 tem como quociente a soma dos divisores de 6.
36 : 3 = 12
De onde se deduz a seguinte proposição:
Se o quociente entre um quadrado perfeito e a metade de sua raiz quadrada for o dobro da soma dos divisores próprios, bem como, a soma de todos os divisores dessa raiz quadrada, então essa raiz é um número perfeito.
Outros fatos a destacarem:
a) é que o quociente 12 é divisível pela própria soma de todos os divisores como também pela soma dos divisores próprios;
12 : 12 = 1
12 : 6 = 2 ( 12 é o dobro de 6 )
b) subtraindo número perfeito 6 do quociente 12 o resultado é a soma dos divisores próprios.
12 - 6 = 6
Estas novas propriedades a priori se observa em números perfeitos, pois, testes realizados com outros números pares compostos apresentaram quocientes relacionados respectivamente a números deficientes e a números abundantes.
A Tabela de Somas e Produtos de Divisores é um tabela adaptada e expandida da Tabela de Divisores publicada na Wikipedia.[2]
Nomenclatura:
n é um número natural.
d(n) é a quantidade de divisores positivos de n, incluindo 1 e o próprio n.
σ(n) é a soma de todos os divisores positivos de n, incluindo 1 e o próprio n.
s(n) é a soma de todos os divisores próprios de n, que não incluem o próprio n; isto é, s(n) = σ(n) − n.
Na tabela foi inserida colunas com partes da Fórmula do Produto de Divisores de um Número Natural.
A tabela comprova que se o quadrado perfeito (H) dividido pela metade de sua raiz quadrada (B) tiver como quociente (I) o mesmo valor da soma de todos divisores (E) dessa raiz quadrada (A), então, essa raiz quadrada é um número perfeito. (células laranjas).
| Tabela de Somas e Produtos | ||||||||
| de Divisores | ||||||||
| A | B | C | D | E | F | G | H | I |
| raiz | ||||||||
| n | n/2 | Divisores | d(n) | σ(n) | s(n) | d(n) /2 | n^ { d(n) /2 } | [ n ^{ d(n) /2 } ] / [ n/2 ] |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||||
| 2 | 1, 2 | 2 | 3 | 1 | ||||
| 3 | 1, 3 | 2 | 4 | 1 | ||||
| 4 | 1, 2, 4 | 3 | 7 | 3 | ||||
| 5 | 1, 5 | 2 | 6 | 1 | ||||
| 6 | 3 | 1, 2, 3, 6 | 4 | 12 | 6 | 2 | 36 | 12 |
| 7 | 1, 7 | 2 | 8 | 1 | ||||
| 8 | 4 | 1, 2, 4, 8 | 4 | 15 | 7 | 2 | 64 | 16 |
| 9 | 1, 3, 9 | 3 | 13 | 4 | ||||
| 10 | 5 | 1, 2, 5, 10 | 4 | 18 | 8 | 2 | 100 | 20 |
| n | Divisores | d(n) | σ(n) | s(n) | ||||
| 11 | 1, 11 | 2 | 12 | 1 | ||||
| 12 | 6 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 | 28 | 16 | 3 | 1728 | 288 |
| 13 | 1, 13 | 2 | 14 | 1 | ||||
| 14 | 7 | 1, 2, 7, 14 | 4 | 24 | 10 | 2 | 196 | 28 |
| 15 | 1, 3, 5, 15 | 4 | 24 | 9 | ||||
| 16 | 8 | 1, 2, 4, 8, 16 | 5 | 31 | 15 | |||
| 17 | 1, 17 | 2 | 18 | 1 | ||||
| 18 | 9 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 | 6 | 39 | 21 | 3 | 5832 | 648 |
| 19 | 1, 19 | 2 | 20 | 1 | ||||
| 20 | 10 | 1, 2, 4, 5, 10, 20 | 6 | 42 | 22 | 3 | 8000 | 800 |
| n | Divisores | d(n) | σ(n) | s(n) | ||||
| 21 | 1, 3, 7, 21 | 4 | 32 | 11 | ||||
| 22 | 11 | 1, 2, 11, 22 | 4 | 36 | 14 | 2 | 484 | 44 |
| 23 | 1, 23 | 2 | 24 | 1 | ||||
| 24 | 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 | 60 | 36 | 4 | 331776 | 27648 |
| 25 | 1, 5, 25 | 3 | 31 | 6 | ||||
| 26 | 13 | 1, 2, 13, 26 | 4 | 42 | 16 | 2 | 676 | 52 |
| 27 | 1, 3, 9, 27 | 4 | 40 | 13 | ||||
| 28 | 14 | 1, 2, 4, 7, 14, 28 | 6 | 56 | 28 | 3 | 21952 | 1568 |
| 28 | 14 | 1, 2, 4, 7, 14, 28 | 6 | 56 | 28 | 2 | 784 | 56 |
| 29 | 1, 29 | 2 | 30 | 1 | ||||
| 30 | 15 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 | 8 | 72 | 42 | 4 | 810000 | 54000 |
| n | Divisores | d(n) | σ(n) | s(n) | ||||
| 31 | 1, 31 | 2 | 32 | 1 | ||||
| 32 | 16 | 1, 2, 4, 8, 16, 32 | 6 | 63 | 31 | 3 | 32768 | 2048 |
| 33 | 1, 3, 11, 33 | 4 | 48 | 15 | ||||
| 34 | 17 | 1, 2, 17, 34 | 4 | 54 | 20 | 2 | 1156 | 68 |
| 35 | 1, 5, 7, 35 | 4 | 48 | 13 | ||||
| 36 | 18 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 | 9 | 91 | 55 | |||
| 37 | 1, 37 | 2 | 38 | 1 | ||||
| 38 | 19 | 1, 2, 19, 38 | 4 | 60 | 22 | 2 | 1444 | 76 |
| 39 | 1, 3, 13, 39 | 4 | 56 | 17 | ||||
| 40 | 20 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 | 8 | 90 | 50 | 4 | 2560000 | 128000 |
| n | Divisores | d(n) | σ(n) | s(n) | ||||
| 41 | 1, 41 | 2 | 42 | 1 | ||||
| 42 | 21 | 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 | 8 | 96 | 54 | 4 | 3111696 | 148176 |
| 43 | 1, 43 | 2 | 44 | 1 | ||||
| 44 | 22 | 1, 2, 4, 11, 22, 44 | 6 | 84 | 40 | 3 | 85184 | 3872 |
| 45 | 1, 3, 5, 9, 15, 45 | 6 | 78 | 33 | ||||
| 46 | 23 | 1, 2, 23, 46 | 4 | 72 | 26 | 2 | 2116 | 92 |
| 47 | 1, 47 | 2 | 48 | 1 | ||||
| 48 | 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 | 10 | 124 | 76 | 5 | 254803968 | 10616832 |
| 49 | 1, 7, 49 | 3 | 57 | 8 | ||||
| 50 | 25 | 1, 2, 5, 10, 25, 50 | 6 | 93 | 43 | 3 | 125000 | 5000 |
| n | Divisores | d(n) | σ(n) | s(n) | ||||
| 496 | 248 | 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496 | 10 | 992 | 496 | 5 | 3,00198E+13 | 1,21048E+11 |
| 496 | 248 | 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496 | 10 | 992 | 496 | 2 | 246016 | 992 |
Número quadrado perfeito dividido pela metade de sua raiz quadrada for número divisível pela soma de todos os divisores, bem como, pela a soma dos divisores próprios dessa raiz quadrada, então essa raiz quadrada, pode ser:
a) um número perfeito;
b) ou número semelhante a um número perfeito
Para mais informações, sobre número semelhante a um número perfeito, veja:
011-estudos-646-120-numero-semelhante-a-numero-perfeito
Autor: Ricardo Silva - fevereiro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1] THIAGO, Cícero . Aritmética: múltiplos e divisores. PAPMEM - Julho de 2022 - Aritmética: múltiplos e divisores. https://
[2]https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
