capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Produto de Divisores Próprios - 642

O presente estudo demonstra regularidades numéricas de produtos de divisores próprios de números perfeitos quanto a de outros números compostos.

Produto de divisores próprios de números que são produtos de 2 números primos distintos tem como resultado o divisor impróprio.

Produto de divisores próprios de números que são produtos de 3 números primos distintos tem como resultado o cubo do divisor impróprio.

Produto de divisores próprios de números que são produtos de 4 números primos distintos tem como resultado número de sétima potência do divisor impróprio.

O produto de divisores próprios de números que são produtos de um par de primos por outro primo tem como resultado o quadrado perfeito do divisor impróprio.

Número Primorial

Primorial é o produto de números primos consecutivos.

O nome Primorial é a combinação das palavras primo e fatorial criado pelo engenheiro elétrico e matemático Harvey Dubner (1928 - 2019) cuja representação simbólica é n#.

Exemplos:

2# = 2

3# 2 x 3 = 6

4# 2 x 3 = 6

5# 2 x 3 x 5 = 30

6# 2 x 3 x 5 = 30

7# 2 x 3 x 5 x 7 = 210

Número Primorial e divisores de um número

A quantidade de fatores (números primos) que geram um número primorial determina a quantidade de divisores desse mesmo primorial, como também, a mesma quantidade de divisores de produtos de números primos distintos.

2 = 2 (2 divisores)

o primorial 2 é um número retangular

2 x 3 = 6 (4 divisores)

o primorial 6 é também um número retangular e triangular

2 x 3 x 5 = 30 (8 divisores)

o primorial 30 é também um número retangular

2 x 3 x 5 x 7 = 210 (16 divisores)

o primorial 210 é também um número retangular

2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310 (32 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 = 30.030 (64 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 = 510.510 (128 divisores)

o primorial 510.510 é também um número retangular

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 =

9.699.690 (256 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 =

223.092.870 (512 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 =

6.469.693.230 (1024 divisores)

A sequência das quantidades de divisores de números primoriais formam progressão geométrica de potências de base 2 a partir da potência 2

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...

Fórmula do Produto dos Divisores Positivos de n

Em julho de 2022, o Programa de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática do Ensino Médio - PAPMEM apresentou a vídeo-aula: Aritmética: múltiplos e divisores com o Professor Cícero Thiago na qual são demonstradas propriedades matemáticas de múltiplos e divisores de número natural, como também diversas fórmulas matemáticas e, entre elas, a Fórmula do Produto dos Divisores Positivos de um Número Natural.

			d ( n )
			_______
p (n)	=	n ^	2

onde:

n - número natural

p (n) - produto do divisores de n

d (n) - quantidade de divisores de n

Produto de 2 números primos distintos

Número 6

O número 6 é primeiro número perfeito.

Número perfeito é um número cuja soma de seus divisores próprios, exceto o próprio número, é esse mesmo número.

Decompondo o número 6 em fatores primos, obtêm-se seus fatores primos, bem como, seus divisores e a quantidade desses divisores, entre outras propriedades.

Número Perfeito 6
Decomposição em fatores primos

	Fatores Primos	Divisores

		1
6	2	2
3	3	3	6
1

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a) fatores primos: 2 e 3

b) D(6): { 1, 2, 3, 6 }

c) 4 divisores

d) a soma dos divisores próprios é o próprio número 6.

1 + 2 + 3 = 6

O número 6 é também um número retangular, triangular e o primeiro número que é produto de 2 números primos distintos, os números primos 2 e 3.

2 (potência de base 2) x 3 (Número Primo de Mersenne) = 6

Números que são produtos de 2 números primos distintos são números que não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Números que são potências de números que são produtos de 2 números primos distintos possuem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos e esta propriedade permite construir quadrados mágicos multiplicativos sequêncialmente.

Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas !

Propriedades Matemáticas - 1

O produto dos divisores próprios de números que são produtos de 2 números primos distintos têm como resultado o divisor impróprio.

O produto dos divisores próprios do número 6 é o próprio número 6.

1 x 2 x 3 = 6

O produto dos divisores de números que são produtos de 2 números primos distintos têm como resultado o quadrado perfeito do divisor impróprio.

1 x 2 x 3 x 6 = 36

Todo número composto, exceto os números quadrados perfeitos, possuem quantidades pares de divisores os quais formam pares multiplicativos.

Multiplicando os pares multiplicativos do número 6, cada produto é o número 6.

Número 6 e
pares multiplicativos

1			6	=	6
	2	3		=	6


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Elevando-se 6 ao expoente 2, que também é mesma quantidade de pares multiplicativos, como também, a metade da quantidade de seus divisores tem como resultado o quadrado perfeito de 6.

6²= 36

36 é o mesmo resultado da multiplicação de todos os divisores do número 6.

Fórmula da soma dos divisores de número natural

No estudo:

011-estudos-425-soma-dos-divisores-de-um-numero-natural

é apresentado a Fórmula da soma dos divisores de um número natural:

		p₁^α1+1 - 1		p₂^α2+1 - 1		p_k^αk+1 - 1
S_n	=	______	x	______	...	______
		p₁ - 1		p₂ - 1		p_k - 1

Com as propriedades demonstradas neste estudo, também é possível de se saber a priori soma dos divisores de de números que são produtos de uma potência de base 2 com um número quase potência de base 2 (Números de Mersenne), incluindo números perfeitos, vejamos:

a) o número 6 têm 4 divisores;

b) 6 elevado ao expoente 2 ( metade dos divisores / quantidades de pares multiplicativos);

6²= 36

c) divisores de 6;

D(6): { 1, 2, 3, 6 }

d) soma dos divisores de 6 é 12, o dobro de 6;

1 + 2 + 3 + 6 = 12

e) o quadrado perfeito 36 dividido pela metade do número perfeito 6 tem com resultado a soma de todos os divisores de 6;

36 : 3 = 12

Se o quociente entre um quadrado perfeito e a metade de sua raiz quadrada for o dobro da soma dos divisores próprios, bem como, a soma de todos os divisores dessa raiz quadrada, então essa raiz é um número perfeito.

Esta nova propriedade a priori se observa em números perfeitos, pois, testes realizados com outros números pares compostos apresentaram quocientes relacionados respectivamente a números deficientes e a números abundantes.

Outros números que são produtos de 2 números primos distintos.

Exemplos:

número 10

D(10) : { 1, 2, 5, 10 }

Soma dos divisores: 18

4 divisores ( 2 pares multiplicativos )

Produto dos divisores próprios

1 x 2 x 5 = 10

10¹= 10

Produto dos divisores

1 x 2 x 5 x 10 = 100

10²= 100

100 dividido por 5 (metade de 10) é igual a 20.

20 é maior que a soma dos divisores de 10 que é 18.

número 15

D(15) : { 1, 3, 5, 15 }

Soma dos divisores: 24

4 divisores ( 2 pares multiplicativos )

Produto dos divisores próprios

1 x 3 x 5 = 15

15¹= 15

Produto de todos os divisores

1 x 3 x 5 x 15 = 225

15²= 225

225 dividido por 7,5 (metade de 15) é igual a 30.

30 é maior que a soma dos divisores de 15 que é 24.

número 35

D(35) : { 1, 5, 7, 35 }

Soma dos divisores: 48

4 divisores ( 2 pares multiplicativos )

Produto dos divisores próprios

1 x 5 x 7 = 35

35¹= 35

Produto de todos os divisores

1 x 5 x 7 x 35 = 1225

35²= 1225

1225 dividido por 17,5 (metade de 35) é igual a 70.

70 é maior que a soma dos divisores de 35 que é 48.

Produto de par de primos por outro primo

Números que são produtos de par de primos por outro primo são números que não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Os produtos de um par de primos por outro primo geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números triangulares não consecutivos.

Número 12

O número 12 é o primeiro número que é produto de um par de primos por um outro número primo diferente.

2² x 3 =

4 x 3 = 12

De modo prático: número quadrado perfeito multiplicado por número primo.

A quantidade de divisores de potências de base 12 gera a sequência de números triangulares não consecutivos( 6, 15, 28, 45, 66, 91, ...) e, entre eles, números perfeitos cujas ordens / posições são ímpares.

Potências de base 12
e quatidade de divisores

Potência	Quantidades de
	Divisores
12	6
144	15
1.728	28
20.736	45
248.832	66
2.985.984	91

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Propriedade Matemática - 2

O produto dos divisores próprios de números que são produtos de um par de primos por outro primo têm como resultado o quadrado pefeito desse divisor impróprio.

Interessante destacar que na vídeo-aula do Professor Cícero Thiago, ele denomina elegantemente de "Poderosos" números cujos produtos dos divisores próprios é o quadrado perfeito do divisor impróprio.[3]

D(12) : { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

6 divisores ( 3 pares multiplicativos )

Soma dos divisores: 28

Produto dos divisores próprios de 12

1 x 2 x 3 x 4 x 6 = 144

144 é o quadrado perfeito de 12, pois:

12²= 144

Multiplicando todos os divisores de 12, o produto é o cubo de 12.

1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 12 = 1728, pois

12³= 1728

Observação: expoente 3 é metade dos divisores de 12, como também, a quantidade de pares multiplicativos.

12²= 144

144 dividido por 6 (metade de 12) é igual a 24.

24 é menor que a soma dos divisores de 12 que é 28.

Assim como o número 12, há uma infinidade de números que são produtos de par de primos por outro primo.

Exemplos:

número 18

D(18) : { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }

Soma dos divisores: 39

6 divisores ( 3 pares multiplicativos )

Produto dos divisores próprios

1 x 2 x 3 x 6 x 9 = 324 (quadrado perfeito do 18)

18²= 324

Produto dos divisores

1 x 2 x 3 x 6 x 9 x 18 = 5832 (cubo perfeito do 18)

18³= 5832

Observação: expoente 3 é metade dos divisores de 18, como também, a quantidade de pares multiplicativos.

18²= 324

324 dividido por 9 (metade de 18) é igual a 36.

36 é menor que a soma dos divisores de 18 que é 39.

número 20

D(20) : { 1, 2, 4, 5, 10, 20}

Soma dos divisores: 42

6 divisores ( 3 pares multiplicativos )

Produto dos divisores próprios

1 x 2 x 4 x 5 x 10 = 400 (quadrado perfeito do 20)

20²= 400

Produto dos divisores

1 x 2 x 4 x 5 x 10 x 20 = 8000 (cubo perfeito do 20)

20³= 8000

Observação: expoente 3 é metade dos divisores de 18, como também, a quantidade de pares multiplicativos.

20²= 400

400 dividido por 10 (metade de 20) é igual a 20.

20 é menor que a soma dos divisores de 20 que é 42.

número perfeito 28

D(28) : { 1, 2, 4, 7, 14, 28}

6 divisores ( 3 pares multiplicativos )

Produto dos divisores próprios

1 x 2 x 4 x 7 x 14 = 784 ( quadrado perfeito do 28 )

28²= 784

Produto dos divisores

1 x 2 x 4 x 7 x 14 x 28 = 21952 ( cubo perfeito do 28 )

28³= 21952

Observação: expoente 3 é metade dos divisores de 28, como também, a quantidade de pares multiplicativos.

quadrado 784 dividido por 14 ( metade de 28 );

784 : 14 = 56

56 é a soma de todos os divisores de 28

1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56

Produto de 3 números primos distintos

O produto dos divisores próprios de números que são produtos de 3 números primos distintos têm como resultado o cubo desse divisor impróprio.

Número 30

O número 30 é o primeiro número que é produto de 3 números primos distintos.

2 x 3 x 5 = 30

D(30) : { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }

8 divisores

Soma dos divisores: 72

Produto dos divisores próprios.

1 x 2 x 3 x 5 x 6 x 10 x 15 = 27000 ( cubo perfeito do 30 )

30³= 27000

Produto dos divisores

1 x 2 x 3 x 5 x 6 x 10 x 15 x 30 = 810000 ( quarta potência do 30 )

30⁴= 810000

30²= 900

900 dividido por 15 (metade de 30) é igual a 60.

60 é menor que a soma dos divisores de 30 que é 72.

Assim como o número 30, há uma infinidade de números que são produtos de 3 números primos distintos.

Exemplos:

número 42

D(42) : { 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

8 divisores

Soma dos divisores: 96

Produto dos divisores próprios.

1 x 2 x 3 x 6 x 7 x 14 x 21 = 74088

42³ = 74088

Produto dos divisores

1 x 2 x 3 x 6 x 7 x 14 x 21 x 42 = 3111696

42⁴ = 3111696

42²= 1764

1764 dividido por 21 (metade de 42) é igual a 84.

84 é menor que a soma dos divisores de 42 que é 96.

número 66

D(66) : { 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}

8 divisores

Soma dos divisores: 144

Produto dos divisores próprios.

1 x 2 x 3 x 6 x 11 x 22 x 33 = 287496

66³ = 287496

Produto dos divisores

1 x 2 x 3 x 6 x 11 x 22 x 33 x 66 = 18974736

66⁴ = 18974736

66²= 4356

4356 dividido por 33 (metade de 66) é igual a 132.

132 é menor que a soma dos divisores de 66 que é 144.

número 78

D(78) : { 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78}

8 divisores

Soma dos divisores: 168

Produto dos divisores próprios.

1 x 2 x 3 x 6 x 13 x 26 x 39 = 474552

78³ = 474552

Produto de todos os divisores

1 x 2 x 3 x 6 x 13 x 26 x 39 x 78 = 37015056

78⁴ = 37015056

78²= 6084

6084 dividido por 39 (metade de 78) é igual a 156.

156 é menor que a soma dos divisores de 78 que é 168.

Assim como o número 30, há também números que são produtos de um cubo por um primo.

Exemplos:

número 24

fatores primos 2 x 2 x 2 x 3 = 24

D(24) : { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

Soma dos divisores: 60

8 divisores

Produto dos divisores próprios.

1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 8 x 12 = 13824

24³ = 13824

Produto de todos os divisores

1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 8 x 12 x 24 = 331776

24⁴ = 331776

24²= 576

576 dividido por 12 (metade de 24) é igual a 48.

48 é menor que a soma dos divisores de 24 que é 60.

número 40

fatores primos 2 x 2 x 2 x 5 = 40

D(40) : { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 }

8 divisores

Soma dos divisores: 90

Produto dos divisores próprios.

1 x 2 x 4 x 5 x 8 x 10 x 20 = 64000

40³ = 64000

Produto de todos os divisores

1 x 2 x 4 x 5 x 8 x 10 x 20 x 40 = 2560000

40⁴ = 2560000

40²= 1600

1600 dividido por 20 (metade de 40) é igual a 80.

80 é menor que a soma dos divisores de 40 que é 90.

número 56

fatores primos 2 x 2 x 2 x 7 = 56

D(56) : { 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 }

8 divisores

Soma dos divisores: 120

Produto dos divisores próprios.

1 x 2 x 4 x 7 x 8 x 14 x 28 = 175616

56³ = 175616

Produto de todos os divisores

1 x 2 x 4 x 7 x 8 x 14 x 28 x 56 = 9834496

56⁴ = 9834496

56²= 3136

3136 dividido por 28 (metade de 56) é igual a 112.

112 é menor que a soma dos divisores de 56 que é 120.

Produto de 4 números primos distintos

O produto dos divisores próprios de números que são produtos de 4 números primos distintos têm como resultado número de 7^a potência do divisor impróprio.

Número 210

O número 210 é o primeiro número que é produto de 4 números primos distintos.

fatores primos: 2 x 3 x 5 x 7 = 210

D (210) : { 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 }

16 divisores

Soma dos divisores: 576

O produto dos divisores próprios

1 x 2 x 3 x 5 x 6 x 7 x 10 x 14 x 15 x 21 x 30 x 35 x 42 x 70 x 105 = 18.010.885.410.000.000

210⁷ = 18.010.885.410.000.000

O produto de todos os divisores

1 x 2 x 3 x 5 x 6 x 7 x 10 x 14 x 15 x 21 x 30 x 35 x 42 x 70 x 105 x 210 = 3.782.285.936.100.000.000

Quadrado perfeito de 1944810000

3.782.285.936.100.000.000 é resultado de 210⁸

210²= 44100

44100 dividido por 105 (metade de 210) é igual a 420.

420 é menor que a soma dos divisores de 210 que é 576.

Assim com o número 210, há uma infinidade de números que são produtos de 4 números primos distintos.

Exemplos:

2 x 3 x 5 x 11 = 330

2 x 3 x 5 x 13 = 390

2 x 3 x 5 x 17 = 510

Produto de 1 quadra de primos por outro primo

Número perfeito 496

2 x 2 x 2 x 2 x 31 = 496

D(496): { 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496 }

10 divisores

5 pares multiplicativos

Soma dos divisores próprios

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Soma dos divisores

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 992

i) 496 elevado ao expoente 4 tem como resultado o produto dos divisores próprios;

496⁴ = 60523872256

ii) 496 elevado ao expoente 5 (metade dos divisores) tem como resultado o produto de todos dos divisores de 496;

496⁵ = 30019840638976

iii) o quadrado de 496² = 246016 dividido pela metade de 496 que é 248 tem como resultado a soma de todos os divisores de 496.

246016 : 248 = 992

Potência de base 2

Euclides de Alexandria enuncia em Os Elementos no livro IX:

“Se tantos números quantos quisermos, começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, então o produto será um número perfeito”.

A fórmula algébrica desta proposição é:

2ⁿ⁻¹ ( 2ⁿ−1 )

Euclides faz referências às somas de potências de base 2.

Quando se multiplica uma potência de base 2 por número 1 unidade menor que a potência sucessora e este número sendo um primo, então o produto é um número perfeito.

Número perfeito 6

2 x 3 (primo) = 6

Dobrando-se a potência de base 2 e multiplicando pelo outro fator, o produto é o dobro da primeira multiplicação e as vezes a soma dos divisores do produto anterior.

3 x 4 = 12

Interessante observar que esta "passagem" corresponde à Fórmula de Mesenne que se 2ⁿ - 1 for primo, então multiplicando pelo seu sucessor e dividindo por 2, o resultado é número perfeito.

Nem sempre a base 2 elevada a expoente primo terá como resultado número primo, que é o caso de 2¹¹ - 1 = 2048 - 1 = 2047 que é 23 x 89.

Neste exemplo, o produto de 3 (primo de Mersenne) x 4 = 12, corresponde exatamente à soma de todos os divisores do número perfeito 6.

1 + 2 + 3 + 6 = 12

Número perfeito 28

4 x 7 (primo) = 28

Dobrando-se a potência de base 2 e multiplicando pelo outro fator, o produto é exatamente a soma de todos os divisores do produto 28.

7 (primo de Mersenne) x 8 = 56

Soma de todos os divisores de 28

1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56

Número 120 (número composto)

8 x 15 (composto) = 120

15 (número de Mersenne) x 16 = 240

240 corresponde a soma dos divisores próprios de 120.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 = 240

Soma de todos os divisores de 120.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Aqui, um fato matemático interessante, a soma dos divisores próprios de 120 é o seu dobro e a soma de todos os seus divisores é seu o triplo.

Tem-se aqui, um novo tipo de número semelhante a número perfeito.

Se o quociente entre um quadrado perfeito e a metade de sua raiz quadrada for o dobro da raiz quadrada e 2/3 da soma de todos os divisores, então essa raiz é um número perfeito de classe 2.

120² : 60 =

14400 : 60 = 240

240 é o dobro de 210

240 é 2/3 de 360

Número perfeito 496

16 x 31 (primo) = 496

Dobrando-se a potência de base 2 e multiplicando pelo outro fator, o produto é exatamente a soma de todos os divisores do produto 496.

31 (primo de Mersenne) x 32 = 992

Soma de todos os divisores de 496

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 992

Número 2016 (composto)

32 x 63 (composto)= 2016

Dobrando-se a potência de base 2 e multiplicando pelo outro fator, o produto não é a soma de todos os divisores do produto 2016.

63 (número de Mersenne) x 64 = 4032

Soma de todos os divisores de 2016 é 6552.

Número Perfeito 8128

64 x 127 (primo) = 8128

Dobrando-se a potência de base 2 e multiplicando pelo outro fator, o produto é exatamente a soma de todos os divisores do produto anterior 8128.

127 (primo de Mersenne) x 128 = 16256

Soma de todos os divisores de 8128 é 16256.

Os estudos aqui apresentados tiveram como referências: a Tabela de Divisores do Portal Wikipedia

https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores[2]

como também o Portal Numbermatics

https://numbermatics.com.[3]

Autor: Ricardo Silva - fevereiro/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

[1] THIAGO, Cícero. Aritmética: múltiplos e divisores. PAPMEM - Julho de 2022 - Aritmética: múltiplos e divisores. https:// www.youtube.com/ watch?v=ZJtGtWJdHAU

[2]https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

[3]https://numbermatics.com.