Número Perfeito é um número cuja soma de seus divisores próprios, exceto o próprio número, tem como resultado esse mesmo número.
O presente estudo demonstra que a divisão de quadrado perfeito de um número perfeito com a metade desse número perfeito têm como quociente a soma de todos os divisores desse número perfeito.
Euclides de Alexandria enuncia em Os Elementos no livro IX:
“Se tantos números quantos quisermos, começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, então o produto será um número perfeito”.
A fórmula algébrica desta proposição é:
| 2n−1 ( 2n −1 ) |
Euclides faz referências às somas de potências de base 2.
Exemplos:
a) 1 + 2 = 3 ( número primo )
2 x 3 = 6 (número perfeito)
b) 1 + 2 + 4 = 7 ( número primo )
4 x 7 = 28 (número perfeito)
c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 ( número primo )
16 x 31 = 496 (número perfeito)
6 é um número perfeito e também triangular, fazendo a decomposiçao em fatores primos tem-se:
| Números Perfeito 6 | |||
| Fatores Primos | Divisores | ||
| 1 | |||
| 6 | 2 | 2 | |
| 3 | 3 | 3 | 6 |
| 1 | |||
D(6): { 1, 2, 3, 6 }
4 divisores
Soma dos divisores próprios de 6:
1 + 2 + 3 = 6
Observação: a soma dos divisores próprios de 6 é a metade da soma de todos os divisores de 6.
Soma de todos os divisores de 6:
1 + 2 + 3 + 6 = 12
Observação: a soma de todos os divisores de 6 é o dobro da soma dos divisores próprios de 6.
Está propriedade matemática está estritamente relacionada a números perfeitos.
O número quadrado perfeito do número perfeito 6 dividido pela metade do número perfeito 6 tem como quociente a soma de todos os divisores de 6.
62 = 36
36 : 3 = 12
12 é a soma de todos os divisores de 6.
Se o quociente entre um quadrado perfeito e a metade de sua raiz quadrada for o dobro da soma dos divisores próprios, bem como, a soma de todos os divisores dessa raiz quadrada, então essa raiz é um número perfeito.
Esta nova propriedade a priori se observa em números perfeitos, pois, testes realizados com outros números pares compostos apresentaram discrepâncias nas somas de todos os divisores de um número, ora os resultados foram menores, ora os resultados foram maiores, resultando respectivamente em números deficientes e abundantes.
Fatores primos de 6: 2 e 3
mantenha o 3 e dobre a potência 2
3 x 4 = 12
D(28): { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
6 divisores
Soma dos divisores próprios de 28:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Soma de todos os divisores de 28:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56
O número quadrado perfeito do número perfeito 28 dividido pela metade do número perfeito 28 tem como quociente a soma de todos os divisores de 28.
282 = 784
784 : 14 = 56
56 é a soma de todos os divisores de 28.
Fatores primos de 28: 2, 2 e 7
2 x 2 x 7
4 x 7
mantenha o 7 e dobre a potência 4
7 x 8 = 56
D(496): { 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496 }
10 divisores
Soma dos divisores próprios de 496
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Soma de todos os divisores de 496
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 992
O número quadrado perfeito do número perfeito 496 dividido pela metade do número perfeito 496 tem como quociente a soma de todos os divisores de 496.
4962 = 246016
246016 : 248 = 992
992 é a soma de todos os divisores de 496.
Fatores primos de 496: 2, 2, 2, 2 e 31
2 x 2 x 2 x 2 x 31
16 x 31
mantenha o 31 e dobre a potência 16
31 x 32 = 992
Fato interessante acontece com potências de base 2, vejamos:
potência 4 - metade 2
D (4) { 1, 2, 4 }
soma dos divisores próprios: 3
soma de todos os divisores: 7
42 : 2 =
= 16 : 2
= 8 ( 1 unidade maior que a soma de todos os divisores )
potência 8 - metade 4
D (8) { 1, 2, 4, 8 }
soma dos divisores próprios: 7
soma de todos os divisores 15
82 : 4 =
= 64 : 4
= 16 ( 1 unidade maior que a soma de todos os divisores )
A soma de potências de base 2, têm como resultados números que são quase potências de base 2, também denominados de Números de Mersenne.
Números de Mersenne são números que são 1 unidade menor que uma potência de base 2.
Quadrado Perfeito de número perfeito dividido pela metade desse número perfeito tem como quociente a soma de todos os divisores desse número perfeito, isto é, o dobro desse número perfeito.
Autor: Ricardo Silva - fevereiro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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