logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Latinos Ortogonais 3x3 e os divisores de 216 - 235

Nos estudos publicados em Discrete Mathematics em 1983 de Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang, os autores provaram por meio de Quadrados Latinos Ortogonais que o quadrado de produto 216 é o menor Quadrado Mágico Multiplicativo. [1]

O Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com os divisores de 36 tem como Constante Mágica 216 o qual também pode ser gerado por Método Algébrico.

Não é possível construir o Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com os divisores de 36 por meio dos métodos: Rotação, Cruz e "Xis" e Yang Hui.

Veja materias relacionadas abaixo.

Interessante observar que o número 216 é o cubo de 6.

Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito 3x3 com os divisores de 36
        216
         
18 1 12 = 216
4 6 9 = 216
3 36 2 = 216
= = = =  
216 216 216    216

Quadrado Mágico Multiplicativo 4x4 Imperfeito dos divisores de 216

Assim como o número 216, há outros números que possuem divisores em quantidade de números quadrados perfeitos, no exemplo quantidade de 16 divisores.

Os quadrados contruídos com os divisores da respectiva tabela não formam Quadrados Mágicos Multiplicativos 4x4 Perfeitos.

Tabelas de Divisores
Raiz Número Divisores Quantidade
Cúbica 120 12, 3, 4,  5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 16
- 168 1, 2, 3, 4,  6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168 16
- 210 1, 2, 3, 5,  6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 16
6 216 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216 16
- 264 1, 2, 3, 4,  6, 8, 11, 12, 22, 24, 33, 44, 66, 88, 132, 264 16
- 270 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270 16
- 280 1, 2, 4, 5,  7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280 16

Fonte: Tabela adaptada de

[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

Não é possível construir um Quadrado Mágico 4x4 Aditivo Perfeito com os divisores de 216, pois não forma Costante Mágica.

Quadrado Mágico 4x4 Aditivo Imperfeito
divisores de 216
91
         
216 2 3 54 = 275
6 27 24 12 = 69
18 9 8 36 = 71
4 72 108 1 = 185
= = = =  
244 110 143 103 252

Não é possível construir um Quadrado Mágico 4x4 Multiplicativo Perfeito com os divisores de 216, pois não forma Constante Mágica Multiplicativa.

Quadrado Mágico 4x4 Multiplicativo Imperfeito
divisores de 216
46656
         
216 2 3 54 = 69984
6 27 24 12 = 46656
18 9 8 36 = 46656
4 72 108 1 = 31104
= = = =  
93312 34992 62208 23328 46656

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 dos divisores de 216

Através do Método Quadrados Latinos Ortogonais é possível construir Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 utilizando-se a sequência 1, 2, 3 para se gerar pares ordenados exponenciais com as bases 2 e 3.

Sequência: 1, 2, 3

Bases:

x = 2

y = 3

Quadrado Latino 1

Quadrado Latino
2 3 1
1 2 3
3 1 2

Quadrado Latino 2

Quadrado Latino
1 3 2
3 2 1
2 1 3

Quadrado Latino Ortogonal - com pares ordenados

Quadrado Latino Ortogonal
2, 1 3, 3 1, 2
1, 3 2, 2 3, 1
3, 2 1, 1 2, 3

Quadrado Latino Ortogonal - com potenciação

Quadrado Latino Ortogonal com potênciação
22. 31 23. 33 21. 32
21.33 22. 32 23. 31
23. 32 21. 31 22. 33

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com divisores de 216

O Quadrado Mágico Multiplicativo gerado a partir de Quadrado Latino Ortogonal com potenciação tem como sub-sequência numérica de divisores do número cúbico perfeito 216 { 6, 12, 18, 24, 36, 54, 72, 108, 216} e Constante Mágica Multiplicativa o número quadrado perfeito 46.656.

Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito 3x3
divisores de 216
        46.656
         
12 216 18 = 46.656
54 36 24 = 46.656
72 6 108 = 46.656
= = = =  
46.656 46.656 46.656   46.656

Conclusão

A partir de Quadrados Latinos Ortogonais foi possível gerar pares ordenados exponenciais utilizados com bases de números primos e consequentemente obter sub-sequência de divisores do número cúbico 216 e desta forma construir Quadrado Mágico 3x3 Multiplicativo com Constante Mágica Multiplicativa 46.656.

Autor: Ricardo Silva - outubro/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang. Discrete Mathematics

[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

Matérias relacionadas:

011-estudos-202-quadrados-magicos-multiplicativos-divisores-de-um-numero
011-estudos-203-quadrados-magicos-multiplicativos-e-divisores-de-36
011-estudos-204-quadrados-magicos-multiplicativos-e-divisores-de-100
011-estudos-205-quadrados-semi-magicos-multiplicativos-4x4
011-estudos-206-quadrados-semi-magicos-multiplicativos-5x5
011-estudos-207-quadrados-magicos-divisores-de-numeros-quadrados-perfeitos
011-estudos-210-quadrados-magicos-divisores-numero-natural
011-estudos-229-quadrados-magicos-multiplicativos-potencias-e-divisores-de-um-numero
011-estudos-230-redes-divisores-numeros-naturais
011-estudos-233-quadrados-magicos-3x3-quadrados-latinos
011-estudos-234-quadrados-magicos-multiplicativos-quadrados-latinos

livro descobrindo numeros primos a partir numeros compostos

NOVO LIVRO DIGITAL:

DESCOBRINDO NÚMEROS PRIMOS A PARTIR DE NÚMEROS COMPOSTOS

 


Prezado visitante, o conteúdo deste site está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado, desde que informando ao autor o local ou o meio em que será utilizado e divulgado, através do e-mail: contato

O uso comercial é proibido.

curta  fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos