logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Divisores de número natural e sequências numéricas - 242

Os números primos é um grande um mistério, um grande enigma, um ente que quanto mais os analizamos, estudamos, temos que aceitá-los do jeito que eles são, eles estão bem na nossa frente e ainda não conseguimos construir uma fórmula geral para obter sua sequência e saber qual será o próximo primo.

Pegue um número par aleatoriamente e divida o por 2, ou a metade será um número ímpar, ou será um número par e o resto será zero.

Pegue um número ímpar aleatoriamente, pode até usar calculadora, um número grande, de preferência com 3 algarismos que não termine em 5, e divida o por 2 e o resto será 1, agora divida o por 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 ou próximo de sua raiz quadrada aproximada, se o quociente for igual ou menor que o divisor sem que a divisão tenha sido exata, o número escolhido é um número primo.

Se você escolheu, por exemplo, o número 997, verificou que é primo e tem somente dois divisores e há 167 números primos anteriores a ele que não o divide de jeito nenhum.

Esses são os misteriosos números primos que não apresenta regularidade na formação em sua sequência, mas apresentam regularidades nas quantidades de divisores de suas potências e de números compostos gerados por eles.

A quantidade de divisores de um número natural apresenta padrões numéricos relacionados à progressões aritméticas e geométricas, bem como sequências numéricas famosas.

Há dois grupos distintos de números naturais, os números primos e os números compostos.

Números primos são números que são divisíveis por 1 e por ele mesmo.

Exemplos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

O número 1 não é primo e nem composto.

O número 2 é o único par que é primo.

O número 5 é o único primo terminado em 5.

Números compostos são números que possuem mais de 2 divisores.

Exemplos:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...

Todos os números pares, com exceção do número 2, são compostos.

O produto de números primos geram números compostos.

Exemplos:

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

3 x 3 = 9

3 x 5= 15

Divisores e decomposição em fatores primos

O algoritimo da Decomposição em Fatores Primos permite saber:

a) os fatores primos;

b) a quantidade de divisores;

c) os divisores de determinado número natural;

d) o menor múltiplo comum (MMC);

e) o máximo divisor comum (MDC);

entre dois ou mais números e também saber se um número é primo, composto, número quadrado perfeito, número cúbico, etc.

Exemplo:

Decompondo o número 6 em fatores primos, através de divisões sucessivas encontramos:

  Fatores Primos Divisores
    1  
6 2 2  
3 3 3 6
1      

D(6): {1, 2, 3, 6}

4 são os divisores de 6.

Processo prático para se saber a quantidade de divisores

6 = 21 x 31

Soma-se 1 (uma) unidade a cada expoente e multiplica-os.

21+1 x 31+1

2 x 2 = 4

Divisores e Números primos

Números primos possuem quantidade pares de divisores.

D(2): 1, 2

2 divisores

D(3): 1, 3

2 divisores

D(5): 1, 5

2 divisores

D(7): 1, 7

2 divisores

D(11): 1, 11

2 divisores

Divisores e números quadrados perfeitos

Números quadrados perfeitos possuem quantidade ímpares de divisores.

Quadrados de números primos possuem exatamente 3 divisores.

Quadrados de números compostos possuem de 5 a mais divisores.

D(4): 1, 2, 4

3 divisores

D(9): 1, 3, 9

3 divisores

D(16): 1, 2, 4, 8, 16

5 divisores

D(25): 1, 5, 25

3 divisores

D(36): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

9 divisores

D(49): 1, 7, 49

3 divisores

D(64): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

7 divisores

Divisores e potências de números primos

Potências de números primos quando decompostas em fatores primos apresentam um único fator primo.

Potências de base 2

Para se saber a quantidade de divisores de potências de números primos, soma-se 1 (uma unidade ao expoente), não havendo necessidade de decompor em fatores primos a potência.

20 = 1

21 = 2 - (2 divisores)

1 + 1 = 2

22 = 4 - (3 divisores - quadrado perfeito)

2 + 1 = 3

23 = 8 - (4 divisores)

3 + 1 = 4

24 = 16 - (5 divisores - quadrado perfeito)

4 + 1 = 5

25 = 32 - (6 divisores)

5 + 1 = 6

A quantidade de divisores de potências de números primos é uma progressão aritmética {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..}

Potências de base 3

Para se saber a quantidade de divisores de potências de números primos, soma-se 1 (uma unidade ao expoente), não havendo necessidade de decompor em fatores primos a potência.

30 = 1

31 = 3 - (2 divisores)

1 + 1 = 2

32 = 9 - (3 divisores - quadrado perfeito)

2 + 1 = 3

23 = 27 - (4 divisores)

3 + 1 = 4

24 = 81 - (5 divisores - quadrado perfeito)

4 + 1 = 5

25 = 243 - (6 divisores)

5 + 1 = 6

A quantidade de divisores de potências de números primos é uma progressão aritmética {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}

Divisores e número fatorial

Fatorial é o produto de números consecutivos

1 = 1

1 x 2 = 2 (2 divisores)

1 x 2 x 3 = 6 (4 divisores)

1 x 2 x 3 x 4 = 24 (8 divisores)

1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 (16 divisores)

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 (30 divisores)

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5.040 (60 divisores)

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40.320 (96 divisores)

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362.880 (160 divisores)

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3.628.800 (270 divisores)

A sequência das quantidades de divisores de números fatoriais é aleatória.

Divisores e número primorial

Primorial é o produto de números primos consecutivos.

2 = 2 (2 divisores)

2 x 3 = 6 (4 divisores)

2 x 3 x 5 = 30 (8 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 = 210 (16 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310 (32 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 = 30.030 (64 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 = 510.510 (128 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 =

9.699.690 (256 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 =

223.092.870 (512 divisores)

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 =

6.469.693.230 (1024 divisores)

A sequência das quantidades de divisores de números primoriais formam uma progressão geométrica com potências de base 2.

Divisores e produtos de dois números primos distintos

Os produtos de 2 números primos distintos não são potências de números primos ou de outros números compostos.

O produto de 2 números primos geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números quadrados perfeitos.

Número 6

O número 6 é o primeiro número composto que não é potência de número primo ou de outro número composto.

6 = 2 x 3

Observação importante: o número 4 é potência de base 2.

60 = 1 - (1 divisor - quadrado perfeito)

61 = 6 - (4 divisores)

62 = 36 - (9 divisores - quadrado perfeito)

63 = 216 - (16 divisores)

64 = 1.296 - (25 divisores - quadrado perfeito)

65 = 7.776 - (36 divisores)

66 = 46.656 - (49 divisores - quadrado perfeito)

67 = 279.936 - (64 divisores)

68 = 1.679.616 - (81 divisores - quadrado perfeito)

69 = 10.077.696 - (100 divisores)

610 = 60.466.176 - (121 divisores - quadrado perfeito)

A quantidade de divisores de potências de base 6 gera a sequência de números quadrados perfeitos consecutivos {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...}.

Número 10

O número 10 é o segundo número composto que não é potência de número primo e de outro número composto.

10 = 2 x 5

Observação importante: o número 16 é potência de base 2.

100 = 1 - (1 divisor - quadrado perfeito)

101 = 10 - (4 divisores)

102 = 100 - (9 divisores - quadrado perfeito)

103 = 1000 - (16 divisores)

A quantidade de divisores de potências de base 10 gera a sequência de números quadrados perfeitos consecutivos {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...}.

Divisores e produtos de três números primos distintos

Os produtos de 3 números primos distintos não são potências de números primos ou de outros números compostos.

O produto de 3 números primos geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números cúbicos perfeitos consecutivos.

Número 30

30 = 2 x 3 x 5

300 = 1 - (1 divisor)

301 = 30 - (8 divisores)

302 = 900 - (27 divisores)

303 = 27.000 - (64 divisores)

A quantidade de divisores de potências de base 30 gera a sequência de números cúbicos perfeitos consecutivos {1, 8, 27, 64, ...}.

Número 42

42 = 2 x 3 x 7

420 = 1 - (1 divisor)

421 = 42 - (8 divisores)

422 = 1.764 - (27 divisores)

423 = 74.088 - (64 divisores)

A quantidade de divisores de potências de base 42 gera a sequência de números cúbicos perfeitos consecutivos {1, 8, 27, 64, ...}.

Divisores e produtos de quatro números primos distintos

Os produtos de 4 números primos distintos não são potências de números primos ou de outros números compostos.

O produto de 4 números primos geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números quadrados perfeitos não consecutivos.

Número 210

210 = 2 x 3 x 5 x 7

2100 = 1 - (1 divisor)

2101 = 210 - (16 divisores)

2102 = 44.100 - (81 divisores)

2103 = 9.261.000 - (256 divisores)

A quantidade de divisores de potências de base 210 gera a sequência de números quadrados perfeitos não consecutivos {1, 16, 81, 256, ...}.

Número 330

330 = 2 x 3 x 5 x 11

3300 = 1 - (1 divisor)

3301 = 330 - (16 divisores)

3302 = 108.900 - (81 divisores)

3303 = 35.937.000 - (256 divisores)

A quantidade de divisores de potências de base 330 gera a sequência de números quadrados perfeitos não consecutivos {1, 16, 81, 256, ...}.

Divisores e produtos de cinco números primos distintos

Os produtos de 5 números primos distintos não são potências de números primos ou de outros números compostos.

O produto de 5 números primos geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números de quinta potência.

Número 2310

2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11

23100 = 1 - (1 divisor)

23101 =2310 - (32 divisores)

23102 = 5.336.100 - (243 divisores)

23103 = 12.326.391.000 - (1024 divisores)

Produto de um par de primos por outro primo

Os produtos de um par de primos por outro primo não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Os produtos de um par de primos por outro primo geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números triangulares não consecutivos.

Número 12

12 = 2 x 2 x 3

Observação: 2 x 2 x 3 = 4 x 3 (número quadrado x um número primo)

120 = 1 - (1 divisor)

121 =12 - (6 divisores)

122 = 144 - (15 divisores)

123 = 1.728 - (28 divisores)

124 = 20.736 - (45 divisores)

125 = 248.832 - (66 divisores)

126 = 2.985.984 - (91 divisores)

A quantidade de divisores de potências de base 12 gera a sequência de números triangulares não consecutivos {1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, ...}

Número 20

20 = 2 x 2 x 5

Observação: 2 x 2 x 3 = 4 x 5 (número quadrado x um número primo)

200 = 1 - (1 divisor)

201 = 20 - (6 divisores)

202 = 400 - (15 divisores)

203 = 8.000 - (28 divisores)

204 = 160.000 - (45 divisores)

205 = 3.200.000 - (66 divisores)

206 = 64.000.000 - (91 divisores)

A quantidade de divisores de potências de base 20 gera a sequência de números triangulares não consecutivos {1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, ...}.

Conclusão

A quantidade de números primos consecutivos, bem como a quantidade de divisores de cada sequência que gera um número primoral é a base construtiva que determina outras sequências que se queira produzir, pois:

a) Escolhendo-se dois números primos consecutivos aleatoriamente, suas potências terão divisores em quantidade de números quadrados perfeitos, números de segunda potência;

b) Escolhendo-se três números primos consecutivos aleatoriamente, suas potências terão divisores em quantidade de números cúbicos perfeitos, números de terceira potências;

c) Escolhendo-se quatro números primos consecutivos aleatoriamente, suas potências terão divisores em quantidade de números de quarta potência e assim sucessivamente;

Sequências numéricas em que há dois pares de primos e outro primo diferente, os divisores resultam em números triangulares não consecutivos.

Autor: Ricardo Silva dezembro/2019

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

Matérias relacionadas:

011-estudos-038-numeros-perfeitos-e-fatores-primos
011-estudos-043-multiplos-de-um-numero-natural-e-mmc
011-estudos-095-divisores-de-um-numero-suas-regularidades-numericas
011-estudos-210-quadrados-magicos-divisores-numero-natural
011-estudos-230-redes-divisores-numeros-naturais-um-numero-suas-regularidades-numericas
011-estudos-232-minimo-multiplo-comum-e-maximo-divisor-comum
011-estudos-235-quadrados-latinos-ortogonais-3x3-e-divisores-de-216

 

livro descobrindo numeros primos a partir numeros compostos

NOVO LIVRO DIGITAL:

DESCOBRINDO NÚMEROS PRIMOS A PARTIR DE NÚMEROS COMPOSTOS

manual quadrado mágico triplo 3x3

DOWNLOAD GRATUITO

Manual Digital do Novo Passatempo Matemático

QUADRADO MÁGICO TRIPLO 3X3

livro quadrados mágicos e sequências numéricas

LIVRO DIGITAL:

Traz dois novos métodos diretos, que não precisam de quadrados auxiliares para construções de Quadrados Mágicos e Semi-Mágicos de ordem ímpares

QUADRADOS MÁGICOS E SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS


Prezado visitante, o conteúdo deste site está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado, desde que informando ao autor o local ou o meio em que será utilizado e divulgado, através do e-mail: contato

O uso comercial é proibido.

curta  fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos