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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Produto de números primos - 245

O produto de números primos geram números compostos que são números que possuem mais de 2 divisores.

O presente estudo demostra interessantes padrões e regularidades numéricas relacionadas as quantidades de divisores tanto de números primos quanto de números compostos com progressões aritméticas e geométricas, números quadrados perfeitos, números cúbicos, números triangulares, etc.

Produto de números primos consecutivos

Primorial é o produto de números primos consecutivos.

O nome primorial é a combinação das palavras primo e fatorial criado pelo matemático Harvey Dubner cuja representação simbólica é n#.

Exemplos:

2# = 2

3# 2 x 3 = 6

4# 2 x 3 = 6

5# 2 x 3 x 5 = 30

6# 2 x 3 x 5 = 30

7# 2 x 3 x 5 x 7 = 210

Número Primorial e divisores de um número

A quantidade de fatores (números primos) que geram um número primorial determina a quantidade de divisores desse mesmo primorial com a mesma quantidade de divisores de produtos de número primos distintos.

2 = 2 (2 divisores)

2 x 3 = 6 (4 divisores)

2 x 3 x 5 = 30 (8 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 = 210 (16 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310 (32 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 = 30.030 (64 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 = 510.510 (128 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 =

9.699.690 (256 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 =

223.092.870 (512 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 =

6.469.693.230 (1024 divisores)

A sequência das quantidades de divisores de números primoriais formam uma progressão geométrica com potências de base 2.

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...

Produtos de um mesmo número primo

As multiplicações em que os fatores são iguais, um mesmo número primo, tem como resultados potências desse número primo e as quantidades de divisores dessas potências formam progressão aritmética.

Potências de base 2

A sequência das quantidades de divisores de potências de base 2 formam uma progressão aritmética.

Potências de base 2
e divisores
   
Potência Quantidades de
  Divisores
2 2
4 3
8 4
16 5
32 6
64 7
128 8
256 9
512 10
1024 11
   
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Potências de base 3

A sequência das quantidades de divisores de potências de base 3 formam uma progressão aritmética.

Potências de base 3
e divisores
   
Potência Quantidades de
  Divisores
3 2
9 3
27 4
81 5
243 6
729 7
2.187 8
6561 9
19.683 10
59.049 11
   
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Produto de dois números primos iguais

O produto de dois números primos iguais tem como resultado um número quadrado perfeito.

A quantidade de divisores de um número quadrado perfeito de um número primo são 3 divisores.

Números Quadrados Perfeitos
de números primos
     
Multiplicação Números Quantidades de
  Quadrados Divisores
2 x 2 4 3
3 x 3 9 3
5 x 5 25 3
7 x 7 49 3
11 x 11 121 3
13 x 13 169 3
17 x 17 289 3
19 x 19 361 3
23 x 23 529 3
29 x 29 841 3
     
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Produto de dois números primos distintos

Produtos de dois números primos distintos tem como resultados números que não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Potências cujas bases são produtos de dois números primos possuem quantidades de divisores em números quadrados perfeitos os quais formam progressão geométrica.

Número 6

O número 6 é o primeiro número composto que é produto de dois números primos distintos.

2 x 3 = 6

O número 6 é um número primorial.

Os divisores de potências de base 6 formam progressão geométrica: 4, 9, 16, 25, 36,...

Potências de base 6
e divisores
   
Potência Quantidades de
  Divisores
6 4
36 9
216 16
1.296 25
7.776 36
5.6656 49
279.936 64
1.679.616 81
10.077.696 100
60.466.176 121
   
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Produto de três números primos distintos

Produtos de três números primos distintos tem como resultados números que não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Potências cujas bases são produtos de três números primos possuem quantidades de divisores em números cúbicos perfeitos os quais formam progressão geométrica.

Número 30

O número 30 é o primeiro número composto que é produto de três números primos distintos.

2 x 3 x 5 = 30

O número 30 é um número primorial.

Os divisores de potências de base 30 formam progressão geométrica: 8, 27, 64, 125, 216,...

Potências de base 30
e divisores
   
Potência Quantidades de
  Divisores
30 8
900 27
27.000 64
810.000 125
24.300.000 216
729.000.000 343
21.870.000.000 512
656.100.000.000 729
19.683.000.000.000 1000
590.490.000.000.000 1331
   
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Produto de quatro números primos distintos

Produtos de quatro números primos distintos tem como resultados números que não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Potências cujas bases são produtos de quatro números primos possuem quantidades de divisores em números quadrados perfeitos não consecutivos

Número 210

O número 210 é o primeiro número composto que é produto de três números primos distintos.

2 x 3 x 5 x 7 = 210

O número 210 é um número primorial.

Os divisores de potências de base 210 formam progressão geométrica: 16, 81, 256, 625, 216,...

Potências de base 210
e divisores
   
Potência Quantidades de
  Divisores
210 16
44.100 81
9.261.000 256
1.944.810.000 625
408.410.100.000 2401
85.766.121.000.000 4096
   
   
   
   
   
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Produto de um par de primos por outro primo

Os produtos de um par de primos por outro primo não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Os produtos de um par de primos por outro primo geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números triangulares não consecutivos.

Número 12

O número 12 é o primeiro número que é produto de um par de primos por um outro número primo diferente.

2 x 2 x 3 = 12

Observação: 2 x 2 x 3 = 4 x 3

(número quadrado x um número primo)

A quantidade de divisores de potências de base 12 gera a sequência de números triangulares não consecutivos {1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, ...}

Potências de base 12
e divisores
   
Potência Quantidades de
  Divisores
12 6
144 15
1.728 28
20.736 45
248.832 66
2.985.984 91
   
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Conclusão

Potências cujas bases são números primos possuem divisores em progressão aritmética.

Potências cujas bases são produtos de dois ou mais números primos distintos possuem divisores em progressão geométrica.

Potências cujas bases são produtos de um par de números primos por outro número primo distinto possuem quantidades de divisores em números triangulares.

 

Autor: Ricardo Silva - janeiro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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