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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos Multiplicativos, potências e divisores de um número - 229

“QUEM OUSAR BRINCAR  COM NÚMEROS DESCOBRIRÁ PROPRIEDADES FASCINANTES”, frase de autoria do Professor da USP, Luiz Barco publicada na matéria da revista Superinteressante “A INESGOTÁVEL FONTE DOS NÚMEROS PRIMOS”, frase esta que não me cansarei de citá-la.

Com pesquisas feitas sobre Quadrados Mágicos, fiquei sabendo entre outras coisas:

* que Quadrados Mágicos surgiram há mais de 2.800 anos antes de Cristo na antiga China;

* que Matemáticos de renome como: Pierre de Fermat (cubo mágico tridimensional), Leonhard Euler (Quadrados Latinos), Edouard Lucas (criador do jogo matemático Torre de Hanoi) , Benjamin Franklin, etc. se dedicaram à matemática recreativa;

* que os brasileiros: Lidio Machado Bandeira de Melo - jurista e professor escreveu os livros Quadrados mágicos métodos gerais para a construção de quadrados mágicos (1957) - Segundo livro dos quadrados mágicos (1959) e Alcides Navarro - entusiasta matemático escreveu - Quadrados Mágicos (2005) - onde apresenta exemplos de Quadrados Mágicos construídos com várias sequências numéricas no próprio quadrado;

* que não existe um método geral para se construirem simultaneamente Quadrados Mágicos de ordens par e ímpar;

* que até os dias atuais não se conseguiu construir um Quadrado Mágico ao quadrado 3x3.

Estudos e analises sobre métodos de construções de Quadrados Mágicos me proporcionou escrever o livro digital Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas onde são abordados dois novos métodos de construções de Quadrados Mágicos que não necessitam de quadrados auxiliares: Método Múltiplos em Diagonal e Método Múltiplos em Linha, bem como matérias diversas aqui no site.

Quadrado Mágico 3x3 - ordem 3 - Lo-Shu

Quadrado Mágico 3x3 construído com os 9 primeiros números naturais. Somando-se linhas, colunas e diagonais obtem-se a Constante Mágica 15.

Os 9 primeiros números naturais formam um progressão aritmética finita.

quadrado mágico 3x3 - Lo-shu

Quadrado Mágico 3x3 Lo-Shu ao quadrado

Não é possivel construir um Quadrado de quadrado 3x3 do Lo-Shu, isto é elevar seus números ao quadrado e formar um Quadrado Mágico ao quadrado, o mesmo que Quadrado Bi-Mágico, bem como com outras progressões aritiméticas.

Veja matéria:

011-estudos-190-quadrados-antimagicos-3x3

93
       
16 81 4 101
9 25 49 83
64 1 36 101
       
89 107 89 77

Quadrado Mágico 3x3 Lo-shu ao cubo

Não é possivel construir um Quadrado Mágico ao cubo do Lo-Shu, pois não forma Constante Mágica.

645
 
64 729 8 801
27 125 343 495
512 1 216 729
 
603 855 567 405

Quadrados Mágicos - potências de base 2

9 primeiras potências de base 2:

20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64

27 = 128, 28 = 256

As potências de base 2 é uma progressão geométrica.

Quadrado Mágico 3x3 Imperfeito - potências de base 2

Somando-se as 9 primeiras potências de base 2 não é possivel construir Quadrado Mágico, pois não forma Constante Mágica.

  146
   
8 256 2   266
4 16 64   84
128 1 32   161
         
140 273 98   56

Quadrado Mágico 3x3 ao quadrado imperfeito - potências de base 2

Somando-se as 9 primeiras potências de base 2 ao quadrado não é possivel construir Quadrado Mágico, pois não forma Constante Mágica.

  16644
   
64 65536 4   65604
16 256 4096   4368
16384 1 1024   17409
         
16464 65793 5124   1344

Quadrado Mágico 3x3 Multiplicativo - potências de base 2

Multiplicando-se as 9 primeiras potências de base 2 é possivel construir Quadrado Mágico Multiplicativo de Constante Mágica 4096.

As potências de base 2 é uma progressão geométrica.

4096
 
8 256 2 4096
4 16 64 4096
128 1 32 4096
 
4096 4096 4096 4096

Quadrado Mágico 3x3 Multiplicativo ao quadrado - potências de base 2

Multiplicando-se as 9 primeiras potências de base 2 ao quadrado é possivel construir Quadrado Mágico Multiplicativo ao quadrado de Constante Mágica 16.777.216.

  16777216
   
64 65536 4   16777216
16 256 4096   16777216
16384 1 1024   16777216
         
16777216 16777216 16777216   16777216

Quadrados Mágicos e divisores de um número natural

Desde a leitura da dissertação de mestrado: Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental onde é apresentado um exemplo de Quadrado Mágico Multiplicativo com divisores do número 36, comecei a fazer alguns questionamentos:

Como uma sequência que não é uma progressão aritmética e nem geométrica é possível construir Quadrado Mágico?

É uma sequência em que a razão não é constante, isto é, a diferença entre os termos são diferentes, semelhante a sequência de números primos.

Divisores do número quadrado perfeito 36
Divisores 1   2   3   4   6   9   12   18   36
Diferença   1   1   1   2   3   3   6   18  

Construindo Quadrado Multiplicaivo segundo a configuração do Lo-Shu, podendo ser utilizados os Métodos: Cruz e "Xis", Rotação e Yang Hui, a Constante Mágica falha na primeira e terceira linhas.

Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito 3x3
216
 
4 36 2 = 288
3 6 12 = 216
18 1 9 = 162
= = =  
216 216 216 216

veja mais informações na matéria:

011-estudos-202-quadrados-magicos-multiplicativos-divisores-de-um-numero

Será que é porque o número 36 é um quadrado e sua raiz 6 é um número perfeito e por isso que é possivel fazer Quadrado Mágico?

A partir do Quadrado Mágico "MODIFICADO" publicado na dissertação referida acima, foi construído outros quadrados em que a sequência dos divisores de 36 foram elevadas ao quadrado, ao cubo, a quarta potência, a quinta potência, etc. e sempre originando Constantes Mágicas de forma simultânea, o que não é possível fazer com uma progressão aritmética (exemplo do Quadrado Mágico Lo-shu).

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3- constante mágica 216
216
 
3 36 2 = 216
4 6 9 = 216
18 1 12 = 216
= = =  
216 216 216 216

Números Quadrados Perfeitos e divisores

Número Primo é um número que possui dois divisores, o número 1 e ele mesmo.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... são números primos.

Número Composto é o número que possui mais de dois divisores.

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24,... são números compostos.

Número Quadrado Perfeito é um número que tem quantidade ímpar de divisores.

D(4): 1, 2, 4

3 divisores

D(9): 1, 3, 9

3 divisores

D(16): 1, 2, 4, 8, 16

5 divisores

D(25): 1, 5, 25

3 divisores

D(36): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

9 divisores

Partindo das informações sobre divisores de um número quadrado perfeito foi montada esta pequena tabela para tentar achar um padrão em sua formação:

Tabelas de Divisores de Números Quadrados Perfeitos
Raiz Número Divisores Quantidade
6 36 12, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 9
10 100 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 9
14 196 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196 9
15 225 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 9
16 256 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 9
21 441 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441 9
22 484 1, 2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484 9
26 676 1, 2, 4, 13, 26, 52, 169, 338, 676 9

Fonte: Tabela adaptada de

https://pt.www.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

 

1) a diferença entre uma raiz e outra não é constante;

2) a diferença entre um quadrado e outro não é constante;

3) nas raízes não há números primos;

4) os números quadrados não são quadrados de números primos;

Onde estaria o segredo, o padrão de formação das sequências dessas raízes e de seus respectivos números quadrados?

A única informação comum é a quantidade 9 de divisores, que por sinal é um número quadrado perfeito.

Tabela de Números Primos e Raízes Quadradas

Outra tabela foi feita, intercalando-se as raízes quadradas entre os números primos.

Reparei que as raízes quadradas são números compostos e algumas pares, cujas metades são números primos, exceto a raiz 16 (opâ!! epâ!!).

A metade da raiz multiplicada por 2. (opâ!! epâ!!)

3 x 2 = 6 (produto de dois primos)

5 x 2 = 10 (produto de dois primos)

E a raízes de números compostos ímpares 15 e 21? (opâ!! epâ!!)

5 x 3 = 15 (produto de dois primos)

7 x 3 = 21 (produto de dois primos)

A raiz 16 é um número composto, quadrado de 4 e potência de base 2. (opâ!! epâ!!)

Tabela de Números Primos
e Raízes Quadradas
       
       
Números Primos Raízes Quadradas   Multiplicação de
      dois Primos
2   =  
    =  
3   =  
    =  
5   =  
  6 = 3 x 2
7   =  
  10 = 5 x 2
11   =  
    =  
13   =  
  14 = 7 x 2
  15 = 5 x 3
  16 = 8 x 2
17   =  
    =  
19   =  
  21 = 7 x 3
  22 = 11 x 2
23   =  
  26 = 13 x 2
29   =  
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Divisores das raízes quadradas

Elaborando os divisores das raízes quadradas...

D(6): 1, 2, 3, 6

D(10): 1, 2, 5, 10

D(14): 1, 2, 7, 14

D(15): 1, 3, 5, 15

D(16): 1, 2, 4, 8, 16 (opâ!! epâ!!) - 5 divisores

D(21): 1, 3, 7, 21

D(22): 1, 2, 11, 22

D(26): 1, 2, 11, 26

As raízes possuem 4 divisores (4 é quadrado perfeito), com exceção do 16 que é um quadrado perfeito e potência de base 2. (opâ!! epâ!!)

Com exceção do 16, multiplicando os termos centrais (números primos), obtem-se as raízes quadradas.

Tabela de Potências de base de números primos

Tabulando algumas potências de base de números primos com as raízes quadradas de números compostos verifica-se principalmente que:

1) as raízes de números compostos não são potências de números primos; (faixas amarela)

2) as raízes de números compostos são formadas por produto de dois números primos distintos;

Exemplos:

2 x 3 = 6

2 x 5 = 10

2 x 7 = 14

3) a raiz 16 é potência de base 2 e um quadrado perfeito, possui 5 divisores;

Tabela de Potências
de Números Primos
                   
                   
Núm. Núm. Potência Base
  Composto                  
  2 3 5 7 11 13 17 19 23
1
2   p 2
3 p 3
4   p 4
5 p 5
6 c
7 p 7
8   p 8
9 p 9
10 c
11 p 11
12
13 p 13
14 c
15 c
16   p 16
17 p 17
18
19 p 19
20
21 c
22 c
23 p 23
24
25 p 25
26 c
27 p 27
28
29 p
30
31 p
32   p 32
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4) Os números 12, 18, 20, 24, 30 e outros, também não são potências de números primos e suas metades são números compostos.

Exempos:

a) Número 12

12 : 2 = 6 (6 é número composto e não número primo)

D(12): 1, 2, 3, 4, 6, 12

possue 6 divisores (6 não um quadrado perfeito)

os termos médios 3 e 4 (um número primo e um composto)

144 - quadrado de 12 - possui 15 divisores

 

b) Número 18

18 : 2 = 9 (9 é número composto e não número primo)

D(18): 1, 2, 3, 6, 9, 18

possue 6 divisores (6 não um quadrado perfeito)

os termos médios 3 e 6 (um número primo e um composto)

324 - quadrado de 18 - possui 15 divisores

 

b) Número 20

20 : 2 = 10 (10 é número composto e não número primo)

D(20): 1, 2, 4, 5, 10, 20

possue 6 divisores (6 não um quadrado perfeito)

os termos médios 4 e 5 (um número composto e um primo)

400 - quadrado de 20 - possui 15 divisores

Potências de base 3

O número base 3 é um número primo.

Nas Potências de base 3, cada número posterior é o triplo do anterior.

As quantidades de divisores das potências de base 3 não resultam sequencialmente números em quantidade de números quadrados perfeitos.

Com as potências de base de números primos não são possíveis de se gerarem Quadrados Mágicos Multiplicativos simultaneamente.

30 = 1 (quadrado perfeito)

31 = 3

2 divisores

32 = 9 (quadrado perfeito)

3 divisores

33 = 27

4 divisores

34 = 81 (quadrado perfeito)

5 divisores

35 = 243

6 divisores

36 = 729 (quadrado perfeito)

7 divisores

37 = 2.187

8 divisores

38 = 6.561 (quadrado perfeito)

a) Todo número elevado a um expoente par tem como resultado um número quadrado perfeito.

Raiz Quadrada: 81

b) Potências de base 3 quando decompostas em fatores primos tem um único fator primo, o número 3.

Fatoração: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 6.561

c) Todo número quadrado perfeito tem quantidades ímpares de divisores.

Quantidade de divisores: 9

Divisores de 6.561 (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561)

39 = 19.683

10 divisores

310 = 59.049 (quadrado perfeito)

11 divisores

Potências de base 6

O número base 6 é o primeiro número composto e que não é potência de um outro número.

Nas Potências de base 6, cada número posterior é o sêxtuplo do anterior.

As quantidades de divisores das potências de base 6 tem como resultados números quadrados perfeitos.

A partir da potência 36 de base 6 é possivel gerar Quadrados Mágicos Multiplicativos simultaneamente.

60 = 1 (quadrado perfeito)

61 = 6

4 divisores

62 = 36 (quadrado perfeito)

a) Todo número elevado a um expoente par tem como resultado um número quadrado perfeito.

Raiz Quadrada: 6

b) Potências de base 6 quando decompostas em fatores primos tem dois únicos fatores primos, o número 2 e 3.

Fatoração: 2 x 2 x 3 x 3 = 36

c) Todo número quadrado perfeito tem quantidades ímpares de divisores.

Quantidade de divisores: 9

Divisores: 12, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

63 = 216

16 divisores

64 = 1296 (quadrado perfeito)

25 divisores

65 = 7.776

36 divisores

66 = 46.656 (quadrado perfeito)

49 divisores

67 = 279.936

64 divisores

68 = 1.679.616 (quadrado perfeito)

81 divisores

69 = 10.077.696

100 divisores

610 = 60.466.176 (quadrado perfeito)

121 divisores

Conclusão:

Potências de números primos não possuem divisores em quantidade de números quadrados perfeitos sequencialmente.

Determinados números compostos que não são potências de números primos, possuem potências cujos divisores são em quantidade de números quadrados perfeitos sequencialmente.

 

Fontes Bibliográficas:

[1] Marques, Jamerson Henriques da Silva. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental / Jamerson Henrique da Silva Marques. – 2017. 96 p. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande – FURG, Programa de Pós-graduação em Matemática, Rio Grande/RS, 2017.

[2] https://pt.www.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

 

Autor: Ricardo Silva - agosto/2019

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